Cuadrado

Cuadrilátero regular

En geometría euclidiana , un cuadrado es un cuadrilátero regular , lo que significa que tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales (ángulos de 90 grados , ángulos de π/2 radianes o ángulos rectos ). También se puede definir como un rectángulo con dos lados adyacentes de igual longitud. Es el único polígono regular cuyo ángulo interno , ángulo central y ángulo externo son todos iguales (90°) y cuyas diagonales tienen todas la misma longitud. Un cuadrado con vértices ABCD se denotaría ABCD . ^[1] ${\displaystyle \square }$

Caracterizaciones

Un cuadrilátero es un cuadrado si y sólo si es cualquiera de los siguientes: ^{[2] [3]}

• Un rectángulo con dos lados iguales adyacentes.
• Un rombo con un ángulo de vértice recto.
• Un rombo con todos los ángulos iguales.
• Un paralelogramo con un ángulo recto en el vértice y dos lados iguales adyacentes.
• Un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
• Un cuadrilátero donde las diagonales son iguales y son bisectrices perpendiculares entre sí (es decir, un rombo con diagonales iguales)
• Un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d cuyo área es ^{[4] : ​​Corolario 15} ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).}$

Propiedades

Un cuadrado es un caso especial de un rombo (lados iguales, ángulos opuestos iguales), una cometa (dos pares de lados iguales adyacentes), un trapezoide (un par de lados opuestos paralelos), un paralelogramo (todos los lados opuestos paralelos), un cuadrilátero o tetrágono (polígono de cuatro lados), y un rectángulo (lados opuestos iguales, ángulos rectos), y por tanto tiene todas las propiedades de todas estas formas, a saber: ^[5]

• Los cuatro ángulos internos de un cuadrado son iguales (cada uno es 360°/4 = 90°, un ángulo recto).
• El ángulo central de un cuadrado es igual a 90° (360°/4).
• El ángulo externo de un cuadrado es igual a 90°.
• Las diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan entre sí a 90°.
• La diagonal de un cuadrado biseca su ángulo interno, formando ángulos adyacentes de 45°.
• Los cuatro lados de un cuadrado son iguales.
• Los lados opuestos de un cuadrado son paralelos .
• Un cuadrado tiene el símbolo de Schläfli {4}. Un cuadrado truncado , t{4}, es un octágono , {8}. Un cuadrado alternado , h{4}, es un digon , {2}.
• El cuadrado es el caso n = 2 de las familias de n - hipercubos y n - ortoplexos .

Perímetro y área

El área de un cuadrado es el producto de la longitud de sus lados.

El perímetro de un cuadrado cuyos cuatro lados tienen longitud es ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle P=4\ell }$

y el área A es

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$^[1]

Como cuatro al cuadrado son dieciséis, un cuadrado de cuatro por cuatro tiene un área igual a su perímetro. El único otro cuadrilátero con tal propiedad es el de un rectángulo de tres por seis.

En la época clásica , la segunda potencia se describía en términos del área de un cuadrado, como en la fórmula anterior. Esto llevó al uso del término cuadrado para significar elevación a la segunda potencia.

El área también se puede calcular usando la diagonal d según

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

En términos del circunradio R , el área de un cuadrado es

${\displaystyle A=2R^{2};}$

ya que el área del círculo son los rellenos cuadrados de su círculo circunscrito . ${\displaystyle \pi R^{2},}$ ${\displaystyle 2/\pi \approx 0.6366}$

En términos del inradio r , el área del cuadrado es

${\displaystyle A=4r^{2};}$

por tanto, el área del círculo inscrito es igual a la del cuadrado. ${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$

Por ser un polígono regular , un cuadrado es el cuadrilátero de menor perímetro que encierra un área determinada. Dualmente, un cuadrado es el cuadrilátero que contiene el área más grande dentro de un perímetro determinado. ^[6] De hecho, si A y P son el área y el perímetro encerrados por un cuadrilátero, entonces se cumple la siguiente desigualdad isoperimétrica :

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

con igualdad si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Otros hechos

• Las diagonales de un cuadrado son (aproximadamente 1,414) veces la longitud de un lado del cuadrado. Este valor, conocido como raíz cuadrada de 2 o constante de Pitágoras, ^[1] fue el primer número que demostró ser irracional . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Un cuadrado también se puede definir como un paralelogramo con diagonales iguales que bisecan los ángulos.
• Si una figura es a la vez un rectángulo (ángulos rectos) y un rombo (longitudes de aristas iguales), entonces es un cuadrado.
• Un cuadrado tiene un área mayor que cualquier otro cuadrilátero con el mismo perímetro. ^[7]
• Un mosaico cuadrado es uno de los tres mosaicos regulares del plano (los otros son el triángulo equilátero y el hexágono regular ).
• El cuadrado se encuentra en dos familias de politopos en dos dimensiones: el hipercubo y el politopo cruzado . El símbolo de Schläfli para el cuadrado es {4}.
• El cuadrado es un objeto altamente simétrico. Hay cuatro ejes de simetría reflexiva y tiene simetría rotacional de orden 4 (a través de 90°, 180° y 270°). Su grupo de simetría es el grupo diédrico  D ₄ .
• Un cuadrado puede inscribirse dentro de cualquier polígono regular. El único otro polígono con esta propiedad es el triángulo equilátero .
• Si el círculo inscrito de un cuadrado ABCD tiene puntos de tangencia E en AB , F en BC , G en CD y H en DA , entonces para cualquier punto P en el círculo inscrito, ^[8]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Si es la distancia desde un punto arbitrario en el plano al i -ésimo vértice de un cuadrado y es el circunradio del cuadrado, entonces ^[9] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• Si y son las distancias desde un punto arbitrario en el plano al centroide del cuadrado y sus cuatro vértices respectivamente, entonces ^[10] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

y

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

¿ Dónde está el circunradio del cuadrado? ${\displaystyle R}$

Coordenadas y ecuaciones

${\displaystyle |x|+|y|=2}$trazado en coordenadas cartesianas .

Las coordenadas de los vértices de un cuadrado con lados verticales y horizontales, centrado en el origen y con longitud de lado 2 son (±1, ±1), mientras que el interior de este cuadrado consta de todos los puntos ( x _i , y _i ) con −1 < x _yo < 1 y −1 < y _yo < 1 . La ecuacion

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

especifica el límite de este cuadrado. Esta ecuación significa " x ² o y ² , el que sea mayor, es igual a 1". El circunradio de este cuadrado (el radio de un círculo dibujado a través de los vértices del cuadrado) es la mitad de la diagonal del cuadrado y es igual a Entonces el círculo circunstante tiene la ecuación ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

Alternativamente la ecuación

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

También se puede utilizar para describir el límite de un cuadrado con coordenadas centrales ( a , b ) y un radio horizontal o vertical de r . Por tanto, el cuadrado tiene la forma de una bola topológica según la métrica de distancia L 1 .

Construcción

Las siguientes animaciones muestran cómo construir un cuadrado usando un compás y una regla . Esto es posible porque 4 = 2 ² , una potencia de dos .

Cuadrado en una circunferencia determinada

Simetría

Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g para sus órdenes de giro central. La simetría total del cuadrado es r8 y ninguna simetría está etiquetada como a1 .

El cuadrado tiene simetría Dih _{4 ,} orden 8. Hay 2 subgrupos diédricos: Dih ₂ , Dih ₁ y 3 subgrupos cíclicos : Z ₄ , Z ₂ y Z ₁ .

Un cuadrado es un caso especial de muchos cuadriláteros de simetría inferior:

• Un rectángulo con dos lados iguales adyacentes.
• Un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
• Un paralelogramo con un ángulo recto y dos lados iguales adyacentes.
• Un rombo con un ángulo recto.
• Un rombo con todos los ángulos iguales.
• Un rombo con diagonales iguales.

Estas 6 simetrías expresan 8 simetrías distintas en un cuadrado. John Conway los etiqueta mediante letras y orden de grupo. ^[11]

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para cuadriláteros irregulares . r8 es la simetría total del cuadrado y a1 no es simetría. d4 es la simetría de un rectángulo y p4 es la simetría de un rombo . Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del cuadrado. d2 es la simetría de un trapecio isósceles y p2 es la simetría de una cometa . g2 define la geometría de un paralelogramo .

Sólo el subgrupo g4 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un cuadrado con aristas dirigidas .

Cuadrados inscritos en triángulos.

Todo triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior tales que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por lo tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene sólo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtuso tiene solo un cuadrado inscrito, cuyo lado coincide con parte del lado más largo del triángulo.

La fracción del área del triángulo que ocupa el cuadrado no es más de 1/2.

La cuadratura del circulo

La cuadratura del círculo , propuesta por los geómetras antiguos , es el problema de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado , utilizando sólo un número finito de pasos con compás y regla .

En 1882, se demostró que la tarea era imposible como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass , que demuestra que pi ( π ) es un número trascendental en lugar de un número irracional algebraico ; es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales .

Geometría no euclidiana

En geometría no euclidiana, los cuadrados son más generalmente polígonos con 4 lados iguales y ángulos iguales.

En geometría esférica , un cuadrado es un polígono cuyas aristas son arcos de círculo máximo de igual distancia, que se encuentran formando ángulos iguales. A diferencia del cuadrado de la geometría plana, los ángulos de dicho cuadrado son mayores que un ángulo recto. Los cuadrados esféricos más grandes tienen ángulos más grandes.

En la geometría hiperbólica no existen los cuadrados con ángulos rectos. Más bien, los cuadrados en geometría hiperbólica tienen ángulos menores que los rectos. Los cuadrados hiperbólicos más grandes tienen ángulos más pequeños.

Ejemplos:

cuadrado cruzado

cuadrado cruzado

Un cuadrado cruzado es una faceta del cuadrado, un polígono que se interseca a sí mismo creado eliminando dos bordes opuestos de un cuadrado y reconectándolos por sus dos diagonales. Tiene la mitad de la simetría del cuadrado, Dih ₂ , orden 4. Tiene la misma disposición de vértices que el cuadrado y es transitivo por vértices . Aparece como dos triángulos 45-45-90 con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.

Un cuadrado cruzado a veces se compara con una pajarita o una mariposa . el rectángulo cruzado se relaciona, como facetado del rectángulo, ambos casos especiales de cuadriláteros cruzados . ^[12]

El interior de un cuadrado cruzado puede tener una densidad de polígono de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del devanado en sentido horario o antihorario.

Un cuadrado y un cuadrado cruzado tienen en común las siguientes propiedades:

• Los lados opuestos tienen la misma longitud.
• Las dos diagonales tienen la misma longitud.
• Tiene dos ejes de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°).

Existe en la figura del vértice de un poliedro estelar uniforme , el tetrahemihexaedro .

Graficos

3-símplex (3D)

El gráfico completo K ₄ a menudo se dibuja como un cuadrado con los 6 posibles bordes conectados, por lo que aparece como un cuadrado con ambas diagonales dibujadas. Este gráfico también representa una proyección ortográfica de los 4 vértices y 6 aristas del 3- símplex regular ( tetraedro ).

Ver también

• Portal de matemáticas

• Cubo
• Teorema de pitágoras
• celosía cuadrada
• Número cuadrado
• Raíz cuadrada
• Cuadrando el cuadrado
• ardilla
• Unidad cuadrada

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Cuadrado". Wolfram MathWorld . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
2. Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de cuadriláteros. Un estudio de definición", Information Age Publishing, 2008, pág. 59, ISBN 1-59311-695-0 . 
3. "Conjunto de problemas 1.3". jwilson.coe.uga.edu . Consultado el 12 de diciembre de 2017 .
4. Josefsson, Martin, "Propiedades de los cuadriláteros equidiagonales" Forum Geometriorum , 14 (2014), 129-144.
5. "Cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, rombo, trapezoide, paralelogramo". www.mathsisfun.com . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
6. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979: 147.
7. Lundsgaard Hansen, Martín. "Vagn Lundsgaard Hansen". www2.mat.dtu.dk. _ Consultado el 12 de diciembre de 2017 .
8. "Clases de geometría, problema 331. Cuadrado, punto en el círculo inscrito, puntos de tangencia. Maestría en profesor de matemáticas. Universidad, preparación para el SAT. Aprendizaje electrónico, tutor de matemáticas en línea, LMS". gogeometry.com . Consultado el 12 de diciembre de 2017 .
9. Parque, Poo-Sung. "Distancias regulares de politopos", Forum Geométricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
10. Meskhishvili, Mamuka (2021). «Promedios cíclicos de distancias poligonales regulares» (PDF) . Revista Internacional de Geometría . 10 : 58–65.
11. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275– 278) 
12. Wells, Christopher J. "Cuadriláteros". www.technologyuk.net . Consultado el 12 de diciembre de 2017 .

enlaces externos

• Curso animado (Construcción, Circunferencia, Área)
• Definición y propiedades de un cuadrado Con subprograma interactivo
• Subprograma animado que ilustra el área de un cuadrado.