En matemáticas, el término jet hace referencia a un operador que aplicado sobre una función diferenciable f, devuelve el polinomio correspondiente a la serie de Taylor truncada en cada punto del dominio de f. Aunque esta es la definición de un jet, la teoría de jets considera estos términos como polinomios abstractos y no como funciones polinómicas.
Concluye con una descripción de estos operadores sobre variedades, y cómo se pueden construir intrínsecamente.
es una función de valor real que tiene al menos k + 1 derivadas en un entorno U del punto
En otras palabras, z es una variable indeterminada que permite realizar varias operaciones algebraicas entre los jets.
Las razones y aplicaciones de esta separación se tratan más adelante en el artículo.
es una función de un espacio euclidiano en otro, que tiene al menos (k + 1) derivadas.
Hay dos estructuras algebraicas básicas que los jets pueden soportar.
La primera es una estructura de producto, aunque finalmente resulta ser la menos importante.
son un par de funciones con valores reales, entonces se puede definir el producto de sus jets a través de Aquí se ha suprimido la z indeterminada, ya que se entiende que los jets son polinomios formales.
En cuanto a la composición de jets, para evitar tecnicismos innecesarios, se consideran jets de funciones que asignan el origen al origen.
Se verifica fácilmente, utilizando la regla de la cadena, que esto constituye una operación asociativa no conmutativa en el espacio de los jets en el origen.
Sea también k un entero no negativo, y p un punto de
en este espacio declarando que dos funciones f y g son equivalentes en el orden k si f y g tienen el mismo valor en p, y todas sus derivadas parciales concuerdan en p hasta (e incluyendo) sus derivadas de k-ésimo orden.
consiste en todos los gérmenes de funciones que se anulan hasta el orden k en p. Ahora se puede definir el espacio de jets en p por Si
Entonces, en el contexto euclidiano, los jets generalmente se identifican con sus representantes polinomiales bajo este isomorfismo.
Una posibilidad es intentar definir dicho jet usando coordenadas locales en M y N. La desventaja de este procedimiento es que los jets no se pueden definir así en una forma equivariante.
Los jets no se comportan como tensores, y son afectados por las traslaciones.
Demuestra que tales jets forman un fibrado, análogo al fibrado tangente, que es un paquete asociado de un grupo de jets.
En esta sección, se adopta un enfoque analítico para los jets.
tales que f(0) = p. Se define una relación de equivalencia
son solo asignaciones de la línea real sobre sí misma.
forma un fibrado sobre M: el k-ésimo orden de un fibrado tangente, a menudo indicado en la literatura como TkM (aunque esta notación ocasionalmente puede llevar a confusión).
Dos curvas f y g sobre p son equivalentes al módulo
sea el difeomorfismo del cambio de coordenadas asociado al espacio euclidiano consigo mismo.
, se puede suponer sin pérdida de generalidad que ρ(0) = 0.
Además, es diferenciable, aunque este hecho no se comprueba aquí.
En términos generales, un multijet es una lista finita de jets sobre diferentes puntos base.
Además, estos ejemplos de posibles generalizaciones ciertamente no son exhaustivos.
Aunque esta notación puede llevar a la confusión con los espacios de funciones más generales entre dos variedades, el contexto normalmente elimina cualquier ambigüedad.
Como p varía sobre M, los espacios de jets