Glosario de símbolos matemáticos

Significados de los símbolos utilizados en matemáticas.

Un símbolo matemático es una figura o una combinación de figuras que se utiliza para representar un objeto matemático , una acción sobre objetos matemáticos, una relación entre objetos matemáticos o para estructurar los otros símbolos que aparecen en una fórmula . Como las fórmulas están enteramente constituidas por símbolos de varios tipos, se necesitan muchos símbolos para expresar todas las matemáticas.

Los símbolos más básicos son los dígitos decimales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y las letras del alfabeto latino . Los dígitos decimales se utilizan para representar números mediante el sistema de numeración hindú-árabe . Históricamente, las letras mayúsculas se usaban para representar puntos en geometría y las letras minúsculas para variables y constantes . Las letras se utilizan para representar muchos otros tipos de objetos matemáticos . Como el número de estos tipos ha aumentado notablemente en las matemáticas modernas, también se utilizan el alfabeto griego y algunas letras hebreas . En fórmulas matemáticas, el tipo de letra estándar es cursiva para letras latinas y letras griegas minúsculas, y tipo vertical para letras griegas mayúsculas. Para tener más símbolos, también se utilizan otros tipos de letra, principalmente negrita , tipografía script (la letra minúscula rara vez se usa debido a la posible confusión con la letra estándar), fraktur alemán y negrita de pizarra (las otras letras rara vez se usan). en este aspecto, o su uso es poco convencional). ${\displaystyle \mathbf {a,A,b,B} ,\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {A,B}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a,A,b,B}},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}}$

En este artículo no se describe el uso de letras latinas y griegas como símbolos para denotar objetos matemáticos . Para tales usos, consulte Variable (matemáticas) y Lista de constantes matemáticas . Sin embargo, algunos símbolos que se describen aquí tienen la misma forma que la letra de la que se derivan, como y . ${\displaystyle \textstyle \prod {}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum {}}$

Estas letras por sí solas no son suficientes para las necesidades de los matemáticos y se utilizan muchos otros símbolos. Algunas tienen su origen en los signos de puntuación y signos diacríticos utilizados tradicionalmente en tipografía ; otros deformando las formas de las letras , como en los casos de y . Otros, como + y = , fueron diseñados especialmente para matemáticas. ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \forall }$

Diseño de este artículo

Normalmente, las entradas de un glosario están estructuradas por temas y ordenadas alfabéticamente. Esto no es posible aquí, ya que no existe un orden natural en los símbolos y muchos símbolos se utilizan en diferentes partes de las matemáticas con diferentes significados, a menudo sin ninguna relación. Por lo tanto, hubo que tomar algunas decisiones arbitrarias, que se resumen a continuación.

El artículo está dividido en secciones que están clasificadas según un nivel cada vez mayor de tecnicismos. Es decir, las primeras secciones contienen los símbolos que se encuentran en la mayoría de los textos matemáticos y que se supone que conocen incluso los principiantes. Por otro lado, las últimas secciones contienen símbolos que son específicos de algún área de las matemáticas y se ignoran fuera de estas áreas. Sin embargo, la sección larga sobre corchetes se ha colocado cerca del final, aunque la mayoría de sus entradas son elementales: esto facilita la búsqueda de una entrada de símbolo mediante el desplazamiento.

La mayoría de los símbolos tienen múltiples significados que generalmente se distinguen ya sea por el área de las matemáticas donde se utilizan o por su sintaxis , es decir, por su posición dentro de una fórmula y la naturaleza de las otras partes de la fórmula que se encuentran cercanas a ellos.

Como el lector puede no ser consciente del área de las matemáticas con la que está relacionado el símbolo que busca, los diferentes significados de un símbolo se agrupan en el apartado correspondiente a su significado más común.

Cuando el significado depende de la sintaxis, un símbolo puede tener diferentes entradas según la sintaxis. Para resumir la sintaxis en el nombre de la entrada, el símbolo se utiliza para representar las partes vecinas de una fórmula que contiene el símbolo. Consulte § Corchetes para ver ejemplos de uso. ${\displaystyle \Box }$

La mayoría de los símbolos tienen dos versiones impresas. Se pueden mostrar como caracteres Unicode o en formato LaTeX . Con la versión Unicode, usar motores de búsqueda y copiar y pegar es más fácil. Por otro lado, la representación en LaTeX suele ser mucho mejor (más estética) y generalmente se considera un estándar en matemáticas. Por lo tanto, en este artículo, se utiliza la versión Unicode de los símbolos (cuando sea posible) para etiquetar su entrada, y la versión LaTeX se utiliza en su descripción. Entonces, para saber cómo escribir un símbolo en LaTeX, basta con consultar la fuente del artículo.

Para la mayoría de los símbolos, el nombre de la entrada es el símbolo Unicode correspondiente. Entonces, para buscar la entrada de un símbolo, basta con escribir o copiar el símbolo Unicode en el cuadro de texto de búsqueda. De manera similar, cuando sea posible, el nombre de entrada de un símbolo también es un ancla , lo que permite vincular fácilmente desde otro artículo de Wikipedia. Cuando el nombre de una entrada contiene caracteres especiales como [, ] y |, también hay un ancla, pero hay que consultar la fuente del artículo para saberlo.

Finalmente, cuando hay un artículo sobre el símbolo en sí (no sobre su significado matemático), se vincula a él en el nombre de la entrada.

Operadores aritméticos

+     ( signo más )

1. Denota suma y se lee como más ; por ejemplo, 3 + 2 .

2. Denota que un número es positivo y se lee como más . Redundante, pero a veces se usa para enfatizar que un número es positivo , especialmente cuando otros números en el contexto son o pueden ser negativos; por ejemplo, +2 .

3. A veces se usa en lugar de para una unión disjunta de conjuntos . ${\displaystyle \sqcup }$

-     ( signo menos )

1. Denota resta y se lee como menos ; por ejemplo, 3 – 2 .

2. Denota el inverso aditivo y se lee como negativo o lo contrario de ; por ejemplo, –2 .

3. También se utiliza en lugar de \ para indicar el complemento de la teoría de conjuntos ; ver \ en § Teoría de conjuntos.

×     ( signo de multiplicación )

1. En aritmética elemental , denota multiplicación , y se lee como tiempos ; por ejemplo, 3 × 2 .

2. En geometría y álgebra lineal , denota el producto vectorial .

3. En teoría de conjuntos y teoría de categorías , denota el producto cartesiano y el producto directo . Véase también × en § Teoría de conjuntos.

·     ( interpunto )

1. Denota multiplicación y se lee como tiempos ; por ejemplo, 3 ⋅ 2 .

2. En geometría y álgebra lineal , denota el producto escalar .

3. Marcador de posición utilizado para reemplazar un elemento indeterminado. Por ejemplo, decir "el valor absoluto se denota como | · | " es quizás más claro que decir que se denota como | | .

±     ( signo más-menos )

1. Denota un signo más o un signo menos.

2. Denota el rango de valores que puede tener una cantidad medida; por ejemplo, 10 ± 2 denota un valor desconocido que se encuentra entre 8 y 12.

∓     ( signo menos-más )

Usado junto con ± , denota el signo opuesto; es decir, + si ± es – y – si ± es + .

÷     ( signo de división )

Ampliamente utilizado para denotar división en los países anglófonos , ya no es de uso común en matemáticas y su uso "no se recomienda". ^[1] En algunos países, puede indicar resta.

:     ( colon )

1. Denota la relación de dos cantidades.

2. En algunos países, puede denotar división .

3. En la notación de creación de conjuntos , se utiliza como separador y significa "tal que"; ver {□: □}.

/     ( barra )

1. Denota división y se lee dividido por o sobre . A menudo se reemplaza por una barra horizontal. Por ejemplo, 3/2 o . ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

2. Denota una estructura cociente . Por ejemplo, conjunto de cocientes , grupo de cocientes , categoría de cocientes , etc.

3. En teoría de números y teoría de campos , denota una extensión de campo , donde F es una extensión de campo del campo E. ${\displaystyle F/E}$

4. En teoría de la probabilidad , denota una probabilidad condicional . Por ejemplo, denota la probabilidad de A , dado que ocurre B. También se indica : consulte "|". ${\displaystyle P(A/B)}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$

√     ( símbolo de raíz cuadrada )

Denota raíz cuadrada y se lee como la raíz cuadrada de . Rara vez se utiliza en matemáticas modernas sin una barra horizontal que delimite el ancho de su argumento (consulte el siguiente elemento). Por ejemplo, √2 .

√      ( símbolo radical )

1. Denota raíz cuadrada y se lee como raíz cuadrada de . Por ejemplo, . ${\displaystyle {\sqrt {3+2}}}$

2. Con un número entero mayor que 2 como superíndice izquierdo, denota una raíz enésima . Por ejemplo, denota la séptima raíz de 3. ${\displaystyle {\sqrt[{7}]{3}}}$

^     ( intercalación )

1.   La exponenciación normalmente se indica con un superíndice . Sin embargo, a menudo se denota x ^ y cuando los superíndices no están fácilmente disponibles, como en los lenguajes de programación (incluido LaTeX ) o en los correos electrónicos de texto sin formato . ${\displaystyle x^{y}}$

2. No confundir con ∧

Igualdad, equivalencia y semejanza

=     ( signo igual )

1. Denota igualdad .

2. Se utiliza para nombrar un objeto matemático en una oración como "let ", donde E es una expresión . Véase también ≝ , ≜ o . ${\displaystyle x=E}$  ${\displaystyle :=}$

${\displaystyle \triangleq \quad {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\quad :=}$

Cualquiera de estos se utiliza a veces para nombrar un objeto matemático . Por lo tanto, y son cada una una abreviatura de la frase "sea x = E ", donde E es una expresión y x es una variable . Esto es similar al concepto de tarea en informática, que se denota de diversas formas (según el lenguaje de programación utilizado) ${\displaystyle x\triangleq E}$ ${\displaystyle x\mathrel {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}} E}$ ${\displaystyle x\mathrel {:=} E}$ ${\displaystyle =,:=,\leftarrow ,\ldots }$

≠     ( signo no igual )

Denota desigualdad y significa "no igual".

≈

El símbolo más común para indicar igualdad aproximada . Por ejemplo, ${\displaystyle \pi \approx 3.14159.}$

~     ( tilde )

1. Entre dos números, se usa en lugar de ≈ para significar "aproximadamente igual" o significa "tiene el mismo orden de magnitud que".

2. Denota la equivalencia asintótica de dos funciones o secuencias.

3. A menudo se utiliza para denotar otros tipos de similitud, por ejemplo, similitud matricial o similitud de formas geométricas .

4. Notación estándar para una relación de equivalencia .

5. En probabilidad y estadística , puede especificar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria . Por ejemplo, significa que la distribución de la variable aleatoria X es normal estándar . ^[2] ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$

6. Notación de proporcionalidad . Véase también ∝ para ver un símbolo menos ambiguo.

≡     ( triple barra )

1. Denota una identidad , es decir, una igualdad que es verdadera cualesquiera que sean los valores que se den a las variables que aparecen en ella.

2. En teoría de números , y más concretamente en aritmética modular , denota la congruencia módulo de un número entero.

3. Puede denotar una equivalencia lógica .

${\displaystyle \cong }$

1. Puede denotar un isomorfismo entre dos estructuras matemáticas y se lee como "es isomorfo a".

2. En geometría , puede denotar la congruencia de dos figuras geométricas (es decir, la igualdad hasta un desplazamiento ), y se lee "es congruente con".

Comparación

<     ( signo menor que )

1.   Estricta desigualdad entre dos números; significa y se lee como " menor que ".

2. Se usa comúnmente para indicar cualquier orden estricto .

3. Entre dos grupos , puede significar que el primero es un subgrupo propio del segundo.

>     ( signo mayor que )

1.   Estricta desigualdad entre dos números; significa y se lee como " mayor que ".

2. Se usa comúnmente para indicar cualquier orden estricto .

3. Entre dos grupos , puede significar que el segundo es un subgrupo propio del primero.

≤

1. Significa " menor o igual a ". Es decir, sean cuales sean A y B , A ≤ B es equivalente a A < B o A = B .

2. Entre dos grupos , puede significar que el primero es un subgrupo del segundo.

≥

1. Significa " mayor o igual a ". Es decir, sean cuales sean A y B , A ≥ B es equivalente a A > B o A = B .

2. Entre dos grupos , puede significar que el segundo es un subgrupo del primero.

${\displaystyle \ll {\text{ and }}\gg }$

1. Significa " mucho menor que " y " mucho mayor que ". Generalmente, mucho no se define formalmente, pero significa que la cantidad menor puede despreciarse con respecto a la otra. Este suele ser el caso cuando la cantidad menor es menor que la otra en uno o varios órdenes de magnitud .

2. En teoría de la medida , significa que la medida es absolutamente continua respecto de la medida . ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \leqq }$

Un símbolo poco utilizado, generalmente sinónimo de ≤ .

${\displaystyle \prec {\text{ and }}\succ }$

1. A menudo se usa para indicar un pedido o, más generalmente, un pedido anticipado , cuando sería confuso o no conveniente usar < y > .

2.   Secuenciación en lógica asincrónica .

Teoría de conjuntos

∅

Denota el conjunto vacío y se escribe más a menudo . Usando la notación de generador de conjuntos , también se puede denotar { } {\displaystyle \{\}} . ${\displaystyle \emptyset }$

#     ( símbolo de número )

1. Número de elementos: puede denotar la cardinalidad del conjunto S. Una notación alternativa es ; ver | ◻ | {\displaystyle |\cuadrado |} . ${\displaystyle \#{}S}$ ${\displaystyle |S|}$

2.   Primordial : denota el producto de los números primos que no son mayores que n . ${\displaystyle n{}\#}$

3. En topología , denota la suma conexa de dos variedades o dos nudos . ${\displaystyle M\#N}$

∈

Indica membresía del conjunto y se lee "en" o "pertenece a". Es decir, significa que x es un elemento del conjunto S. ${\displaystyle x\in S}$

∉

Significa "no en". Es decir, significa . ${\displaystyle x\notin S}$ ${\displaystyle \neg (x\in S)}$

⊂

Denota inclusión de conjuntos . Sin embargo, son comunes dos definiciones ligeramente diferentes.

1.   puede significar que A es un subconjunto de B y posiblemente sea igual a B ; es decir, todo elemento de A pertenece a B ; en fórmula, . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

2.   puede significar que A es un subconjunto propio de B , es decir, los dos conjuntos son diferentes y cada elemento de A pertenece a B ; en fórmula, . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle A\neq B\land \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

⊆

${\displaystyle A\subseteq B}$significa que A es un subconjunto de B . Se usa para enfatizar que la igualdad es posible, o cuando A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} significa que es un subconjunto adecuado de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

⊊

${\displaystyle A\subsetneq B}$significa que A es un subconjunto propio de B . Se usa para enfatizar que , o cuando A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} no implica que sea un subconjunto adecuado de ${\displaystyle A\neq B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

⊃, ⊇, ⊋

Denota la relación inversa de ⊂ {\displaystyle \subset } , ⊆ {\displaystyle \subseteq } y ⊊ {\displaystyle \subsetneq } respectivamente. Por ejemplo, equivale a . ${\displaystyle B\supset A}$ ${\displaystyle A\subset B}$

∪

Denota unión teórica de conjuntos , es decir, es el conjunto formado por los elementos de A y B juntos. Eso es, . ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle A\cup B=\{x\mid (x\in A)\lor (x\in B)\}}$

∩

Denota intersección teórica de conjuntos , es decir, es el conjunto formado por los elementos tanto de A como de B. Eso es, . ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A\cap B=\{x\mid (x\in A)\land (x\in B)\}}$

∖     ( barra invertida )

Establecer diferencia ; es decir, es el conjunto formado por los elementos de A que no están en B. A veces se utiliza en su lugar; ver – en § Operadores aritméticos. ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle A-B}$

⊖ o ${\displaystyle \triangle }$

Diferencia simétrica : es decir, o es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exactamente a uno de los dos conjuntos A y B. ${\displaystyle A\ominus B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B}$

${\displaystyle \complement }$

1. Con un subíndice, denota un complemento de conjunto : es decir, si , entonces . ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \complement _{A}B=A\setminus B}$

2. Sin subíndice, denota el complemento absoluto ; es decir , donde U es un conjunto definido implícitamente por el contexto, que contiene todos los conjuntos considerados. Este conjunto U a veces se denomina universo del discurso . ${\displaystyle \complement A=\complement _{U}A}$

×     ( signo de multiplicación )

Véase también × en § Operadores aritméticos.

1. Denota el producto cartesiano de dos conjuntos. Es decir, es el conjunto formado por todos los pares de un elemento de A y un elemento de B. ${\displaystyle A\times B}$

2. Denota el producto directo de dos estructuras matemáticas del mismo tipo, que es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, dotados de una estructura del mismo tipo. Por ejemplo, producto directo de anillos , producto directo de espacios topológicos .

3. En teoría de categorías , denota el producto directo (a menudo llamado simplemente producto ) de dos objetos, que es una generalización de los conceptos anteriores de producto.

${\displaystyle \sqcup }$

Denota la unión disjunta . Es decir, si A y B son conjuntos, entonces es un conjunto de pares donde i _A e i _B son índices distintos que discriminan los miembros de A y B en . ${\displaystyle A\sqcup B=\left(A\times \{i_{A}\}\right)\cup \left(B\times \{i_{B}\}\right)}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$

${\displaystyle \bigsqcup {\text{ or }}\coprod }$

1. Se utiliza para la unión disjunta de una familia de conjuntos, como en ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}.}$

2. Denota el coproducto de estructuras matemáticas o de objetos en una categoría .

Lógica básica

Varios símbolos lógicos se utilizan ampliamente en todas las matemáticas y se enumeran aquí. Para los símbolos que se usan solo en lógica matemática , o que rara vez se usan, consulte Lista de símbolos lógicos .

¬     ( no firmar )

Denota negación lógica y se lee como "no". Si E es un predicado lógico , es el predicado que se evalúa como verdadero si y sólo si E se evalúa como falso . Para mayor claridad, a menudo se reemplaza por la palabra "no". En los lenguajes de programación y algunos textos matemáticos, a veces se reemplaza por " ~ " o " ! ", que son más fáciles de escribir en algunos teclados. ${\displaystyle \neg E}$

∨     ( cuña descendente )

1. Denota el o lógico y se lee como "o". Si E y F son predicados lógicos , es verdadero si E , F o ambos son verdaderos. A menudo se sustituye por la palabra "o". ${\displaystyle E\lor F}$

2. En teoría de celosías , denota la operación de unión o de límite superior mínimo .

3. En topología , denota la suma de cuña de dos espacios puntiagudos .

∧     ( cuña )

1. Denota el lógico y y se lee como "y". Si E y F son predicados lógicos , es verdadero si E y F son ambos verdaderos. A menudo se reemplaza por la palabra "y" o el símbolo " & ". ${\displaystyle E\land F}$

2. En teoría de celosías , denota la operación de encuentro o límite inferior máximo .

3. En álgebra multilineal , geometría y cálculo multivariable , denota el producto de cuña o el producto exterior .

⊻

O exclusivo : si E y F son dos variables o predicados booleanos , denota el o exclusivo. Las notaciones E XOR F y también se utilizan habitualmente; ver ⊕. ${\displaystyle E\veebar F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$

∀     ( convertido en A )

1. Denota cuantificación universal y se lee como "para todos". Si E es un predicado lógico , significa que E es verdadero para todos los valores posibles de la variable x . ${\displaystyle \forall xE}$

2. A menudo se utiliza incorrectamente ^[3] en texto plano como abreviatura de "para todos" o "para todos".

∃

1. Denota cuantificación existencial y se lee "existe... tal que". Si E es un predicado lógico , significa que existe al menos un valor de x para el cual E es verdadero. ${\displaystyle \exists xE}$

2. A menudo se utiliza incorrectamente ^[3] en texto plano como abreviatura de "existe".

∃!

Denota cuantificación de unicidad , es decir, significa "existe exactamente una x tal que P (es verdadera)". En otras palabras, es una abreviatura de . ${\displaystyle \exists !xP}$ ${\displaystyle \exists !xP(x)}$ ${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$

⇒

1. Denota condicional material y se lee como "implica". Si P y Q son predicados lógicos , significa que si P es verdadero, entonces Q también lo es. Por tanto, es lógicamente equivalente a . ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q\lor \neg P}$

2. A menudo se utiliza incorrectamente ^[3] en texto plano como abreviatura de "implica".

⇔

1. Denota equivalencia lógica , y se lee "es equivalente a" o " si y sólo si ". Si P y Q son predicados lógicos , es por tanto una abreviatura de , o de . ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle (P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)}$ ${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$

2. A menudo se utiliza incorrectamente ^[3] en texto plano como abreviatura de " si y sólo si ".

⊤     ( Camiseta )

1.   denota el predicado lógico siempre verdadero . ${\displaystyle \top }$

2. Denota también el valor de verdad verdadero .

3. A veces denota el elemento superior de una red acotada (los significados anteriores son ejemplos específicos).

4. Para su uso como superíndice, consulte □⊤.

⊥     ( amura hacia arriba )

1.   denota el predicado lógico siempre falso . ${\displaystyle \bot }$

2. Denota también el valor de verdad falso .

3. A veces denota el elemento inferior de una red acotada (los significados anteriores son ejemplos específicos).

4. En criptografía a menudo denota un error en lugar de un valor regular.

5. Para su uso como superíndice, consulte □⊥.

6. Para ver el símbolo similar, consulte ⊥ {\displaystyle \perp } .

Pizarra en negrita

El tipo de letra negrita de pizarra se usa ampliamente para indicar los sistemas numéricos básicos . Estos sistemas a menudo también se indican con la correspondiente letra mayúscula y negrita. Una clara ventaja de la negrita de pizarra es que estos símbolos no se pueden confundir con nada más. Esto permite utilizarlos en cualquier área de las matemáticas, sin tener que recordar su definición. Por ejemplo, si uno se encuentra en combinatoria , debe saber inmediatamente que esto denota los números reales , aunque la combinatoria no estudia los números reales (pero los usa para muchas demostraciones). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {N} }$

Denota el conjunto de números naturales o, a veces , cuando la distinción es importante y los lectores pueden asumir cualquiera de las definiciones, y se utilizan, respectivamente, para denotar uno de ellos sin ambigüedades. La notación también se utiliza habitualmente. ${\displaystyle \{1,2,\ldots \},}$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Denota el conjunto de números enteros . A menudo también se denota por ${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} .}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

1. Denota el conjunto de p -enteros ádicos , donde p es un número primo .

2. A veces, denota los números enteros módulo n , donde n es un número entero mayor que 0. La notación también se utiliza y es menos ambigua. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Denota el conjunto de los números racionales (fracciones de dos números enteros). A menudo también se denota por ${\displaystyle \mathbf {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Denota el conjunto de números p -ádicos , donde p es un número primo .

${\displaystyle \mathbb {R} }$

Denota el conjunto de los números reales . A menudo también se denota por ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

Denota el conjunto de los números complejos . A menudo también se denota por ${\displaystyle \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {H} }$

Denota el conjunto de cuaterniones . A menudo también se denota por ${\displaystyle \mathbf {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

Denota el campo finito con q elementos, donde q es una potencia prima (incluidos los números primos ). También se denota por GF( q ) .

${\displaystyle \mathbb {O} }$

Usado en raras ocasiones para denotar el conjunto de octoniones . A menudo también se denota por ${\displaystyle \mathbf {O} .}$

Cálculo

□ '

Notación de Lagrange para la derivada : Si f es una función de una sola variable, leída como "f prima ", es la derivada de f con respecto a esta variable. La segunda derivada es la derivada de y se denota . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$

${\displaystyle {\dot {\Box }}}$

Notación de Newton , más comúnmente utilizada para la derivada con respecto al tiempo: Si x es una variable que depende del tiempo, entonces es su derivada con respecto al tiempo. En particular, si x representa un punto en movimiento, entonces es su velocidad . ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\ddot {\Box }}}$

Notación de Newton , para la segunda derivada : Si x es una variable que representa un punto en movimiento, entonces es su aceleración . ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

re □/re □

La notación de Leibniz para la derivada , que se utiliza de varias maneras ligeramente diferentes.

1. Si y es una variable que depende de x , entonces , leída como "dy sobre d x", es la derivada de y con respecto a x . ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

2. Si f es una función de una sola variable x , entonces es la derivada de f y es el valor de la derivada en a . ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}$

3.   Derivada total : Si es función de varias variables que dependen de x , entonces la derivada de f se considera función de x . Eso es, . ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{dx}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

∂ □/∂ □

Derivada parcial : Si es función de varias variables, la derivada respecto de la i -ésima variable se considera como variable independiente , considerándose las demás variables como constantes. ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

𝛿 □/𝛿 □

Derivada funcional : Si es una funcional de varias funciones , la derivada funcional respecto de la enésima función se considera como una variable independiente , considerándose las demás funciones constantes. ${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\delta f}{\delta y_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {\Box }}}$

1.   Conjugado complejo : si z es un número complejo , entonces es su conjugado complejo. Por ejemplo, . ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {a+bi}}=a-bi}$

2.   Cierre topológico : Si S es un subconjunto de un espacio topológico T , entonces es su cierre topológico, es decir, el subconjunto cerrado más pequeño de T que contiene a S. ${\displaystyle {\overline {S}}}$

3.   Cierre algebraico : Si F es un campo , entonces es su cierre algebraico, es decir, el campo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a F. Por ejemplo, es el campo de todos los números algebraicos . ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

4.   Valor medio : si x es una variable que toma sus valores en alguna secuencia de números S , entonces puede denotar la media de los elementos de S. ${\displaystyle {\overline {x}}}$

→

1.   denota una función con dominio A y codominio B. Para nombrar dicha función, se escribe , que se lee como " f de A a B ". ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$

2. De manera más general, denota un homomorfismo o un morfismo de A a B. ${\displaystyle A\to B}$

3. Puede denotar una implicación lógica . Para la implicación material que se usa ampliamente en el razonamiento matemático, hoy en día generalmente se reemplaza por ⇒. En lógica matemática , sigue utilizándose para denotar implicación, pero su significado exacto depende de la teoría específica que se estudie.

4. Sobre un nombre de variable , significa que la variable representa un vector , en un contexto donde las variables ordinarias representan escalares ; Por ejemplo, . La negrita ( ) o el circunflejo ( ) se utilizan a menudo para el mismo propósito. ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

5. En geometría euclidiana y más generalmente en geometría afín , denota el vector definido por los dos puntos P y Q , que puede identificarse con la traslación que asigna P a Q. El mismo vector también se puede denotar ; ver Espacio afín . ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$ ${\displaystyle Q-P}$

↦

Se utiliza para definir una función sin tener que nombrarla. Por ejemplo, es la función cuadrada . ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

○ ^[4]

1.   Composición de funciones : si f y g son dos funciones, entonces la función es tal que para cada valor de x . ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

2.   Producto de matrices de Hadamard : Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, entonces la matriz es tal que . Posiblemente, también se utilice en lugar de ⊙ para el producto de series de potencias de Hadamard . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle A\circ B}$ ${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}$ ${\displaystyle \circ }$

∂

1.   Límite de un subespacio topológico : Si S es un subespacio de un espacio topológico, entonces su límite , denotado , es la diferencia establecida entre el cierre y el interior de S. ${\displaystyle \partial S}$

2.   Derivada parcial : ver ∂□/∂□.

∫

1. Sin subíndice, denota una antiderivada . Por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

2. Con un subíndice y un superíndice, o expresiones colocadas debajo y encima de él, denota una integral definida . Por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}x^{2}dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}}$

3. Con un subíndice que denota una curva, denota una integral de línea . Por ejemplo, si r es una parametrización de la curva C , de aa b . ${\displaystyle \textstyle \int _{C}f=\int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)\operatorname {d} t}$

∮

Se utiliza a menudo, normalmente en física, en lugar de para integrales de línea sobre una curva cerrada . ${\displaystyle \textstyle \int }$

∬, ∯

Similar a y para integrales de superficie . ${\displaystyle \textstyle \int }$ ${\displaystyle \textstyle \oint }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$o ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Nabla , el operador de gradiente o derivada vectorial , también llamado del o grad . ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

∇ ² o ∇⋅∇

Operador de Laplace o Laplaciano : . Las formas y representan el producto escalar del gradiente ( o ) consigo mismo. También anotado Δ (siguiente elemento). ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Δ

(Letra griega mayúscula delta , que no debe confundirse con , que puede denotar un triángulo geométrico o, alternativamente, la diferencia simétrica de dos conjuntos.}} ${\displaystyle \triangle }$

1. Otra notación para el laplaciano (ver arriba).

2. Operador de diferencias finitas .

${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$o ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

(Nota: no se recomienda la notación para el gradiente de cuatro ya que ambos y se utilizan para denotar el d'alembertiano ; ver más abajo). ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle {\Box }^{2}}$

Quad , el operador de gradiente de 4 vectores o cuatro gradiente ,. ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle \Box }$o ${\displaystyle {\Box }^{2}}$

(aquí un cuadro real, no un marcador de posición)

Denota el d'alembertiano o cuatro gradiente cuadrado , que es una generalización del laplaciano al espacio-tiempo de cuatro dimensiones. En el espacio-tiempo plano con coordenadas euclidianas, esto puede significar o ; se debe especificar la convención de signos. En el espaciotiempo curvo (o espaciotiempo plano con coordenadas no euclidianas), la definición es más complicada. También llamada caja o quabla . ${\displaystyle ~\textstyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;}$ ${\displaystyle \;~\textstyle +{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;}$

Álgebra lineal y multilineal

∑     ( notación sigma )

1. Denota la suma de un número finito de términos, que están determinados por subíndices y superíndices (que también pueden colocarse debajo y encima), como en o . ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{0<i<j<n}j-i}$

2. Denota una serie y, si la serie es convergente , la suma de la serie . Por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$

∏    ( Notación pi mayúscula )

1. Denota el producto de un número finito de términos, que están determinados por subíndices y superíndices (que también pueden colocarse debajo y encima), como en o . ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}i^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{0<i<j<n}j-i}$

2. Denota un producto infinito . Por ejemplo, la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann es . ${\displaystyle \textstyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$

3. También se utiliza para el producto cartesiano de cualquier número de conjuntos y el producto directo de cualquier número de estructuras matemáticas .

${\displaystyle \oplus }$    ( más en un círculo )

1. Suma directa interna : si E y F son subgrupos abelianos de un grupo abeliano V , la notación significa que V es la suma directa de E y F ; es decir, cada elemento de V se puede escribir de forma única como la suma de un elemento de E y un elemento de F. Esto se aplica también cuando E y F son subespacios lineales o submódulos del espacio vectorial o módulo V. ${\displaystyle V=E\oplus F}$

2.   Suma directa : si E y F son dos grupos , espacios vectoriales o módulos abelianos , entonces su suma directa, denotada como un grupo, espacio vectorial o módulo abeliano (respectivamente) equipado con dos monomorfismos y tal que es la directa interna suma de y . Esta definición tiene sentido porque esta suma directa es única hasta un isomorfismo único . ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f:E\to E\oplus F}$ ${\displaystyle g:F\to E\oplus F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle g(F)}$

3.   O exclusivo : si E y F son dos variables o predicados booleanos , puede denotar el o exclusivo. Las notaciones E XOR F y también se utilizan habitualmente; ver ⊻. ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle E\veebar F}$

⊗

1. Denota el producto tensorial de grupos abelianos , espacios vectoriales , módulos u otras estructuras matemáticas, como en o ${\displaystyle E\otimes F,}$ ${\displaystyle E\otimes _{K}F.}$

2. Denota el producto tensorial de elementos: si y entonces ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle y\in F,}$ ${\displaystyle x\otimes y\in E\otimes F.}$

□ ^⊤

1.   Transpuesta : si A es una matriz, denota la transpuesta de A , es decir, la matriz obtenida intercambiando filas y columnas de A. También se utiliza la notación . El símbolo suele ser sustituido por la letra T o t . ${\displaystyle A^{\top }}$ ${\displaystyle ^{\top }\!\!A}$ ${\displaystyle \top }$

2. Para usos en línea del símbolo, consulte ⊤.

□ ^⊥

1.   Complemento ortogonal : si W es un subespacio lineal de un espacio producto interno V , entonces denota su complemento ortogonal , es decir, el espacio lineal de los elementos de V cuyos productos internos con los elementos de W son todos cero. ${\displaystyle W^{\bot }}$

2.   Subespacio ortogonal en el espacio dual : Si W es un subespacio lineal (o un submódulo ) de un espacio vectorial (o de un módulo ) V , entonces puede denotar el subespacio ortogonal de W , es decir, el conjunto de todas las formas lineales. que asigna W a cero. ${\displaystyle W^{\bot }}$

3. Para usos en línea del símbolo, consulte ⊥.

Teoría de grupos avanzada

⋉
⋊

1. Producto semidirecto interno : si N y H son subgrupos de un grupo G , tal que N es un subgrupo normal de G , entonces y significan que G es el producto semidirecto de N y H , es decir, que todo elemento de G puede descomponerse únicamente como el producto de un elemento de N y un elemento de H. (A diferencia del producto directo de grupos , el elemento de H puede cambiar si se cambia el orden de los factores). ${\displaystyle G=N\rtimes H}$ ${\displaystyle G=H\ltimes N}$

2. Producto semidirecto externo : si N y H son dos grupos , y es un homomorfismo de grupo de N al grupo de automorfismo de H , entonces denota un grupo G , único hasta un isomorfismo de grupo , que es un producto semidirecto de N y H , con la conmutación de elementos de N y H definida por . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H=H\ltimes _{\varphi }N}$ ${\displaystyle \varphi }$

≀

En teoría de grupos , denota el producto corona de los grupos G y H. También se denota como o ; consulte Producto de corona § Notación y convenciones para conocer varias variantes de notación. ${\displaystyle G\wr H}$ ${\displaystyle G\operatorname {wr} H}$ ${\displaystyle G\operatorname {Wr} H}$

numeros infinitos

${\displaystyle \infty }$    ( símbolo infinito )

1. El símbolo se lee como infinito . Como límite superior de una suma , un producto infinito , una integral , etc., significa que el cálculo es ilimitado. De manera similar, en un límite inferior significa que el cálculo no se limita a valores negativos. ${\displaystyle -\infty }$

2.   y son los números generalizados que se suman a la recta real para formar la recta real extendida . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

3.   es el número generalizado que se suma a la recta real para formar la recta real proyectivamente extendida . ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$   ( fraktur 𝔠)

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$denota la cardinalidad del continuo , que es la cardinalidad del conjunto de números reales .

${\displaystyle \aleph }$   ( alef )

Con un ordinal i como subíndice, denota el i- ésimo número aleph , es decir, el i- ésimo cardinal infinito . Por ejemplo, es el cardinal infinito más pequeño, es decir, el cardinal de los números naturales. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \beth }$   { apuesta (letra) )

Con un ordinal i como subíndice, denota el i- ésimo número . Por ejemplo, es el cardinal de los números naturales y es el cardinal del continuo . ${\displaystyle \beth _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$

${\displaystyle \omega }$   { omega )

1. Denota el primer límite ordinal . También se denota y puede identificarse con el conjunto ordenado de los números naturales . ${\displaystyle \omega _{0}}$

2. Con un ordinal i como subíndice, denota el i -ésimo ordinal límite que tiene una cardinalidad mayor que la de todos los ordinales precedentes.

3. En informática , denota el mayor límite inferior (desconocido) para el exponente de la complejidad computacional de la multiplicación de matrices .

4. Escrito como función de otra función, se utiliza para comparar el crecimiento asintótico de dos funciones. Ver notación O grande § Notaciones asintóticas relacionadas .

5. En teoría de números , puede denotar la función omega prima . Es decir, es el número de factores primos distintos del número entero n . ${\displaystyle \omega (n)}$

Soportes

En matemáticas se utilizan muchos tipos de corchetes. Sus significados dependen no sólo de sus formas, sino también de la naturaleza y la disposición de lo que delimitan y, a veces, de lo que aparece entre ellas o antes. Por esta razón, en los títulos de las entradas, el símbolo □ se utiliza como marcador de posición para esquematizar la sintaxis que subyace al significado.

Paréntesis

(□)

Se utiliza en una expresión para especificar que la subexpresión entre paréntesis debe considerarse como una entidad única; Normalmente se utiliza para especificar el orden de las operaciones .

□(□)
□(□, □)
□(□, ..., □)

1.   Notación funcional : si el primero es el nombre (símbolo) de una función , denota el valor de la función aplicado a la expresión entre paréntesis; Por ejemplo, , . En el caso de una función multivariante , los paréntesis contienen varias expresiones separadas por comas, como por ejemplo . ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sin(x+y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

2. También puede indicar un producto, como en . Cuando la confusión es posible, el contexto debe distinguir qué símbolos denotan funciones y cuáles denotan variables . ${\displaystyle a(b+c)}$

(□, □)

1. Denota un par ordenado de objetos matemáticos , por ejemplo ,. ${\displaystyle (\pi ,0)}$

2. Si a y b son números reales , , o , y a < b , entonces denota el intervalo abierto delimitado por a y b . Consulte ]□, □[ para obtener una notación alternativa. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (a,b)}$

3. Si a y b son números enteros , puede denotar el máximo común divisor de a y b . En su lugar, a menudo se utiliza la notación . ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)}$

(□, □, □)

Si x , y , z son vectores en , entonces pueden denotar el triple producto escalar . ^{[ cita necesaria ]} Véase también [□,□,□] en § Corchetes. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

(□, ..., □)

Denota una tupla . Si hay n objetos separados por comas, es una n -tupla.

(□, □,...)
(□,..., □,...)

Denota una secuencia infinita .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{pmatrix}}}$

Denota una matriz . A menudo se indica con corchetes.

${\displaystyle {\binom {\Box }{\Box }}}$

Denota un coeficiente binomial : dados dos números enteros no negativos , se lee como " n elige k ", y se define como el número entero (si k = 0 , su valor es convencionalmente 1 ). Usando la expresión del lado izquierdo, denota un polinomio en n y, por lo tanto, se define y usa para cualquier valor real o complejo de n . ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

(□/□)

Símbolo de Legendre : Si p es un número primo impar y a es un número entero , el valor de es 1 si a es un residuo cuadrático módulo p ; es –1 si a es un módulo cuadrático sin residuos p ; es 0 si p divide a . Se utiliza la misma notación para el símbolo de Jacobi y el símbolo de Kronecker , que son generalizaciones donde p es, respectivamente, cualquier número entero positivo impar o cualquier número entero. ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

Corchetes

[□]

1. A veces se utiliza como sinónimo de (□) para evitar paréntesis anidados.

2.   Clase de equivalencia : dada una relación de equivalencia , a menudo denota la clase de equivalencia del elemento x . ${\displaystyle [x]}$

3.   Parte integral : si x es un número real , suele denotar la parte integral o truncamiento de x , es decir, el número entero que se obtiene eliminando todos los dígitos después de la marca decimal . Esta notación también se ha utilizado para otras variantes de funciones de suelo y techo . ${\displaystyle [x]}$

4.   Corchete de Iverson : si P es un predicado , puede denotar el corchete de Iverson, que es la función que toma el valor 1 para los valores de las variables libres en P para las cuales P es verdadera, y toma el valor 0 en caso contrario. Por ejemplo, es la función delta de Kronecker , que es igual a uno si y cero en caso contrario. ${\displaystyle [P]}$ ${\displaystyle [x=y]}$ ${\displaystyle x=y}$

□[□]

Imagen de un subconjunto : si S es un subconjunto del dominio de la función f , a veces se usa para denotar la imagen de S. Cuando no es posible ninguna confusión, se utiliza comúnmente la notación f(S). ${\displaystyle f[S]}$

[□, □]

1.   Intervalo cerrado : si a y b son números reales tales que , entonces denota el intervalo cerrado definido por ellos. ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

2.   Conmutador (teoría de grupos) : si a y b pertenecen a un grupo , entonces . ${\displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}$

3.   Conmutador (teoría del anillo) : si a y b pertenecen a un anillo , entonces . ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$

4. Denota el corchete de Lie , la operación de un álgebra de Lie .

[□: □]

1.   Grado de una extensión de campo : si F es una extensión de un campo E , entonces denota el grado de la extensión de campo . Por ejemplo, . ${\displaystyle [F:E]}$ ${\displaystyle F/E}$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$

2.   Índice de un subgrupo : si H es un subgrupo de un grupo E , entonces denota el índice de H en G. La notación |G:H| también se usa ${\displaystyle [G:H]}$

[□, □, □]

Si x , y , z son vectores en , entonces pueden denotar el triple producto escalar . ^[5] Véase también (□,□,□) en § Paréntesis. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y,z]}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{bmatrix}}}$

Denota una matriz . A menudo se indica entre paréntesis.

Tirantes

{ }

Notación constructora de conjuntos para el conjunto vacío , también denotado o ∅. ${\displaystyle \emptyset }$

{□}

1. A veces se utiliza como sinónimo de (□) y [□] para evitar paréntesis anidados.

2.   Notación de creación de conjuntos para un conjunto singleton : denota el conjunto que tiene x como elemento único. ${\displaystyle \{x\}}$

{□, ..., □}

Notación de generador de conjuntos : denota el conjunto cuyos elementos se enumeran entre llaves, separados por comas.

{□ : □}
{□ | □}

Notación constructora de conjuntos : si es un predicado que depende de una variable x , entonces ambos y denotan el conjunto formado por los valores de x para los cuales es verdadero. ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \{x:P(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$ ${\displaystyle P(x)}$

Tirante único

1. Se utiliza para enfatizar que varias ecuaciones deben considerarse como ecuaciones simultáneas ; Por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}2x+y=1\\3x-y=1\end{cases}}}$

2.   Definición por partes ; Por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle |x|={\begin{cases}x&{\text{if }}x\geq 0\\-x&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$

3. Se utiliza para la anotación agrupada de elementos en una fórmula; Por ejemplo, , , ${\displaystyle \textstyle \underbrace {(a,b,\ldots ,z)} _{26}}$ ${\displaystyle \textstyle \overbrace {1+2+\cdots +100} ^{=5050}}$ ${\displaystyle \textstyle \left.{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}\right\}m+n{\text{ rows}}}$

Otros soportes

|□|

1.   Valor absoluto : si x es un número real o complejo , denota su valor absoluto. ${\displaystyle |x|}$

2. Número de elementos: Si S es un conjunto , puede denotar su cardinalidad , es decir, su número de elementos. También se utiliza con frecuencia, consulte #. ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \#S}$

3. Longitud de un segmento de línea : si P y Q son dos puntos en un espacio euclidiano , entonces a menudo denota la longitud del segmento de línea que definen, que es la distancia de P a Q , y a menudo se denota . ${\displaystyle |PQ|}$ ${\displaystyle d(P,Q)}$

4. Para ver un operador de apariencia similar, consulte |.

| □:□ |

Índice de un subgrupo : si H es un subgrupo de un grupo G , entonces denota el índice de H en G. También se utiliza la notación [G:H] ${\displaystyle |G:H|}$

${\displaystyle \textstyle {\begin{vmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{vmatrix}}}$denota el determinante de la matriz cuadrada . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{bmatrix}}}$

||□||

1. Denota la norma de un elemento de un espacio vectorial normado .

2. Para conocer el operador de aspecto similar llamado paralelo , consulte ∥.

⌊□⌋

Función suelo : si x es un número real, es el mayor entero que no es mayor que x . ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

⌈□⌉

Función techo : si x es un número real, es el menor entero que no es menor que x . ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

⌊□⌉

Función entera más cercana : si x es un número real, es el número entero más cercano a x . ${\displaystyle \lfloor x\rceil }$

]□, □[

Intervalo abierto : si a y b son números reales, o , y , entonces denota el intervalo abierto delimitado por a y b. Consulte (□, □) para obtener una notación alternativa. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle ]a,b[}$

(□, □]
]□, □]

Ambas notaciones se utilizan para un intervalo abierto por la izquierda .

[□, □)
[□, □[

Ambas notaciones se utilizan para un intervalo abierto por la derecha .

⟨□⟩

1.   Objeto generado : si S es un conjunto de elementos en una estructura algebraica, denota frecuentemente el objeto generado por S. Si , se escribe (es decir, se omiten las llaves). En particular, esto puede denotar ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle S=\{s_{1},\ldots ,s_{n}\}}$ ${\displaystyle \langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle }$

• el tramo lineal en un espacio vectorial (también a menudo denominado Span( S ) ),
• el subgrupo generado en un grupo ,
• el ideal generado en un anillo ,
• el submódulo generado en un módulo .

2. Se utiliza a menudo, principalmente en física, para indicar un valor esperado . En teoría de la probabilidad , generalmente se usa en lugar de . ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$

⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩

Ambos y se usan comúnmente para indicar el producto interno en un espacio de producto interno . ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$

${\displaystyle \langle \Box |{\text{ and }}|\Box \rangle }$

Notación Bra-ket o notación de Dirac : si x e y son elementos de un espacio producto interno , es el vector definido por x , y es el covector definido por y ; su producto interno es . ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y|}$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle }$

Símbolos que no pertenecen a fórmulas.

En esta sección, los símbolos que se enumeran se utilizan como algún tipo de signos de puntuación en el razonamiento matemático o como abreviaturas de frases en lenguaje natural. Generalmente no se utilizan dentro de una fórmula. Algunos se utilizaron en lógica clásica para indicar la dependencia lógica entre oraciones escritas en lenguaje sencillo. A excepción de los dos primeros, normalmente no se utilizan en textos matemáticos impresos ya que, para facilitar la lectura, generalmente se recomienda tener al menos una palabra entre dos fórmulas. Sin embargo, todavía se utilizan en una pizarra para indicar relaciones entre fórmulas.

■ , □

Se utiliza para marcar el final de una prueba y separarla del texto actual. El inicialismo Q.ED o QED ( latín : quod erat demonstrandum , "como se iba a mostrar") se utiliza a menudo con el mismo propósito, ya sea en su forma mayúscula o minúscula.

☡

Símbolo de curvatura peligrosa de Bourbaki : a veces se utiliza en el margen para advertir a los lectores contra errores graves, en los que corren el riesgo de caer, o para señalar un pasaje que resulta complicado en una primera lectura debido a un argumento especialmente sutil.

∴

Abreviatura de "por tanto". Colocado entre dos afirmaciones, significa que la primera implica a la segunda. Por ejemplo: "Todos los humanos son mortales y Sócrates es un humano. ∴ Sócrates es mortal".

∵

Abreviatura de "porque" o "desde". Colocado entre dos afirmaciones, significa que la primera está implícita en la segunda. Por ejemplo: " 11 es primo ∵ y no tiene factores enteros positivos aparte de él mismo y uno".

∋

1. Abreviatura de "tal que". Por ejemplo, normalmente se imprime " x tal que ". ${\displaystyle x\ni x>3}$ ${\displaystyle x>3}$

2. A veces se utiliza para invertir los operandos de ; es decir, tiene el mismo significado que . Ver ∈ en § Teoría de conjuntos. ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S\ni x}$ ${\displaystyle x\in S}$

∝

Abreviatura de "es proporcional a".

Misceláneas

!

1.   Factorial : si n es un número entero positivo , n ! es el producto de los primeros n enteros positivos y se lee como "n factorial".

2.   Subfactorial : si n es un número entero positivo, ! n es el número de trastornos de un conjunto de n elementos y se lee como "el subfactorial de n".

*

Muchos usos diferentes en matemáticas; ver Asterisco § Matemáticas .

|

1.   Divisibilidad : si m y n son dos números enteros, significa que m divide a n uniformemente. ${\displaystyle m\mid n}$

2. En notación de constructor de conjuntos , se utiliza como separador que significa "tal que"; ver {□ | □}.

3.   Restricción de una función : si f es una función y S es un subconjunto de su dominio , entonces es la función con S como dominio que es igual a f en S. ${\displaystyle f|_{S}}$

4.   Probabilidad condicional : denota la probabilidad de X dado que ocurre el evento E. También denotado ; ver "/". ${\displaystyle P(X\mid E)}$ ${\displaystyle P(X/E)}$

5. Para varios usos como corchetes (en pares o con ⟨ y ⟩ ), consulte § Otros corchetes.

∤

Indivisibilidad : significa que n no es divisor de m . ${\displaystyle n\nmid m}$

∥

1. Denota paralelismo en geometría elemental : si PQ y RS son dos rectas , significa que son paralelas. ${\displaystyle PQ\parallel RS}$

2.   Paralelo , operación aritmética utilizada en ingeniería eléctrica para modelar resistencias en paralelo : . ${\displaystyle x\parallel y={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$

3. Usado en pares como corchetes, denota una norma ; ver ||□||.

4.   , denota una distancia estadística o medida de en qué se diferencia una distribución de probabilidad P de una segunda distribución de probabilidad de referencia Q. ${\displaystyle {\displaystyle D_{\text{KL}}(P\parallel Q)}}$

∦

A veces se usa para indicar que dos líneas no son paralelas; Por ejemplo, . ${\displaystyle PQ\not \parallel RS}$

${\displaystyle \perp }$

1. Denota perpendicularidad y ortogonalidad . Por ejemplo, si A, B, C son tres puntos en un espacio euclidiano , entonces significa que los segmentos de recta AB y AC son perpendiculares y forman un ángulo recto . ${\displaystyle AB\perp AC}$

2. Para ver el símbolo similar, consulte ⊥ {\displaystyle \bot } .

⊙

Producto de Hadamard de series de potencias : si y , entonces . Posiblemente, también se utilice en lugar de ○ para el producto de matrices de Hadamard . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \textstyle S=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \textstyle T=\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \textstyle S\odot T=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}t_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \odot }$

Ver también

Artículos relacionados

• lenguaje de las matemáticas
• Notación matemática
• Notación en probabilidad y estadística.
• Constantes físicas

Listas relacionadas

• Lista de símbolos matemáticos por tema
• Lista de símbolos lógicos
• Lista de constantes matemáticas
• Tabla de símbolos matemáticos por fecha de introducción.
• Pizarra en negrita
• Letras griegas utilizadas en matemáticas, ciencias e ingeniería.
• Lista de usos matemáticos de las letras latinas
• Lista de notaciones físicas comunes
• Lista de letras utilizadas en matemáticas y ciencias.
• Lista de abreviaturas matemáticas
• Lista de símbolos tipográficos y signos de puntuación.
• ISO 31-11 (Signos y símbolos matemáticos para uso en ciencias y tecnología físicas)
• Lista de funciones APL

Símbolos Unicode

• bloque Unicode
• Símbolos alfanuméricos matemáticos (bloque Unicode)
• Lista de caracteres Unicode
• Símbolos tipo letras
• Operadores matemáticos y símbolos en Unicode
• Símbolos matemáticos varios: A , B , Técnico
• Flecha (símbolo) y símbolos y flechas varios
• Formas numéricas
• Formas geométricas

Referencias

1. ISO 80000-2 , Sección 9 "Operaciones", 2-9.6
2. "Estadísticas y análisis de datos: de elemental a intermedio".
3. Letourneau, María; Wright Sharp, Jennifer (2017). "Guía de estilo AMS" (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 99.
4. El equivalente en LaTeX de los símbolos Unicode ∘ y ○ es \circ. El símbolo Unicode que tiene el mismo tamaño que \circ depende del navegador y su implementación. En algunos casos, ∘ es tan pequeño que puede confundirse con un interpunto y ○ se parece a \circ. En otros casos, ○ es demasiado grande para denotar una operación binaria, y es ∘ el que se parece a \circ. Como LaTeX se considera comúnmente como el estándar para la tipografía matemática y no distingue estos dos símbolos Unicode, aquí se considera que tienen el mismo significado matemático.
5. Rutherford, DE (1965). Métodos vectoriales . Textos Matemáticos Universitarios. Oliver and Boyd Ltd., Edimburgo.

enlaces externos

• Jeff Miller: primeros usos de varios símbolos matemáticos
• Numericana: símbolos e íconos científicos
• Imágenes GIF y PNG para símbolos matemáticos
• Símbolos matemáticos en Unicode
• Detexify: herramienta de reconocimiento de escritura a mano LaTeX

Algunos gráficos Unicode de operadores y símbolos matemáticos:

• Índice de símbolos Unicode
• Rango 2100–214F: símbolos tipo letras Unicode
• Rango 2190–21FF: flechas Unicode
• Rango 2200–22FF: operadores matemáticos Unicode
• Rango 27C0–27EF: Símbolos matemáticos varios Unicode–A
• Rango 2980–29FF: Símbolos matemáticos varios Unicode – B
• Rango 2A00–2AFF: operadores matemáticos suplementarios Unicode

Algunas referencias cruzadas de Unicode:

• Lista breve de símbolos LaTeX de uso común y lista completa de símbolos LaTeX
• Caracteres MathML: ordena nombres Unicode, HTML y MathML/TeX en una página
• Valores Unicode y nombres MathML
• Valores Unicode y nombres Postscript del código fuente de Ghostscript