Similitud de matrices

Equivalencia bajo un cambio de base (álgebra lineal)

En álgebra lineal , dos matrices A y B de n por n se denominan similares si existe una matriz P de n por n invertible tal que Las matrices similares representan la misma función lineal bajo dos bases (posiblemente) diferentes , siendo P la matriz de cambio de base . ^{[1] [2]} $${\displaystyle B=P^{-1}AP.}$$

Una transformación A ↦ P ⁻¹ AP se denomina transformación de semejanza o conjugación de la matriz A . En el grupo lineal general , semejanza es por tanto lo mismo que conjugación , y las matrices semejantes también se denominan conjugadas ; sin embargo, en un subgrupo H dado del grupo lineal general, la noción de conjugación puede ser más restrictiva que la de semejanza, ya que requiere que P se elija para que se encuentre en H .

Ejemplo motivador

Al definir una transformación lineal, puede darse el caso de que un cambio de base dé como resultado una forma más simple de la misma transformación. Por ejemplo, la matriz que representa una rotación en R ³ cuando el eje de rotación no está alineado con el eje de coordenadas puede ser complicada de calcular. Si el eje de rotación estuviera alineado con el eje z positivo , entonces simplemente sería donde es el ángulo de rotación. En el nuevo sistema de coordenadas, la transformación se escribiría como donde x' e y' son respectivamente los vectores original y transformado en una nueva base que contiene un vector paralelo al eje de rotación. En la base original, la transformación se escribiría como donde los vectores x e y y la matriz de transformación desconocida T están en la base original. Para escribir T en términos de la matriz más simple, usamos la matriz de cambio de base P que transforma x e y como y : $${\displaystyle S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle y'=Sx',}$$ $${\displaystyle y=Tx,}$$ ${\displaystyle x'=Px}$ ${\displaystyle y'=Py}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la matriz en la base original, , está dada por . Se descubre que la transformación en la base original es el producto de tres matrices fáciles de derivar. En efecto, la transformación de similitud opera en tres pasos: cambiar a una nueva base ( P ), realizar la transformación simple ( S ) y volver a cambiar a la base anterior ( P ⁻¹ ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=P^{-1}SP}$

Propiedades

La semejanza es una relación de equivalencia en el espacio de matrices cuadradas.

Dado que las matrices son similares si y solo si representan el mismo operador lineal con respecto a bases (posiblemente) diferentes, las matrices similares comparten todas las propiedades de su operador subyacente compartido:

• Rango
• Polinomio característico y atributos que se pueden derivar de él:
  • Determinante
  • Rastro
  • Valores propios y sus multiplicidades algebraicas
• Multiplicidades geométricas de valores propios (pero no de espacios propios, que se transforman de acuerdo con la matriz de cambio base P utilizada).
• Polinomio mínimo
• Forma normal de Frobenius
• Forma normal de Jordan , hasta una permutación de los bloques de Jordan
• Índice de nilpotencia
• Divisores elementales , que forman un conjunto completo de invariantes para la similitud de matrices en un dominio ideal principal

Debido a esto, para una matriz dada A , uno está interesado en encontrar una "forma normal" simple B que sea similar a A —el estudio de A entonces se reduce al estudio de la matriz más simple B . Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es similar a una matriz diagonal . No todas las matrices son diagonalizables, pero al menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado ), cada matriz es similar a una matriz en forma de Jordan . Ninguna de estas formas es única (las entradas diagonales o los bloques de Jordan pueden permutarse) por lo que no son realmente formas normales ; además, su determinación depende de poder factorizar el polinomio mínimo o característico de A (equivalente a encontrar sus valores propios). La forma canónica racional no tiene estos inconvenientes: existe sobre cualquier cuerpo, es verdaderamente única y puede calcularse utilizando solo operaciones aritméticas en el cuerpo; A y B son similares si y solo si tienen la misma forma canónica racional. La forma canónica racional está determinada por los divisores elementales de A ; Estos pueden leerse inmediatamente de una matriz en forma de Jordan, pero también pueden determinarse directamente para cualquier matriz calculando la forma normal de Smith , sobre el anillo de polinomios, de la matriz (con entradas polinómicas) XI _n − A (la misma cuyo determinante define el polinomio característico). Nótese que esta forma normal de Smith no es una forma normal de A en sí misma; además, tampoco es similar a XI _n − A , sino que se obtiene de esta última mediante multiplicaciones por izquierda y derecha por diferentes matrices invertibles (con entradas polinómicas).

La similitud de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo que contiene a K como subcuerpo , y A y B son dos matrices sobre K , entonces A y B son similares como matrices sobre K si y solo si son similares como matrices sobre L. Esto es así porque la forma canónica racional sobre K es también la forma canónica racional sobre L. Esto significa que se pueden usar formas de Jordan que solo existen sobre un cuerpo mayor para determinar si las matrices dadas son similares.

En la definición de similitud, si la matriz P puede elegirse como una matriz de permutación , entonces A y B son similares en permutación; si P puede elegirse como una matriz unitaria , entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral dice que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal. El teorema de Specht afirma que dos matrices son unitariamente equivalentes si y solo si satisfacen ciertas igualdades de trazas.

Véase también

• Formas canónicas
• Congruencia matricial
• Equivalencia matricial
• Rotación de Jacobi

Referencias

Citas

1. Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973). Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y cuerpos . Boston: Houghton Mifflin Co., págs. 240-243. ISBN 0-395-14017-X.
2. Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , págs. 176-178, LCCN  70097490

Referencias generales

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Análisis de matrices . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.(La similitud se analiza en muchos lugares, a partir de la página 44.)