En matemáticas , el plano de Cayley (o plano proyectivo octoniónico ) P 2 ( O ) es un plano proyectivo sobre los octoniones . [1]
El plano de Cayley fue descubierto en 1933 por Ruth Moufang y recibe su nombre de Arthur Cayley por su artículo de 1845 que describe los octoniones.
En el plano de Cayley, las rectas y los puntos pueden definirse de forma natural, de modo que se convierte en un espacio proyectivo bidimensional , es decir, un plano proyectivo . Se trata de un plano no desarguesiano , donde no se cumple el teorema de Desargues .
Más precisamente, a partir de 2005, existen dos objetos llamados planos de Cayley, a saber, el plano de Cayley real y el plano de Cayley complejo. El plano de Cayley real es el espacio simétrico F 4 /Spin(9), donde F 4 es una forma compacta de un grupo de Lie excepcional y Spin(9) es el grupo de espín del espacio euclidiano de nueve dimensiones (realizado en F 4 ). Admite una descomposición de celdas en tres celdas, de dimensiones 0, 8 y 16. [2]
El plano complejo de Cayley es un espacio homogéneo bajo la complejización del grupo E 6 por un subgrupo parabólico P 1 . Es la órbita cerrada en la proyectivización de la representación compleja mínima de E 6 . El plano complejo de Cayley consta de dos órbitas complejas F 4 : la órbita cerrada es un cociente del F 4 complejizado por un subgrupo parabólico, la órbita abierta es la complejización del plano real de Cayley, [3] retrayéndose a él.