En geometría sólida , una cara es una superficie plana (una región plana ) que forma parte del límite de un objeto sólido; [1] un sólido tridimensional acotado exclusivamente por caras es un poliedro .
En tratamientos más técnicos de la geometría de poliedros y politopos de dimensiones superiores , el término también se utiliza para referirse a un elemento de cualquier dimensión de un politopo más general (en cualquier número de dimensiones). [2]
En geometría elemental, una cara es un polígono [nota 1] en el límite de un poliedro . [2] [3] Otros nombres para una cara poligonal incluyen lado poliedro y mosaico plano euclidiano .
Por ejemplo, cualquiera de los seis cuadrados que delimitan un cubo es una cara del cubo. A veces, "cara" también se utiliza para referirse a las características bidimensionales de un politopo de 4 dimensiones . Con este significado, el teseracto de 4 dimensiones tiene 24 caras cuadradas, cada una de las cuales comparte dos de las 8 celdas cúbicas .
La superficie de cualquier poliedro convexo tiene la característica de Euler.
donde V es el número de vértices , E es el número de aristas y F es el número de caras. Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler . Por tanto, el número de caras es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de vértices. Por ejemplo, un cubo tiene 12 aristas y 8 vértices y, por tanto, 6 caras.
En geometría de dimensiones superiores, las caras de un politopo son entidades de todas las dimensiones. [2] [4] [5] Una cara de dimensión k se llama k -cara. Por ejemplo, las caras poligonales de un poliedro ordinario tienen 2 caras. En teoría de conjuntos , el conjunto de caras de un politopo incluye el politopo en sí y el conjunto vacío, donde al conjunto vacío se le da por coherencia una "dimensión" de −1. Para cualquier n -politopo ( n -politopo dimensional), −1 ≤ k ≤ n .
Por ejemplo, con este significado, las caras de un cubo comprenden el cubo en sí (3 caras), sus facetas (cuadradas) (2 caras), sus aristas (segmento de línea) (1 caras), sus vértices (puntos). (0 caras) y el conjunto vacío.
En algunas áreas de las matemáticas, como la combinatoria poliédrica , un politopo es por definición convexo. Formalmente, una cara de un politopo P es la intersección de P con cualquier semiespacio cerrado cuyo límite sea disjunto del interior de P. [6] De esta definición se deduce que el conjunto de caras de un politopo incluye el politopo mismo y el conjunto vacío. [4] [5]
En otras áreas de las matemáticas, como las teorías de los politopos abstractos y los politopos estelares , el requisito de convexidad se relaja. La teoría abstracta todavía requiere que el conjunto de caras incluya el politopo mismo y el conjunto vacío.
Un simplex de n dimensiones (segmento de línea ( n = 1 ), triángulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), etc.), definido por n + 1 vértices, tiene una cara para cada subconjunto de los vértices, de la configuración vacía a través del conjunto de todos los vértices. En particular, hay 2 n + 1 caras en total. El número de ellas que son k -caras, para k ∈ {−1, 0, ..., n } , es el coeficiente binomial .
Hay nombres específicos para k -caras dependiendo del valor de k y, en algunos casos, de qué tan cerca está k de la dimensionalidad n del politopo.
Vertex es el nombre común para una cara 0.
Edge es el nombre común para una cara.
El uso de cara en un contexto donde una k específica está destinada a una k -cara pero no se especifica explícitamente es comúnmente una 2 caras.
Una celda es un elemento poliédrico ( 3 caras ) de un politopo de 4 dimensiones o un mosaico de 3 dimensiones, o superior. Las celdas son facetas de 4 politopos y 3 panales.
Ejemplos:
En geometría de dimensiones superiores, las facetas (también llamadas hipercaras ) [7] de un n -politopo son las ( n − 1 ) -caras (caras de dimensión uno menor que el politopo mismo). [8] Un politopo está delimitado por sus facetas.
Por ejemplo:
En terminología relacionada, las caras ( n − 2 ) de un politopo n se denominan crestas (también subfacetas ). [9] Una cresta se considera el límite entre exactamente dos facetas de un politopo o panal.
Por ejemplo:
Las caras ( n − 3 ) de un politopo n se denominan picos . Un pico contiene un eje de rotación de facetas y crestas en un politopo regular o en forma de panal.
Por ejemplo:
