En matemáticas , F 4 es un grupo de Lie y también su álgebra de Lie f 4 . Es uno de los cinco grupos de Lie simples excepcionales . F 4 tiene rango 4 y dimensión 52. La forma compacta es simplemente conexa y su grupo de automorfismos externo es el grupo trivial . Su representación fundamental es de 26 dimensiones.
La forma real compacta de F 4 es el grupo de isometría de una variedad riemanniana de 16 dimensiones conocida como plano proyectivo octoniónico OP 2 . Esto se puede ver sistemáticamente utilizando una construcción conocida como el cuadrado mágico , debido a Hans Freudenthal y Jacques Tits .
Existen 3 formas reales : una compacta, una dividida y una tercera. Son los grupos de isometría de las tres álgebras de Albert reales .
El álgebra de Lie F 4 se puede construir añadiendo 16 generadores que se transforman como un espinor al álgebra de Lie de 36 dimensiones ( 9), en analogía con la construcción de E 8 .
En libros y artículos más antiguos, F 4 a veces se denota por E 4 .
El diagrama de Dynkin para F 4 es:
.
Su grupo de Weyl / Coxeter G = W (F 4 ) es el grupo de simetría del grupo de 24 celdas : es un grupo resoluble de orden 1152. Tiene un grado mínimo fiel μ ( G ) = 24 , [1] que se realiza mediante la acción sobre el grupo de 24 celdas . El grupo tiene ID (1152,157478) en la biblioteca de grupos pequeños.
La red F 4 es una red cúbica de cuatro dimensiones centrada en el cuerpo (es decir, la unión de dos redes hipercúbicas , cada una situada en el centro de la otra). Forman un anillo llamado anillo de cuaterniones de Hurwitz . Los 24 cuaterniones de Hurwitz de norma 1 forman los vértices de un conjunto de 24 celdas centrado en el origen.
Los 48 vectores raíz de F 4 se pueden encontrar como los vértices de las 24 celdas en dos configuraciones duales, que representan los vértices de una celda diesfenoidal de 288 celdas si las longitudes de los bordes de las 24 celdas son iguales:
Vértices de 24 celdas: 
Vértices duales de 24 celdas:
Una elección de raíces simples para F 4 ,
, viene dada por las filas de la siguiente matriz:
El diagrama de Hasse para el conjunto raíz F 4 se muestra a continuación a la derecha.
Así como O( n ) es el grupo de automorfismos que mantienen invariantes los polinomios cuadráticos x 2 + y 2 + ... , F 4 es el grupo de automorfismos del siguiente conjunto de 3 polinomios en 27 variables. (El primero puede sustituirse fácilmente en otros dos, dando como resultado 26 variables).
Donde x , y , z son valores reales y X , Y , Z son valores octoniónicos. Otra forma de escribir estos invariantes es como (combinaciones de) Tr( M ), Tr( M 2 ) y Tr( M 3 ) de la matriz octoniónica hermítica :
El conjunto de polinomios define una superficie compacta de 24 dimensiones.
Los caracteres de las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie reales y complejas y de los grupos de Lie están todos dados por la fórmula de caracteres de Weyl . Las dimensiones de las representaciones irreducibles más pequeñas son (secuencia A121738 en la OEIS ):
La representación de 52 dimensiones es la representación adjunta , y la de 26 dimensiones es la parte libre de trazas de la acción de F 4 sobre el álgebra de Albert excepcional de dimensión 27.
Hay dos representaciones irreducibles no isomórficas de dimensiones 1053, 160056, 4313088, etc. Las representaciones fundamentales son aquellas con dimensiones 52, 1274, 273, 26 (correspondientes a los cuatro nodos del diagrama de Dynkin en el orden tal que la flecha doble apunta del segundo al tercero).
A continuación se muestran las incrustaciones de los subgrupos máximos de F 4 hasta la dimensión 273 con la matriz de proyección asociada.
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca80510babd4267c5dc6a74c5909192be8f7e030)
