Teorema de Specht

Da una condición necesaria y suficiente para que dos matrices complejas sean unitariamente equivalentes

En matemáticas, el teorema de Specht establece una condición necesaria y suficiente para que dos matrices complejas sean unitariamente equivalentes . Recibe su nombre en honor a Wilhelm Specht , quien demostró el teorema en 1940. ^[1]

Se dice que dos matrices A y B con entradas de números complejos son unitariamente equivalentes si existe una matriz unitaria U tal que B = U  * AU . ^[2] Dos matrices que son unitariamente equivalentes también son similares . Dos matrices similares representan la misma función lineal , pero con respecto a una base diferente ; la equivalencia unitaria corresponde a un cambio de una base ortonormal a otra base ortonormal .

Si A y B son unitariamente equivalentes, entonces tr AA * = tr BB *, donde tr denota la traza (en otras palabras, la norma de Frobenius es un invariante unitario). Esto se deduce de la invariancia cíclica de la traza: si B = U  * AU , entonces tr BB * = tr U  * AUU  * A * U = tr AUU  * A * UU  * = tr AA *, donde la segunda igualdad es la invariancia cíclica. ^[3]

Por lo tanto, tr AA * = tr BB * es una condición necesaria para la equivalencia unitaria, pero no es suficiente. El teorema de Specht proporciona infinitas condiciones necesarias que juntas también son suficientes. La formulación del teorema utiliza la siguiente definición. Una palabra en dos variables, digamos x e y , es una expresión de la forma

${\displaystyle W(x,y)=x^{m_{1}}y^{n_{1}}x^{m_{2}}y^{n_{2}}\cdots x^{m_{p}},}$

donde m ₁ , n ₁ , m ₂ , n ₂ , …, m _p son números enteros no negativos. El grado de esta palabra es

${\displaystyle m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+\cdots +m_{p}.}$

Teorema de Specht: Dos matrices A y B son unitariamente equivalentes si y sólo si tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras W . ^[4]

El teorema proporciona un número infinito de identidades de trazas, pero puede reducirse a un subconjunto finito. Sea n el tamaño de las matrices A y B . Para el caso n = 2, las tres condiciones siguientes son suficientes: ^[5]

${\displaystyle \operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*}.}$

Para n = 3, las siguientes siete condiciones son suficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{3}=\operatorname {tr} \,B^{3},\\&\operatorname {tr} \,A^{2}A^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}B^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.\end{aligned}}}$  ^[6]

Para n general , basta con mostrar que tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras de grado como máximo

${\displaystyle n{\sqrt {{\frac {2n^{2}}{n-1}}+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {n}{2}}-2.}$  ^[7]

Se ha conjeturado que esto puede reducirse a una expresión lineal en n . ^[8]

Notas

1. Espectro (1940)
2. Horn y Johnson (1985), Definición 2.2.1
3. Horn y Johnson (1985), Teorema 2.2.2
4. Horn y Johnson (1985), Teorema 2.2.6
5. Horn y Johnson (1985), Teorema 2.2.8
6. Sibirskiǐ (1976), pág. 260, citado por Đoković y Johnson (2007)
7. Pappacena (1997), Teorema 4.3
8. Freedman, Gupta y Guralnick (1997), pág. 160

Referencias

• Đoković, Dragomir Ž.; Johnson, Charles R. (2007), "Patrones cero y rastros de palabras alcanzables unitariamente en A y A *", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 421 (1): 63–68, doi : 10.1016/j.laa.2006.03.002 , ISSN  0024-3795.
• Freedman, Allen R.; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), "Teorema de Shirshov y representaciones de semigrupos", Pacific Journal of Mathematics , 181 (3): 159–176, doi : 10.2140/pjm.1997.181.159 , ISSN  0030-8730.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Pappacena, Christopher J. (1997), "Un límite superior para la longitud de un álgebra de dimensión finita", Journal of Algebra , 197 (2): 535–545, doi : 10.1006/jabr.1997.7140 , ISSN  0021-8693.
• Sibirskiǐ, KS (1976), Invariantes algebraicos de ecuaciones diferenciales y matrices (en ruso), Izdat. "Štiinca", Kishinev.
• Specht, Wilhelm (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 50 : 19–23, ISSN  0012-0456.