En matemáticas , una categoría cociente es una categoría obtenida a partir de otra categoría mediante la identificación de conjuntos de morfismos . Formalmente, es un objeto cociente en la categoría de categorías (localmente pequeñas) , análogo a un grupo cociente o espacio cociente , pero en el contexto categórico.
Sea C una categoría. Una relación de congruencia R sobre C viene dada por: para cada par de objetos X , Y en C , una relación de equivalencia R X , Y sobre Hom( X , Y ), tal que las relaciones de equivalencia respetan la composición de morfismos. Es decir, si
están relacionados en Hom( X , Y ) y
están relacionados en Hom( Y , Z ), entonces g 1 f 1 y g 2 f 2 están relacionados en Hom( X , Z ).
Dada una relación de congruencia R sobre C podemos definir la categoría cociente C / R como la categoría cuyos objetos son los de C y cuyos morfismos son clases de equivalencia de morfismos en C. Es decir,
La composición de morfismos en C / R está bien definida ya que R es una relación de congruencia.
Existe un funtor cociente natural de C a C / R que envía cada morfismo a su clase de equivalencia. Este funtor es biyectivo sobre objetos y sobreyectivo sobre conjuntos Hom (es decir, es un funtor completo ).
Todo funtor F : C → D determina una congruencia en C diciendo f ~ g sólo si F ( f ) = F ( g ). El funtor F entonces factoriza a través del funtor cociente C → C /~ de una manera única. Esto puede considerarse como el " primer teorema de isomorfismo " para categorías.
Si C es una categoría aditiva y requerimos que la relación de congruencia ~ en C sea aditiva (es decir, si f 1 , f 2 , g 1 y g 2 son morfismos de X a Y con f 1 ~ f 2 y g 1 ~ g 2 , entonces f 1 + g 1 ~ f 2 + g 2 ), entonces la categoría cociente C /~ también será aditiva, y el funtor cociente C → C /~ será un funtor aditivo.
El concepto de una relación de congruencia aditiva es equivalente al concepto de un ideal bilateral de morfismos : para dos objetos cualesquiera X e Y se nos da un subgrupo aditivo I ( X , Y ) de Hom C ( X , Y ) tal que para todo f ∈ I ( X , Y ), g ∈ Hom C ( Y , Z ) y h ∈ Hom C ( W , X ), tenemos gf ∈ I ( X , Z ) y fh ∈ I ( W , Y ). Dos morfismos en Hom C ( X , Y ) son congruentes si y solo si su diferencia está en I ( X , Y ).
Cada anillo unitario puede ser visto como una categoría aditiva con un solo objeto, y el cociente de categorías aditivas definido anteriormente coincide en este caso con la noción de un anillo cociente módulo un ideal bilateral.
La localización de una categoría introduce nuevos morfismos que convierten varios de los morfismos de la categoría original en isomorfismos. Esto tiende a aumentar el número de morfismos entre objetos, en lugar de disminuirlo como en el caso de las categorías cocientes. Pero en ambas construcciones ocurre a menudo que se vuelven isomorfos dos objetos que no lo eran en la categoría original.
El cociente de Serre de una categoría abeliana por una subcategoría de Serre es una nueva categoría abeliana que es similar a una categoría cociente pero que también en muchos casos tiene el carácter de una localización de la categoría.
