En geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal teseractico es una de las tres teselaciones regulares que llenan el espacio (o panales ), representadas por el símbolo de Schläfli {4,3,3,4}, y que consisten en un empaquetamiento de teseractos (4- hipercubos ).
Su figura de vértice es de 16 celdas . Dos teseractos se encuentran en cada celda cúbica , cuatro se encuentran en cada cara cuadrada , ocho se encuentran en cada arista y dieciséis se encuentran en cada vértice .
Es un análogo del mosaico cuadrado , {4,4}, del plano y del panal cúbico , {4,3,4}, del espacio tridimensional. Todos ellos forman parte de la familia de teselaciones de panal hipercúbicas de la forma {4,3,...,3,4}. Las teselaciones de esta familia son autoduales .
Los vértices de este panal se pueden posicionar en el espacio 4 en todas las coordenadas enteras (i, j, k, l).
Como todos los panales hipercúbicos regulares , el panal teseractico corresponde a un empaquetamiento de esferas de longitud de arista y diámetro centradas en cada vértice o (doblemente) inscritas en cada celda. En el panal hipercúbico de 4 dimensiones, las 3-esferas centradas en los vértices y las 3-esferas inscritas en las celdas encajarán a la vez, formando la única red cúbica regular centrada en el cuerpo de esferas de igual tamaño (en cualquier número de dimensiones). Dado que el teseracto es radialmente equilátero , hay exactamente suficiente espacio en el agujero entre las 16 3-esferas centradas en los vértices para otra 3-esfera de longitud de arista y diámetro. (Esta red cúbica de 4 dimensiones centrada en el cuerpo es en realidad la unión de dos panales teseracticos, en posiciones duales).
Este es el mismo empaquetamiento regular de 3-esferas más denso conocido, con un número de besos de 24, que también se ve en las otras dos teselaciones regulares del espacio de 4, el panal de 16 celdas y el panal de 24 celdas . Cada teseracto de 3-esferas inscritas besa una capa circundante de 24 teseractos de 3-esferas, 16 en los vértices del teseracto y 8 inscritas en los teseractos adyacentes. Estos 24 puntos de beso son los vértices de un teseracto de 24 celdas con un radio (y una longitud de arista) de 1/2.
Existen muchas construcciones Wythoff diferentes de este panal. La forma más simétrica es regular , con el símbolo de Schläfli {4,3,3,4}. Otra forma tiene dos facetas teseracto alternadas (como un tablero de ajedrez) con el símbolo de Schläfli {4,3,3 1,1 }. La construcción Wythoff de menor simetría tiene 16 tipos de facetas alrededor de cada vértice y un producto prismático con el símbolo de Schläfli {∞} 4 . Se puede hacer una estericando otra.
El [4,3,3,4],
El grupo de Coxeter genera 31 permutaciones de teselaciones uniformes, 21 con simetría distinta y 20 con geometría distinta. El panal teseractico expandido (también conocido como panal teseractico estericado) es geométricamente idéntico al panal teseractico. Tres de los panales simétricos se comparten en la familia [3,4,3,3]. Dos alternancias (13) y (17), y el cuarto teseractico (2) se repiten en otras familias.
El [4,3,3 1,1 ],
El grupo de Coxeter genera 31 permutaciones de teselaciones uniformes, 23 con simetría distinta y 4 con geometría distinta. Hay dos formas alternadas: las alternancias (19) y (24) tienen la misma geometría que el panal de 16 celdas y el panal de 24 celdas chato respectivamente.
El panal de 24 celdas es similar, pero además de los vértices en los números enteros (i, j, k, l), tiene vértices en los medios números enteros (i+1/2, j+1/2, k+1/2, l+1/2) de los números enteros impares solamente. Es un cubo centrado en el cuerpo medio lleno (un tablero de ajedrez en el que los 4 cubos rojos tienen un vértice central pero los 4 cubos negros no).
El teseracto puede realizar una teselación regular de la 4-esfera , con tres teseractos por cara, con símbolo de Schläfli {4,3,3,3}, llamada panal teseractico de orden 3. Es topológicamente equivalente al politopo regular penteracto en el 5-espacio.
El teseracto puede formar una teselación regular del espacio hiperbólico de 4 dimensiones , con 5 teseractos alrededor de cada cara, con símbolo de Schläfli {4,3,3,5}, llamado panal teseractico de orden 5 .
El teselado de Ammann-Beenker es un teselado aperiódico en dos dimensiones obtenido por corte y proyección sobre el panal teseractico a lo largo de un eje de simetría rotacional óctuple. [1] [2]
Un panal teseractico birectificado ,
, contiene todas las facetas rectificadas de 16 celdas ( 24 celdas ) y es la teselación de Voronoi de la red D 4 * . Las facetas se pueden colorear de forma idéntica a partir de una simetría duplicada ×2, [[4,3,3,4]], coloreadas de forma alternada a partir de una simetría , [4,3,3,4], tres colores a partir de una simetría , [4,3,3 1,1 ] y 4 colores a partir de una simetría , [3 1,1,1,1 ].
Panales regulares y uniformes en 4 espacios:
