Grupo diédrico de orden 6

En matemáticas, D3 (a veces denominado alternativamente D6) es el grupo diédrico de grado 3 y orden 6.[1]​ Esta página ilustra muchos conceptos ligados a la definición de grupo usándolo como ejemplo.El grupo diédrico D3 es isomorfo a otros dos grupos de simetría en tres dimensiones: Considérense tres bloques de colores (rojo, verde y azul), colocados inicialmente en el orden RGB (red, green and blue).En forma multiplicativa, tradicionalmente se escribe xy para la acción combinada "primero hacer y y después hacer x"; de modo que ab es la acción RGB ↦ RBG ↦ BRG, es decir, "tomar el último bloque y moverlo adelante".Si se escribe e para "dejar los bloques como están" (la acción identidad), entonces se pueden escribir las seis permutaciones del conjunto de tres bloques como las siguientes acciones: La notación entre paréntesis es la permutación.Téngase en cuenta que la acción aa tiene el efecto RGB ↦ GRB ↦ RGB, dejando los bloques como estaban; entonces se puede escribir que aa= e. Similarmente, y en consecuencia, cada una de las acciones anteriores tiene una inversa.Con los generadores a y b, se definen las abreviaturas adicionales c := aba, d := ab y f := ba, de modo que a, b, c, d, e y f sean todos los elementos de este grupo.Entonces, se pueden resumir las operaciones del grupo en forma de tabla de Cayley: Debe tenerse en cuenta de que los elementos no iguales que no son la identidad solo comutan si son inversos entre sí.Se pueden distinguir fácilmente tres tipos de permutaciones de los tres bloques, las clases de conjugación del grupo: Por ejemplo, (RG) y (RB) tienen la forma (x y); una permutación de las letras R, G y B (es decir, (GB)) cambia la notación (RG) a (RB).Téngase en cuenta que los elementos del grupo conjugado siempre tienen el mismo orden, pero en general, dos elementos del grupo que tienen el mismo orden no necesitan ser conjugados.Según el teorema de Lagrange, se sabe que cualquier subgrupo no trivial de un grupo con 6 elementos debe tener orden 2 o 3.El primero mencionado es {(), (RGB), (RBG) }, o grupo alternante A3.Esta descomposición también es consecuencia (caso particular) del teorema de Schur-Zassenhaus.Si el grupo original es el generado por una rotación de 120° de un plano alrededor de un punto y una reflexión con respecto a una línea que pasa por ese punto, entonces el grupo cociente tiene dos elementos que pueden describirse como los subconjuntos "rotación simple (o no hacer nada)" y "aplicar una imagen especular".El producto semidirecto es isomorfo al grupo diédrico de orden 6 si φ(0) es la identidad y φ(1) es el automorfismo no trivial de C3, que invierte los elementos.La unión de, por ejemplo, dos órbitas es invariante bajo G, pero no fija.Específicamente, la biyección viene dada por hGx ↦ h · x.Este resultado se conoce como el "teorema del estabilizador de órbita".En los dos casos de órbita pequeña, el estabilizador no es trivial.Más precisamente: si y = g · x, entonces Gy = gGx g−1.En el gráfico esto se cumple por ejemplo para 5 y 25, ambos puntos de reflexión.Sin considerar isomorfismos, este grupo posee tres representaciones unitarias complejas irreducibles, que se denominanal permutar las entradas del vector, la representación fundamental.Esta representación no es irreducible, ya que se descompone como una suma directa dees la representación en su complemento ortogonal, que son vectores de la forma, el orden del grupo), se comprueba que estas deben ser todas las representaciones irreductibles.[2]​ Una representación lineal irreducible bidimensional produce una representación proyectiva unidimensional (es decir, un acción sobre la recta proyectiva, una inclusión en la transformación de Möbius PGL(2, C)), como transformaciones elípticas.Esto se puede representar mediante matrices con entradas 0 y ±1 (aquí escritas como transformaciones lineales fraccionarias), conocidas como razones armónicas: y así desciende a una representación sobre cualquier cuerpo, que siempre es fiel/inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran solo por un signo).Sobre el cuerpo con dos elementos, la recta proyectiva tiene solo 3 puntos, y este es por tanto el isomorfismo excepcional(en la característica mayor que 3, estos puntos son distintos y permutados, y son las órbitas de la razón armónica cruzada).