David Hilbert ( / ˈh ɪ l b ər t / ; [3] alemán: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 23 de enero de 1862 - 14 de febrero de 1943) fue un matemático y filósofo de las matemáticas alemán y uno de los matemáticos más influyentes de su tiempo.
Hilbert descubrió y desarrolló una amplia gama de ideas fundamentales , entre ellas la teoría de invariantes , el cálculo de variaciones , el álgebra conmutativa , la teoría algebraica de números , los fundamentos de la geometría , la teoría espectral de operadores y su aplicación a ecuaciones integrales , la física matemática y los fundamentos de las matemáticas (en particular, la teoría de la demostración ). Adoptó y defendió la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Georg Cantor . En 1900, presentó una colección de problemas que marcaron el rumbo de la investigación matemática del siglo XX. [4] [5]
Hilbert y sus estudiantes contribuyeron a establecer el rigor y desarrollaron herramientas importantes que se utilizan en la física matemática moderna. Fue cofundador de la teoría de la demostración y la lógica matemática . [6]
Hilbert, el primero de dos hijos y único varón de Otto, un juez de condado, y Maria Therese Hilbert ( de soltera Erdtmann), hija de un comerciante, nació en la provincia de Prusia , Reino de Prusia , ya sea en Königsberg (según la propia declaración de Hilbert) o en Wehlau (conocida desde 1946 como Znamensk ) cerca de Königsberg, donde su padre trabajaba en el momento de su nacimiento. Su abuelo paterno fue David Hilbert, juez y Geheimrat . Su madre Maria tenía interés en la filosofía, la astronomía y los números primos , mientras que su padre Otto le enseñó las virtudes prusianas . Después de que su padre se convirtiera en juez de la ciudad, la familia se mudó a Königsberg. La hermana de David, Elise, nació cuando tenía seis años. Comenzó su escolarización a los ocho años, dos años más tarde de la edad de inicio habitual. [7]
A finales de 1872, Hilbert entró en el Friedrichskolleg Gymnasium ( Collegium fridericianum , la misma escuela a la que había asistido Immanuel Kant 140 años antes); pero, después de un período infeliz, se trasladó (a finales de 1879) y se graduó (principios de 1880) en el Wilhelm Gymnasium , más orientado a la ciencia . [8] Tras su graduación, en otoño de 1880, Hilbert se matriculó en la Universidad de Königsberg , la "Albertina". A principios de 1882, Hermann Minkowski (dos años más joven que Hilbert y también nativo de Königsberg, pero que había ido a Berlín durante tres semestres), [9] regresó a Königsberg y entró en la universidad. Hilbert desarrolló una amistad de por vida con el tímido y talentoso Minkowski. [10] [11]
En 1884, Adolf Hurwitz llegó de Gotinga como Extraordinarius (es decir, profesor asociado). Se inició un intenso y fructífero intercambio científico entre los tres, y Minkowski y Hilbert especialmente ejercerían una influencia recíproca entre sí en varios momentos de sus carreras científicas. Hilbert obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo la dirección de Ferdinand von Lindemann , [2] titulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre las propiedades invariantes de las formas binarias especiales , en particular las funciones armónicas esféricas" ).
Hilbert permaneció en la Universidad de Königsberg como Privatdozent ( profesor titular ) desde 1886 hasta 1895. En 1895, como resultado de la intervención en su nombre por Felix Klein , obtuvo el puesto de profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen . Durante los años de Klein y Hilbert, Göttingen se convirtió en la institución preeminente en el mundo matemático. [12] Permaneció allí por el resto de su vida.
Entre los alumnos de Hilbert se encontraban Hermann Weyl , el campeón de ajedrez Emanuel Lasker , Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel . John von Neumann fue su asistente. En la Universidad de Gotinga , Hilbert estuvo rodeado por un círculo social de algunos de los matemáticos más importantes del siglo XX, como Emmy Noether y Alonzo Church .
Entre sus 69 estudiantes de doctorado en Gotinga se encontraban muchos que más tarde se convertirían en matemáticos famosos, entre ellos (con fecha de tesis): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) y Wilhelm Ackermann (1925). [13] Entre 1902 y 1939, Hilbert fue editor de Mathematische Annalen , la revista matemática más importante de la época. Fue elegido miembro internacional de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos en 1907. [14]
En 1892, Hilbert se casó con Käthe Jerosch (1864-1945), hija de un comerciante de Königsberg, "una joven franca con una independencia de espíritu que coincidía con la de Hilbert". [15] Mientras estaban en Königsberg tuvieron su único hijo, Franz Hilbert (1893-1969). Franz sufrió toda su vida de una enfermedad mental y, después de ser internado en una clínica psiquiátrica, Hilbert dijo: "De ahora en adelante, debo considerarme como si no tuviera un hijo". Su actitud hacia Franz le causó a Käthe un gran pesar. [16]
Hilbert consideraba al matemático Hermann Minkowski su «mejor y más verdadero amigo». [17]
Hilbert fue bautizado y criado como calvinista en la Iglesia Evangélica Prusiana . [a] Más tarde abandonó la Iglesia y se convirtió en agnóstico . [b] También argumentó que la verdad matemática era independiente de la existencia de Dios u otras suposiciones a priori . [c] [d] Cuando Galileo Galilei fue criticado por no defender sus convicciones sobre la teoría heliocéntrica , Hilbert objetó: "Pero [Galileo] no era un idiota. Sólo un idiota podría creer que la verdad científica necesita el martirio; eso puede ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se prueban a su debido tiempo". [e]
Al igual que Albert Einstein , Hilbert tenía contactos más estrechos con el Grupo de Berlín, cuyos principales fundadores habían estudiado con Hilbert en Gotinga ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach y Walter Dubislav ). [18]
Alrededor de 1925, Hilbert desarrolló anemia perniciosa , una deficiencia de vitamina entonces intratable cuyo síntoma principal es el agotamiento; su asistente Eugene Wigner lo describió como sujeto a una "enorme fatiga" y cómo "parecía bastante viejo", y que incluso después de ser finalmente diagnosticado y tratado, "no era un científico después de 1925, y ciertamente no un Hilbert". [19]
Hilbert fue elegido miembro de la Sociedad Filosófica Americana en 1932. [20]
Hilbert vivió para ver cómo los nazis purgaban a muchos de los profesores destacados de la Universidad de Göttingen en 1933. [21] Entre los que se vieron obligados a abandonar el cargo se encontraban Hermann Weyl (que había ocupado la cátedra de Hilbert cuando se jubiló en 1930), Emmy Noether y Edmund Landau . Uno de los que tuvo que abandonar Alemania, Paul Bernays , había colaborado con Hilbert en lógica matemática y fue coautor con él del importante libro Grundlagen der Mathematik [22] (que finalmente apareció en dos volúmenes, en 1934 y 1939). Esta fue una secuela del libro de Hilbert- Ackermann Principles of Mathematical Logic de 1928. El sucesor de Hermann Weyl fue Helmut Hasse .
Un año después, Hilbert asistió a un banquete y se sentó junto al nuevo ministro de Educación, Bernhard Rust . Rust preguntó si "el Instituto de Matemáticas realmente sufrió tanto por la partida de los judíos". Hilbert respondió: "¿Sufrió? Ya no existe, ¿verdad?" [23] [24]
Cuando Hilbert murió en 1943, los nazis habían repuesto casi por completo la universidad, ya que muchos de los antiguos profesores eran judíos o estaban casados con judíos. Al funeral de Hilbert asistieron menos de una docena de personas, de las cuales solo dos eran colegas académicos, entre ellos Arnold Sommerfeld , un físico teórico y también nativo de Königsberg. [25] La noticia de su muerte solo se conoció al resto del mundo varios meses después de su muerte. [26]
El epitafio de su lápida en Göttingen contiene las famosas líneas que pronunció al final de su discurso de despedida ante la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes el 8 de septiembre de 1930. Las palabras fueron pronunciadas en respuesta a la máxima latina: " Ignoramus et ignorabimus " o "No sabemos y no sabremos": [27]
El día antes de que Hilbert pronunciara estas frases en la reunión anual de 1930 de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes, Kurt Gödel —en una mesa redonda durante la Conferencia sobre Epistemología celebrada conjuntamente con las reuniones de la Sociedad— anunció tentativamente la primera expresión de su teorema de incompletitud. [f] Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que incluso los sistemas axiomáticos elementales como la aritmética de Peano son contradictorios o contienen proposiciones lógicas que son imposibles de probar o refutar dentro de ese sistema.
El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes lo llevó a la demostración en 1888 de su famoso teorema de finitud . Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de los generadores para formas binarias utilizando un enfoque computacional complejo. Los intentos de generalizar su método a funciones con más de dos variables fracasaron debido a la enorme dificultad de los cálculos involucrados. Para resolver lo que se había conocido en algunos círculos como el Problema de Gordan , Hilbert se dio cuenta de que era necesario tomar un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el teorema de la base de Hilbert , mostrando la existencia de un conjunto finito de generadores, para los invariantes de los cuantos en cualquier número de variables, pero en una forma abstracta. Es decir, aunque demostraba la existencia de tal conjunto, no era una prueba constructiva —no mostraba "un objeto"— sino más bien, era una prueba de existencia [28] y se basaba en el uso de la ley del medio excluido en una extensión infinita.
Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen . Gordan, el experto en teoría de invariantes de la casa de los Mathematische Annalen , no pudo apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque no era lo suficientemente completa. Su comentario fue:
Klein , por su parte, reconoció la importancia del trabajo y garantizó que se publicaría sin modificaciones. Animado por Klein, Hilbert amplió su método en un segundo artículo, aportando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen . Tras haber leído el manuscrito, Klein le escribió diciendo:
Sin duda, este es el trabajo más importante sobre álgebra general que los Annalen hayan publicado jamás. [30]
Más tarde, cuando la utilidad del método de Hilbert fue universalmente reconocida, el propio Gordan diría:
Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos. [31]
A pesar de todos sus éxitos, la naturaleza de su prueba creó más problemas de los que Hilbert podría haber imaginado. Aunque Kronecker había admitido, Hilbert respondería más tarde a críticas similares de otros de que "muchas construcciones diferentes se subsumen bajo una idea fundamental"; en otras palabras (para citar a Reid): "Mediante una prueba de existencia, Hilbert había podido obtener una construcción"; "la prueba" (es decir, los símbolos en la página) era "el objeto". [31] No todos estaban convencidos. Aunque Kronecker moriría poco después, su filosofía constructivista continuaría con el joven Brouwer y su "escuela" intuicionista en desarrollo , para gran tormento de Hilbert en sus últimos años. [32] De hecho, Hilbert perdería a su "alumno talentoso" Weyl a manos del intuicionismo: "Hilbert estaba perturbado por la fascinación de su antiguo estudiante por las ideas de Brouwer, lo que despertó en Hilbert el recuerdo de Kronecker". [33] Brouwer, el intuicionista, en particular, se opuso al uso de la Ley del Medio Excluido sobre conjuntos infinitos (tal como la había utilizado Hilbert). Hilbert respondió:
Quitarle al matemático el principio del tercero excluido... es lo mismo que... prohibirle al boxeador el uso de sus puños. [34]
En el campo del álgebra , un cuerpo se llama algebraicamente cerrado si y solo si cada polinomio sobre él tiene una raíz en él. Bajo esta condición, Hilbert dio un criterio para cuando una colección de polinomios de variables tiene una raíz común : Este es el caso si y solo si no existen polinomios e índices tales que
Este resultado se conoce como el teorema de la raíz de Hilbert , o "Hilberts Nullstellensatz" en alemán. También demostró que la correspondencia entre ideales evanescentes y sus conjuntos evanescentes es biyectiva entre variedades afines e ideales radicales en .
En 1890, Giuseppe Peano había publicado un artículo en los Anales matemáticos en el que describía la primera curva que llenaba el espacio . En respuesta, Hilbert diseñó su propia construcción de dicha curva, que ahora se llama curva de Hilbert . Las aproximaciones a esta curva se construyen de forma iterativa según las reglas de reemplazo de la primera imagen de esta sección. La curva en sí misma es entonces el límite puntual.
El texto Grundlagen der Geometrie (tr.: Fundamentos de la geometría ) publicado por Hilbert en 1899 propone un conjunto formal, llamado axiomas de Hilbert, que sustituye a los axiomas tradicionales de Euclides . Evitan las debilidades identificadas en los de Euclides , cuyos trabajos en ese momento todavía se usaban como libros de texto. Es difícil especificar los axiomas utilizados por Hilbert sin hacer referencia al historial de publicación de los Grundlagen, ya que Hilbert los cambió y modificó varias veces. La monografía original fue seguida rápidamente por una traducción al francés, en la que Hilbert agregó V.2, el axioma de completitud. Una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, fue realizada por EJ Townsend y registrada con derechos de autor en 1902. [35] [36] Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y, por lo tanto, se considera una traducción de la 2.ª edición. Hilbert continuó realizando cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La séptima edición fue la última que apareció en vida de Hilbert. A la séptima le siguieron nuevas ediciones, pero el texto principal no fue revisado en esencia. [g]
El enfoque de Hilbert marcó el cambio hacia el método axiomático moderno . En esto, Hilbert fue anticipado por el trabajo de Moritz Pasch de 1882. Los axiomas no se toman como verdades evidentes por sí mismas. La geometría puede tratar cosas , sobre las cuales tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar ningún significado explícito a los conceptos no definidos. Los elementos, como punto , línea , plano y otros, podrían ser sustituidos, como se informa que Hilbert dijo a Schoenflies y Kötter , por mesas, sillas, vasos de cerveza y otros objetos similares. [37] Son sus relaciones definidas las que se discuten.
Hilbert enumera en primer lugar los conceptos indefinidos: punto, línea, plano, posición (relación entre puntos y líneas, puntos y planos, y líneas y planos), intermediación, congruencia de pares de puntos ( segmentos de línea ) y congruencia de ángulos . Los axiomas unifican tanto la geometría plana como la geometría sólida de Euclides en un único sistema.
En el Congreso Internacional de Matemáticos de París de 1900 , Hilbert presentó una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver. Se considera generalmente que se trata de la compilación de problemas abiertos más exitosa y profundamente meditada jamás realizada por un matemático individual. [ ¿Por quién? ]
Después de reelaborar los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podría haberlos extrapolado al resto de las matemáticas. Su enfoque difería del "fundacionalista" posterior Russell-Whitehead o del "enciclopedista" Nicolas Bourbaki , y de su contemporáneo Giuseppe Peano . La comunidad matemática en su conjunto podría abordar problemas que él había identificado como aspectos cruciales de áreas importantes de las matemáticas.
El conjunto de problemas se presentó como una charla, "Los problemas de las matemáticas", presentada durante el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. La introducción de la charla que dio Hilbert decía:
¿Quién de nosotros no estaría feliz de levantar el velo tras el cual se esconde el futuro, de contemplar los próximos desarrollos de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos venideros? ¿Cuáles serán los fines hacia los que tenderá el espíritu de las futuras generaciones de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático? [38]
En el Congreso presentó menos de la mitad de los problemas, que fueron publicados en las actas del mismo. En una publicación posterior, amplió el panorama y llegó a la formulación de los 23 problemas de Hilbert, que ahora son canónicos. Véase también el vigésimo cuarto problema de Hilbert . El texto completo es importante, ya que la exégesis de las cuestiones todavía puede ser un tema de debate inevitable, siempre que se pregunte cuántas se han resuelto.
Algunos de estos problemas se resolvieron en poco tiempo, otros se han debatido a lo largo del siglo XX y algunos se consideran ahora demasiado abiertos para llegar a una solución, y algunos siguen siendo un desafío.
Los siguientes son los encabezados de los 23 problemas de Hilbert tal como aparecieron en la traducción de 1902 en el Boletín de la Sociedad Matemática Americana .
En una explicación que se había convertido en estándar a mediados de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert también fue una especie de manifiesto que abrió el camino para el desarrollo de la escuela formalista , una de las tres principales escuelas de matemáticas del siglo XX. Según el formalista, las matemáticas son la manipulación de símbolos de acuerdo con reglas formales acordadas. Es, por lo tanto, una actividad autónoma del pensamiento.
En 1920, Hilbert propuso un proyecto de investigación en metamatemáticas que se conocería como el programa de Hilbert. Quería que las matemáticas se formularan sobre una base lógica sólida y completa. Creía que, en principio, esto se podía lograr demostrando que:
Parece haber tenido razones tanto técnicas como filosóficas para formular esta propuesta. Afirmaba su desagrado por lo que se había dado en llamar el ignorabimus , todavía un tema activo en su época en el pensamiento alemán, y se remontaba en esa formulación a Emil du Bois-Reymond . [39]
Este programa todavía es reconocible en la filosofía de las matemáticas más popular , donde se lo suele llamar formalismo . Por ejemplo, el grupo de Bourbaki adoptó una versión diluida y selectiva del mismo como adecuada a los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir obras enciclopédicas fundamentales y (b) apoyar el método axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha sido exitoso e influyente en relación con el trabajo de Hilbert en álgebra y análisis funcional, pero no ha logrado involucrarse de la misma manera con sus intereses en física y lógica.
Hilbert escribió en 1919:
No se trata aquí de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no son como un juego cuyas tareas están determinadas por reglas arbitrarias, sino que son un sistema conceptual que posee una necesidad interna que sólo puede ser así y de ninguna otra manera. [40]
Hilbert publicó sus opiniones sobre los fundamentos de las matemáticas en la obra de dos volúmenes, Grundlagen der Mathematik .
Hilbert y los matemáticos que trabajaron con él en su empresa se comprometieron con el proyecto. Su intento de respaldar las matemáticas axiomatizadas con principios definitivos, que pudieran desterrar las incertidumbres teóricas, terminó en fracaso.
Gödel demostró que cualquier sistema formal no contradictorio, que fuera lo suficientemente completo como para incluir al menos la aritmética, no puede demostrar su completitud mediante sus propios axiomas. En 1931, su teorema de incompletitud demostró que el gran plan de Hilbert era imposible tal como estaba enunciado. El segundo punto no puede combinarse de ninguna manera razonable con el primero, siempre que el sistema de axiomas sea genuinamente finitario .
Sin embargo, los logros posteriores de la teoría de la prueba al menos aclararon la coherencia en lo que se refiere a teorías de interés central para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había iniciado la lógica en este camino de clarificación; la necesidad de comprender el trabajo de Gödel condujo entonces al desarrollo de la teoría de la recursión y luego a la lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930. La base para la posterior ciencia informática teórica , en el trabajo de Alonzo Church y Alan Turing , también surgió directamente de este "debate". [41]
Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecuaciones diferenciales e integrales ; su trabajo tuvo consecuencias directas para partes importantes del análisis funcional moderno. Para llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de un espacio euclidiano de dimensión infinita , posteriormente llamado espacio de Hilbert . Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó la base para importantes contribuciones a las matemáticas de la física en las siguientes dos décadas, aunque desde una dirección imprevista. Más tarde, Stefan Banach amplió el concepto, definiendo los espacios de Banach . Los espacios de Hilbert son una clase importante de objetos en el área del análisis funcional , particularmente de la teoría espectral de operadores lineales autoadjuntos, que creció en torno a ella durante el siglo XX.
Hasta 1912, Hilbert se dedicó casi exclusivamente a las matemáticas . Cuando planeaba una visita desde Bonn, donde estaba inmerso en el estudio de la física, su colega matemático y amigo Hermann Minkowski bromeó diciendo que tuvo que pasar diez días en cuarentena antes de poder visitar a Hilbert. De hecho, Minkowski parece ser el responsable de la mayoría de las investigaciones de física de Hilbert anteriores a 1912, incluido el seminario conjunto que ambos celebraron sobre el tema en 1905.
En 1912, tres años después de la muerte de su amigo, Hilbert se dedicó casi exclusivamente a esta materia. Se las arregló para tener un "tutor de física" para sí mismo. [42] Comenzó a estudiar la teoría cinética de los gases y luego pasó a la teoría elemental de la radiación y la teoría molecular de la materia. Incluso después de que comenzara la guerra en 1914, continuó con seminarios y clases en las que se seguían de cerca los trabajos de Albert Einstein y otros.
En 1907, Einstein había formulado los fundamentos de la teoría de la gravedad , pero luego luchó durante casi 8 años para darle a la teoría su forma final . [43] A principios del verano de 1915, el interés de Hilbert por la física se había centrado en la relatividad general , e invitó a Einstein a Gotinga para dar una semana de conferencias sobre el tema. [44] Einstein recibió una recepción entusiasta en Gotinga. [45] Durante el verano, Einstein se enteró de que Hilbert también estaba trabajando en las ecuaciones de campo y redobló sus propios esfuerzos. Durante noviembre de 1915, Einstein publicó varios artículos que culminaron en Las ecuaciones de campo de la gravitación (ver Ecuaciones de campo de Einstein ). [h] Casi simultáneamente, Hilbert publicó "Los fundamentos de la física", una derivación axiomática de las ecuaciones de campo (ver Acción de Einstein-Hilbert ). Hilbert reconoció plenamente a Einstein como el creador de la teoría y nunca surgió ninguna disputa pública de prioridad sobre las ecuaciones de campo entre los dos hombres durante sus vidas. [i] Ver más en priority .
Además, el trabajo de Hilbert anticipó y ayudó a varios avances en la formulación matemática de la mecánica cuántica . Su trabajo fue un aspecto clave del trabajo de Hermann Weyl y John von Neumann sobre la equivalencia matemática de la mecánica matricial de Werner Heisenberg y la ecuación de onda de Erwin Schrödinger , y su homónimo, el espacio de Hilbert, juega un papel importante en la teoría cuántica. En 1926, von Neumann demostró que, si los estados cuánticos se entendían como vectores en el espacio de Hilbert, corresponderían tanto con la teoría de la función de onda de Schrödinger como con las matrices de Heisenberg. [j]
Durante esta inmersión en la física, Hilbert trabajó para darle rigor a las matemáticas de la física. Si bien dependían en gran medida de las matemáticas superiores, los físicos tendían a ser "descuidados" con ellas. Para un matemático puro como Hilbert, esto era feo y difícil de entender. A medida que comenzó a comprender la física y cómo los físicos usaban las matemáticas, desarrolló una teoría matemática coherente para lo que encontró, sobre todo en el área de las ecuaciones integrales . Cuando su colega Richard Courant escribió el ahora clásico Methoden der mathematischen Physik ( Métodos de la física matemática ) que incluía algunas de las ideas de Hilbert, agregó el nombre de Hilbert como autor, aunque Hilbert no había contribuido directamente a la redacción. Hilbert dijo "La física es demasiado difícil para los físicos", lo que implicaba que las matemáticas necesarias generalmente estaban más allá de ellos; el libro de Courant-Hilbert les facilitó las cosas.
Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente "informe sobre números"). También resolvió un importante problema de teoría de números formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud, utilizó una prueba de existencia que muestra que debe haber soluciones para el problema en lugar de proporcionar un mecanismo para producir las respuestas. [46] Entonces tenía poco más que publicar sobre el tema; pero la aparición de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante significa que su nombre está aún más vinculado a un área importante.
Hizo una serie de conjeturas sobre la teoría de campos de clases . Los conceptos fueron muy influyentes y su propia contribución sigue viva en los nombres de campo de clases de Hilbert y del símbolo de Hilbert de la teoría de campos de clases locales . Los resultados fueron demostrados en su mayoría en 1930, después del trabajo de Teiji Takagi . [k]
Hilbert no trabajó en las áreas centrales de la teoría analítica de números , pero su nombre se hizo conocido por la conjetura de Hilbert-Pólya , por razones que son anecdóticas. Ernst Hellinger , un estudiante de Hilbert, le dijo una vez a André Weil que Hilbert había anunciado en su seminario a principios de la década de 1900 que esperaba que la prueba de la hipótesis de Riemann fuera una consecuencia del trabajo de Fredholm sobre ecuaciones integrales con un núcleo simétrico. [47]
Sus obras completas ( Gesammelte Abhandlungen ) han sido publicadas varias veces. Las versiones originales de sus artículos contenían "muchos errores técnicos de diversos grados"; [48] cuando la colección fue publicada por primera vez, los errores fueron corregidos y se encontró que esto podía hacerse sin cambios importantes en los enunciados de los teoremas, con una excepción: una supuesta prueba de la hipótesis del continuo . [49] [50] Los errores eran, no obstante, tan numerosos y significativos que Olga Taussky-Todd tardó tres años en hacer las correcciones. [50]
En el discurso de Hamburgo de 1927, Hilbert afirmó: "las matemáticas son una ciencia sin presuposiciones (die Mathematik ist eine voraussetzungslose Wissenschaft)" y "para fundarla no necesito un buen Dios ([z]u ihrer Begründung brauche ich weder den lieben Gott )" (1928, pág. 85; van Heijenoort, 1967, pág. 479). Sin embargo, desde Mathematische Probleme (1900) hasta Naturerkennen und Logik (1930), depositó su fe casi religiosa en el espíritu humano y en el poder del pensamiento puro con su amado hijo: las matemáticas. Estaba profundamente convencido de que todo problema matemático podía resolverse mediante la razón pura: tanto en matemáticas como en cualquier parte de las ciencias naturales (a través de las matemáticas) no había "ignorabimus" (Hilbert, 1900, pág. 262; 1930, pág. 963; Ewald , 1996, pp. 1102, 1165). Por eso, encontrar una base interna absoluta para las matemáticas se convirtió en la obra de toda la vida de Hilbert. Nunca abandonó esta posición, y es simbólico que sus palabras "debemos saber, sabremos" En su lápida se grabaron las palabras ("debemos saber, sabremos") de su discurso de Königsberg de 1930. Aquí nos encontramos con un fantasma de la teología fallecida (para modificar las palabras de George Berkeley), ya que absolutizar el conocimiento humano significa identificarlo tácitamente con Uno divino. — Shaposhnikov, Vladislav (2016). "Fundamentos teológicos de la filosofía moderna de las matemáticas. Parte II: La búsqueda de fundamentos autónomos". Estudios en lógica, gramática y retórica . 44 (1): 147–168. doi : 10.1515/slgr-2016-0009 .En esa época [hacia 1902] los Hilbert habían abandonado la Iglesia protestante reformada en la que habían sido bautizados y casados. En Gotinga se dice que cuando Franz [el hijo de David Hilbert] empezó a ir a la escuela no supo responder a la pregunta: "¿De qué religión eres?" (1970, pág. 91).
Hilbert rechazó el Dios de Leopold Kronecker para la solución del problema de los fundamentos de las matemáticas.
los invitados estarían discutiendo el juicio de Galileo y alguien culparía a Galileo por no defender sus convicciones. "Pero él no era un idiota", objetaría Hilbert. "Sólo un idiota podría creer que la verdad científica necesita el martirio; eso puede ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se demuestran a su debido tiempo".
Probablemente, este sea el libro más importante sobre fundamentos matemáticos que ha aparecido desde los "Principia Mathematical" de Whitehead y Russell .
![{\displaystyle \mathbb {C}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85aa77dcb275059c2ef9fb836c34c82d14823de)
{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace ) CS1 maint: bot: estado de URL original desconocido ( enlace ), archivado desde [www.seas.harvard.edu/courses/cs121/handouts/Hilbert.pdf]traducido de la décima edición alemana
originalmente para los ciudadanos de Göttingen.
