En matemáticas , un álgebra de Albert es un álgebra de Jordan excepcional de 27 dimensiones . Se denominan así en honor a Abraham Adrian Albert , quien fue pionero en el estudio de las álgebras no asociativas , que generalmente trabajan sobre los números reales . Sobre los números reales, existen tres álgebras de Jordan de este tipo hasta el isomorfismo . [1] Una de ellas, que fue mencionada por primera vez por Pascual Jordan , John von Neumann y Eugene Wigner (1934) y estudiada por Albert (1934), es el conjunto de matrices autoadjuntas 3×3 sobre los octoniones , dotadas de la operación binaria
donde denota multiplicación de matrices. Otra se define de la misma manera, pero utilizando octoniones divididos en lugar de octoniones. La final se construye a partir de los octoniones no divididos utilizando una involución estándar diferente.
Sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado , existe una sola álgebra de Albert, y su grupo de automorfismos G es el grupo de división simple de tipo F 4 . [2] [3] (Por ejemplo, las complejizaciones de las tres álgebras de Albert sobre los números reales son álgebras de Albert isomorfas sobre los números complejos). Debido a esto, para un cuerpo general F , las álgebras de Albert se clasifican por el grupo de cohomología de Galois H 1 ( F , G ). [4]
La construcción de Kantor–Koecher–Tits aplicada a un álgebra de Albert da una forma del álgebra de Lie E7 . El álgebra de Albert dividida se utiliza en una construcción de un álgebra estructurable de 56 dimensiones cuyo grupo de automorfismos tiene como componente identidad el grupo algebraico simplemente conexo de tipo E6 . [5]
El espacio de invariantes cohomológicos de las álgebras de Albert es un cuerpo F (de característica no 2) con coeficientes en Z /2 Z es un módulo libre sobre el anillo de cohomología de F con una base 1, f 3 , f 5 , de grados 0, 3, 5. [6] Los invariantes cohomológicos con coeficientes de 3-torsión tienen una base 1, g 3 de grados 0, 3. [7] Los invariantes f 3 y g 3 son los componentes primarios del invariante de Rost .
Véase también
Notas
- ^ Springer y Veldkamp (2000) 5.8, p.153
- ^ Springer y Veldkamp (2000) 7.2
- ^ Chevalley C, Schafer RD (febrero de 1950). "Las álgebras de Lie simples excepcionales F(4) y E(6)". Proc. Natl. Sci. USA . 36 (2): 137–41. Bibcode :1950PNAS...36..137C. doi : 10.1073/pnas.36.2.137 . PMC 1063148 . PMID 16588959.
- ^ Knus y otros (1998) pág. 517
- ^ Skip Garibaldi (2001). "Álgebras estructurables y grupos de tipo E_6 y E_7". Journal of Algebra . 236 (2): 651–691. arXiv : math/9811035 . doi :10.1006/jabr.2000.8514.
- ^ Garibaldi, Merkurjev, Serre (2003), p.50
- ↑ Garibaldi (2009), pág. 20
Referencias
- Albert, A. Adrian (1934), "Sobre una cierta álgebra de la mecánica cuántica", Anales de matemáticas , Segunda serie, 35 (1): 65–73, doi :10.2307/1968118, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968118
- Garibaldi, Skip ; Merkurjev, Alexander; Serre, Jean-Pierre (2003), Invariantes cohomológicos en la cohomología de Galois , University Lecture Series, vol. 28, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3287-5, Sr. 1999383
- Garibaldi, Skip (2009). Invariantes cohomológicos: grupos excepcionales y grupos de espín . Memorias de la American Mathematical Society . Vol. 200. doi :10.1090/memo/0937. ISBN. 978-0-8218-4404-5.
- Jordan, Pascual ; Neumann, John von ; Wigner, Eugene (1934), "Sobre una generalización algebraica del formalismo mecánico cuántico", Annals of Mathematics , 35 (1): 29–64, doi :10.2307/1968117, JSTOR 1968117
- Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), El libro de las involuciones , Colloquium Publications, vol. 44, con un prefacio de J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0904-4, Zbl0955.16001
- McCrimmon, Kevin (2004), Una muestra de las álgebras de Jordan, Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, Sr. 2014924
- Springer, Tonny A. ; Veldkamp, Ferdinand D. (2000) [1963], Octoniones, álgebras de Jordan y grupos excepcionales, Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9, Sr. 1763974
Lectura adicional
