Sir Michael Francis Atiyah ( / əˈt iːə / ; 22 de abril de 1929 - 11 de enero de 2019) fue un matemático británico - libanés especializado en geometría . [4] Sus contribuciones incluyen el teorema del índice de Atiyah-Singer y la cofundación de la teoría K topológica . Fue galardonado con la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004.
Atiyah nació el 22 de abril de 1929 en Hampstead , Londres , Inglaterra, hijo de Jean (née Levens) y Edward Atiyah . [5] Su madre era escocesa y su padre era un cristiano ortodoxo libanés . Tenía dos hermanos, Patrick (fallecido) y Joe, y una hermana, Selma (fallecida). [6] Atiyah fue a la escuela primaria en la escuela diocesana en Jartum , Sudán (1934-1941), y a la escuela secundaria en el Victoria College en El Cairo y Alejandría (1941-1945); a la escuela también asistieron la nobleza europea desplazada por la Segunda Guerra Mundial y algunos futuros líderes de las naciones árabes. [7] Regresó a Inglaterra y a la Manchester Grammar School para sus estudios de HSC (1945-1947) e hizo su servicio nacional con los Royal Electrical and Mechanical Engineers (1947-1949). Realizó sus estudios de grado y posgrado en el Trinity College de Cambridge (1949-1955). [8] Fue alumno de doctorado de William V. D. Hodge [2] y obtuvo el doctorado en 1955 por una tesis titulada Algunas aplicaciones de los métodos topológicos en la geometría algebraica . [1] [2]
Atiyah era miembro de la Asociación Humanista Británica . [9]
Durante su estancia en Cambridge, fue presidente de The Archimedeans . [10]
Atiyah pasó el año académico 1955-1956 en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton , luego regresó a la Universidad de Cambridge , donde fue investigador y profesor asistente (1957-1958), luego profesor universitario y profesor asistente en el Pembroke College, Cambridge (1958-1961). En 1961, se trasladó a la Universidad de Oxford , donde fue lector y profesor asociado en el St Catherine's College (1961-1963). [8] Se convirtió en profesor Savilian de geometría y profesor asociado del New College, Oxford , de 1963 a 1969. Aceptó una cátedra de tres años en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, después de lo cual regresó a Oxford como profesor de investigación de la Royal Society y profesor asociado del St Catherine's College. Fue presidente de la London Mathematical Society de 1974 a 1976. [8]
Empecé cambiando moneda local por moneda extranjera en todos los lugares a los que viajaba cuando era niño y terminé ganando dinero. Fue entonces cuando mi padre se dio cuenta de que algún día sería matemático.
Michael Atiyah [11]
Atiyah fue presidente de las Conferencias Pugwash sobre Ciencia y Asuntos Mundiales de 1997 a 2002. [12] También contribuyó a la fundación del Panel Interacadémico sobre Asuntos Internacionales , la Asociación de Academias Europeas (ALLEA) y la Sociedad Matemática Europea (EMS). [13]
En el Reino Unido, participó en la creación del Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas en Cambridge y fue su primer director (1990-1996). Fue presidente de la Royal Society (1990-1995), rector del Trinity College de Cambridge (1990-1997), [12] rector de la Universidad de Leicester (1995-2005), [12] y presidente de la Royal Society de Edimburgo (2005-2008). [14] Desde 1997 hasta su muerte en 2019 fue profesor honorario de la Universidad de Edimburgo . Fue fideicomisario de la Fundación James Clerk Maxwell . [15]
Los colaboradores matemáticos de Atiyah incluyeron a Raoul Bott , Friedrich Hirzebruch [16] e Isadore Singer , y sus estudiantes incluyeron a Graeme Segal , Nigel Hitchin , Simon Donaldson y Edward Witten . [17] Junto con Hirzebruch, sentó las bases de la teoría K topológica , una herramienta importante en la topología algebraica , que, informalmente hablando, describe las formas en que los espacios pueden torcerse. Su resultado más conocido, el teorema del índice de Atiyah-Singer , fue demostrado con Singer en 1963 y se utiliza para contar el número de soluciones independientes a ecuaciones diferenciales . Algunos de sus trabajos más recientes se inspiraron en la física teórica , en particular los instantones y monopolos , que son responsables de algunas correcciones en la teoría cuántica de campos . Fue galardonado con la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004.
Atiyah colaboró con muchos matemáticos. Sus tres colaboraciones principales fueron con Raoul Bott en el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott y muchos otros temas, con Isadore M. Singer en el teorema del índice de Atiyah-Singer y con Friedrich Hirzebruch en la teoría K topológica, [18] a todos los cuales conoció en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1955. [19] Sus otros colaboradores incluyeron; J. Frank Adams ( problema invariante de Hopf ), Jürgen Berndt (planos proyectivos), Roger Bielawski (problema de Berry-Robbins), Howard Donnelly ( funciones L ), Vladimir G. Drinfeld (instantones), Johan L. Dupont (singularidades de campos vectoriales ), Lars Gårding ( ecuaciones diferenciales hiperbólicas ), Nigel J. Hitchin (monopolos), William VD Hodge (integrales de segundo tipo), Michael Hopkins ( teoría K ), Lisa Jeffrey (lagrangianos topológicos), John DS Jones (teoría de Yang-Mills), Juan Maldacena (teoría M), Yuri I. Manin (instantones), Nick S. Manton (skyrmions), Vijay K. Patodi (asimetría espectral), AN Pressley (convexidad), Elmer Rees (fibrados vectoriales), Wilfried Schmid (representaciones de series discretas), Graeme Segal ( teoría K equivariante) ), Alexander Shapiro [20] (álgebras de Clifford), L. Smith (grupos de homotopía de esferas), Paul Sutcliffe (poliedros), David O. Tall (anillos lambda), John A. Todd ( variedades de Stiefel ), Cumrun Vafa (teoría M), Richard S. Ward (instantones) y Edward Witten (teoría M, teorías cuánticas de campos topológicos). [21]
Sus investigaciones posteriores sobre teorías de campos de calibración , particularmente la teoría de Yang-Mills , estimularon interacciones importantes entre la geometría y la física , más notablemente en el trabajo de Edward Witten. [22]
Si te enfrentas a un problema matemático directamente, muy a menudo llegas a un callejón sin salida, nada de lo que haces parece funcionar y sientes que si tan solo pudieras mirar a la vuelta de la esquina podría haber una solución fácil. No hay nada como tener a alguien a tu lado, porque normalmente puede mirar a la vuelta de la esquina.
Michael Atiyah [23]
Los estudiantes de Atiyah incluyeron a Peter Braam 1987, Simon Donaldson 1983, K. David Elworthy 1967, Howard Fegan 1977, Eric Grunwald 1977, Nigel Hitchin 1972, Lisa Jeffrey 1991, Frances Kirwan 1984, Peter Kronheimer 1986, Ruth Lawrence 1989, George Lusztig 1971, Jack Morava 1968, Michael Murray 1983, Peter Newstead 1966, Ian R. Porteous 1961, John Roe 1985, Brian Sanderson 1963, Rolph Schwarzenberger 1960, Graeme Segal 1967, David Tall 1966 y Graham White 1982. [2]
Otros matemáticos contemporáneos que influyeron en Atiyah incluyen a Roger Penrose , Lars Hörmander , Alain Connes y Jean-Michel Bismut . [24] Atiyah dijo que el matemático que más admiraba era Hermann Weyl , [25] y que sus matemáticos favoritos de antes del siglo XX eran Bernhard Riemann y William Rowan Hamilton . [26]
Los siete volúmenes de los documentos recopilados de Atiyah incluyen la mayor parte de su trabajo, a excepción de su libro de texto de álgebra conmutativa; [27] los primeros cinco volúmenes están divididos temáticamente y el sexto y el séptimo están organizados por fecha.
Los primeros artículos de Atiyah sobre geometría algebraica (y algunos artículos generales) están reimpresos en el primer volumen de sus obras completas. [28]
Como estudiante universitario, Atiyah se interesó en la geometría proyectiva clásica y escribió su primer artículo: una breve nota sobre cúbicas retorcidas . [29] Comenzó a investigar con WVD Hodge y ganó el premio Smith en 1954 por un enfoque de teoría de haces para superficies regladas , [30] lo que animó a Atiyah a continuar en matemáticas, en lugar de cambiar a sus otros intereses: arquitectura y arqueología. [31] Su tesis de doctorado con Hodge fue sobre un enfoque de teoría de haces para la teoría de integrales de segundo tipo de Solomon Lefschetz sobre variedades algebraicas, y resultó en una invitación para visitar el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton durante un año. [32] Mientras estaba en Princeton, clasificó los fibrados vectoriales en una curva elíptica (extendiendo la clasificación de fibrados vectoriales de Alexander Grothendieck en una curva de género 0), mostrando que cualquier fibrado vectorial es una suma de fibrados vectoriales indecomponibles (esencialmente únicos), [33] y luego mostrando que el espacio de fibrados vectoriales indecomponibles de grado dado y dimensión positiva puede identificarse con la curva elíptica. [34] También estudió los puntos dobles en superficies, [35] dando el primer ejemplo de un flop , una transformación biracional especial de 3-folds que luego se usó ampliamente en el trabajo de Shigefumi Mori sobre modelos mínimos para 3-folds. [36] El flop de Atiyah también se puede usar para mostrar que la familia marcada universal de superficies K3 no es Hausdorff . [37]
Las obras de Atiyah sobre la teoría K , incluido su libro sobre la teoría K [38], se reimprimen en el volumen 2 de sus obras completas. [39]
El ejemplo más simple y no trivial de un fibrado vectorial es la banda de Möbius (en la imagen de la derecha): una tira de papel con una torsión en ella, que representa un fibrado vectorial de rango 1 sobre un círculo (el círculo en cuestión es la línea central de la banda de Möbius). La teoría K es una herramienta para trabajar con análogos de dimensiones superiores de este ejemplo, o en otras palabras, para describir torsiones de dimensiones superiores: los elementos del grupo K de un espacio están representados por fibrados vectoriales sobre él, por lo que la banda de Möbius representa un elemento del grupo K de un círculo. [40]
La teoría K topológica fue descubierta por Atiyah y Friedrich Hirzebruch [41], quienes se inspiraron en la prueba de Grothendieck del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch y en el trabajo de Bott sobre el teorema de periodicidad . En este artículo solo se trató el grupo K cero; poco después lo extendieron a los grupos K de todos los grados, [42] dando el primer ejemplo (no trivial) de una teoría de cohomología generalizada .
Varios resultados mostraron que la recién introducida teoría K era en algunos aspectos más poderosa que la teoría de cohomología ordinaria. Atiyah y Todd [43] usaron la teoría K para mejorar los límites inferiores encontrados usando cohomología ordinaria por Borel y Serre para el número de James, describiendo cuándo una función de una variedad compleja de Stiefel a una esfera tiene una sección transversal. ( Adams y Grant-Walker demostraron más tarde que el límite encontrado por Atiyah y Todd era el mejor posible.) Atiyah y Hirzebruch [44] usaron la teoría K para explicar algunas relaciones entre las operaciones de Steenrod y las clases de Todd que Hirzebruch había notado unos años antes. La solución original de las operaciones del problema uno invariante de Hopf por JF Adams era muy larga y complicada, usando operaciones de cohomología secundaria. Atiyah mostró cómo las operaciones primarias en la teoría K podían usarse para dar una solución corta que toma solo unas pocas líneas, y en trabajo conjunto con Adams [45] también probaron análogos del resultado en primos impares.
La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch relaciona la cohomología ordinaria de un espacio con su teoría de cohomología generalizada. [42] (Atiyah y Hirzebruch utilizaron el caso de la teoría K, pero su método funciona para todas las teorías de cohomología).
Atiyah demostró [46] que para un grupo finito G , la teoría K de su espacio de clasificación , BG , es isomorfa a la completitud de su anillo de caracteres :
El mismo año [47] demostraron el resultado para G cualquier grupo de Lie compacto conexo . Aunque pronto el resultado pudo extenderse a todos los grupos de Lie compactos incorporando resultados de la tesis de Graeme Segal [48] , esa extensión era complicada. Sin embargo, se produjo una prueba más simple y más general introduciendo la teoría K equivariante , es decir, clases de equivalencia de fibrados vectoriales G sobre un G -espacio compacto X . [49] Se demostró que en condiciones adecuadas la completitud de la teoría K equivariante de X es isomorfa a la teoría K ordinaria de un espacio, , que se fibrilaba sobre BG con fibra X :
El resultado original se derivó entonces como corolario al tomar X como un punto: el lado izquierdo se redujo a la completitud de R(G) y el derecho a K(BG) . Véase el teorema de completitud de Atiyah-Segal para más detalles.
Definió nuevas teorías generalizadas de homología y cohomología llamadas bordismo y cobordismo , y señaló que muchos de los resultados profundos sobre el cobordismo de variedades encontrados por René Thom , CTC Wall y otros podrían reinterpretarse naturalmente como declaraciones sobre estas teorías de cohomología. [50] Algunas de estas teorías de cohomología, en particular el cobordismo complejo, resultaron ser algunas de las teorías de cohomología más poderosas conocidas.
"El álgebra es la oferta que el diablo le hace al matemático. El diablo le dice: "Te daré esta poderosa máquina, que responderá a cualquier pregunta que quieras. Todo lo que tienes que hacer es entregarme tu alma: renuncia a la geometría y tendrás esta maravillosa máquina".
Michael Atiyah [51]
Introdujo [52] el grupo J J ( X ) de un complejo finito X , definido como el grupo de clases de equivalencia de homotopía de fibras estables de haces de esferas ; esto fue estudiado posteriormente en detalle por JF Adams en una serie de artículos, lo que condujo a la conjetura de Adams .
Junto con Hirzebruch, extendió el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a las incrustaciones analíticas complejas [52] y en un artículo relacionado [53] demostraron que la conjetura de Hodge para la cohomología integral es falsa. La conjetura de Hodge para la cohomología racional es, a fecha de 2008, un importante problema sin resolver. [54]
El teorema de periodicidad de Bott fue un tema central en el trabajo de Atiyah sobre la teoría K, y volvió a él repetidamente, reelaborando la prueba varias veces para entenderlo mejor. Con Bott elaboró una prueba elemental, [55] y dio otra versión de ella en su libro. [56] Con Bott y Shapiro analizó la relación de la periodicidad de Bott con la periodicidad de las álgebras de Clifford ; [57] aunque este artículo no tenía una prueba del teorema de periodicidad, una prueba en líneas similares fue encontrada poco después por R. Wood. Encontró una prueba de varias generalizaciones usando operadores elípticos ; [58] esta nueva prueba utilizó una idea que utilizó para dar una prueba particularmente corta y fácil del teorema de periodicidad original de Bott. [59]
El trabajo de Atiyah sobre la teoría de índices se reimprime en los volúmenes 3 y 4 de sus obras completas. [60] [61]
El índice de un operador diferencial está estrechamente relacionado con el número de soluciones independientes (más precisamente, es la diferencia entre el número de soluciones independientes del operador diferencial y su adjunto). Hay muchos problemas difíciles y fundamentales en matemáticas que pueden reducirse fácilmente al problema de encontrar el número de soluciones independientes de algún operador diferencial, por lo que si uno tiene algún medio para encontrar el índice de un operador diferencial, estos problemas a menudo se pueden resolver. Esto es lo que hace el teorema del índice de Atiyah-Singer: da una fórmula para el índice de ciertos operadores diferenciales, en términos de invariantes topológicos que parecen bastante complicados pero que en la práctica suelen ser sencillos de calcular. [ cita requerida ]
Varios teoremas profundos, como el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch , son casos especiales del teorema del índice de Atiyah–Singer. De hecho, el teorema del índice dio un resultado más poderoso, porque su prueba se aplicaba a todas las variedades complejas compactas, mientras que la prueba de Hirzebruch solo funcionaba para variedades proyectivas. También hubo muchas aplicaciones nuevas: una típica es calcular las dimensiones de los espacios de módulos de los instantones. El teorema del índice también se puede ejecutar "a la inversa": el índice es obviamente un entero, por lo que la fórmula para él también debe dar un entero, lo que a veces da condiciones de integralidad sutiles sobre invariantes de variedades. Un ejemplo típico de esto es el teorema de Rochlin , que se desprende del teorema del índice. [ cita requerida ]
El consejo más útil que daría a un estudiante de matemáticas es que siempre sospeche de un teorema que parezca impresionante si no tiene un caso especial que sea simple y no trivial.
Michael Atiyah [62]
El problema del índice para operadores diferenciales elípticos fue planteado en 1959 por Gel'fand . [63] Notó la invariancia de homotopía del índice y pidió una fórmula para ello mediante invariantes topológicos . Algunos de los ejemplos motivadores incluyeron el teorema de Riemann-Roch y su generalización, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , y el teorema de la signatura de Hirzebruch . Hirzebruch y Borel habían demostrado la integralidad del género  de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integralidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).
El primer anuncio del teorema de Atiyah-Singer fue su artículo de 1963. [64] La prueba esbozada en este anuncio se inspiró en la prueba de Hirzebruch del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y nunca fue publicada por ellos, aunque está descrita en el libro de Palais. [65] Su primera prueba publicada [66] fue más similar a la prueba de Grothendieck del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , reemplazando la teoría del cobordismo de la primera prueba con la teoría K , y utilizaron este enfoque para dar pruebas de varias generalizaciones en una secuencia de artículos desde 1968 hasta 1971.
En lugar de un solo operador elíptico, se puede considerar una familia de operadores elípticos parametrizados por algún espacio Y . En este caso, el índice es un elemento de la teoría K de Y , en lugar de un entero. [67] Si los operadores de la familia son reales, entonces el índice se encuentra en la teoría K real de Y . Esto proporciona un poco de información adicional, ya que la función de la teoría K real de Y a la teoría K compleja no siempre es inyectiva. [68]
Con Bott, Atiyah encontró un análogo de la fórmula de punto fijo de Lefschetz para operadores elípticos, dando el número de Lefschetz de un endomorfismo de un complejo elíptico en términos de una suma sobre los puntos fijos del endomorfismo. [69] Como casos especiales su fórmula incluía la fórmula del carácter de Weyl , y varios resultados nuevos sobre curvas elípticas con multiplicación compleja, algunos de los cuales fueron inicialmente descreídos por los expertos. [70] Atiyah y Segal combinaron este teorema del punto fijo con el teorema del índice de la siguiente manera. Si hay una acción de grupo compacto de un grupo G en la variedad compacta X , conmutando con el operador elíptico, entonces uno puede reemplazar la K-teoría ordinaria en el teorema del índice con la K-teoría equivariante . Para grupos triviales G esto da el teorema del índice, y para un grupo finito G que actúa con puntos fijos aislados da el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott. En general , da el índice como una suma sobre subvariedades de punto fijo del grupo G. [71]
Atiyah [72] resolvió un problema planteado independientemente por Hörmander y Gel'fand, sobre si las potencias complejas de funciones analíticas definen distribuciones . Atiyah utilizó la resolución de singularidades de Hironaka para responder afirmativamente a esta pregunta. J. Bernstein encontró una solución ingeniosa y elemental casi al mismo tiempo , que fue discutida por Atiyah. [73]
Como aplicación del teorema del índice equivariante, Atiyah y Hirzebruch demostraron que las variedades con acciones circulares efectivas tienen un género  que se desvanece . [74] (Lichnerowicz demostró que si una variedad tiene una métrica de curvatura escalar positiva, entonces el género  se desvanece).
Junto con Elmer Rees , Atiyah estudió el problema de la relación entre los fibrados vectoriales topológicos y holomorfos en el espacio proyectivo. Resolvieron el caso desconocido más simple, al demostrar que todos los fibrados vectoriales de rango 2 sobre el espacio proyectivo 3-espacial tienen una estructura holomorfa. [75] Horrocks había encontrado previamente algunos ejemplos no triviales de tales fibrados vectoriales, que luego fueron utilizados por Atiyah en su estudio de los instantones en la 4-esfera.
Atiyah, Bott y Vijay K. Patodi [76] dieron una nueva prueba del teorema del índice utilizando la ecuación de calor .
Si se permite que la variedad tenga frontera, entonces se deben poner algunas restricciones en el dominio del operador elíptico para asegurar un índice finito. Estas condiciones pueden ser locales (como exigir que las secciones en el dominio se anulen en la frontera) o condiciones globales más complicadas (como requerir que las secciones en el dominio resuelvan alguna ecuación diferencial). El caso local fue desarrollado por Atiyah y Bott, pero mostraron que muchos operadores interesantes (por ejemplo, el operador de firma ) no admiten condiciones de frontera locales. Para manejar estos operadores, Atiyah, Patodi y Singer introdujeron condiciones de frontera globales equivalentes a unir un cilindro a la variedad a lo largo de la frontera y luego restringir el dominio a aquellas secciones que son integrables cuadradamente a lo largo del cilindro, y también introdujeron el invariante eta de Atiyah–Patodi–Singer . Esto resultó en una serie de artículos sobre asimetría espectral, [77] que luego se utilizaron inesperadamente en física teórica , en particular en el trabajo de Witten sobre anomalías.
Las soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas lineales a menudo tienen lagunas de Petrovsky : regiones donde se desvanecen de manera idéntica. Estas fueron estudiadas en 1945 por IG Petrovsky , quien encontró condiciones topológicas que describen qué regiones eran lagunas. En colaboración con Bott y Lars Gårding , Atiyah escribió tres artículos actualizando y generalizando el trabajo de Petrovsky. [78]
Atiyah [79] mostró cómo extender el teorema del índice a algunas variedades no compactas, sobre las que actúa un grupo discreto con cociente compacto. El núcleo del operador elíptico es en general de dimensión infinita en este caso, pero es posible obtener un índice finito utilizando la dimensión de un módulo sobre un álgebra de von Neumann ; este índice es en general real en lugar de entero. Esta versión se llama teorema del índice L 2 , y fue utilizada por Atiyah y Schmid [80] para dar una construcción geométrica, utilizando espinores armónicos integrables cuadrados, de las representaciones en serie discreta de Harish-Chandra de grupos de Lie semisimples . En el curso de este trabajo encontraron una prueba más elemental del teorema fundamental de Harish-Chandra sobre la integrabilidad local de caracteres de grupos de Lie. [81]
Junto con H. Donnelly e I. Singer, extendió la fórmula de Hirzebruch (que relaciona el defecto característico en las cúspides de las superficies modulares de Hilbert con los valores de las funciones L) desde campos cuadráticos reales a todos los campos totalmente reales. [82]
Muchos de sus artículos sobre teoría de calibre y temas relacionados se reimprimen en el volumen 5 de sus obras completas. [83] Un tema común de estos artículos es el estudio de los espacios de módulos de soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales , en particular las ecuaciones para instantones y monopolos. Esto a menudo implica encontrar una correspondencia sutil entre soluciones de dos ecuaciones aparentemente bastante diferentes. Un ejemplo temprano de esto que Atiyah utilizó repetidamente es la transformada de Penrose , que a veces puede convertir soluciones de una ecuación no lineal sobre alguna variedad real en soluciones de algunas ecuaciones holomorfas lineales sobre una variedad compleja diferente.
En una serie de artículos con varios autores, Atiyah clasificó todos los instantones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Es más conveniente clasificar los instantones en una esfera ya que es compacta, y esto es esencialmente equivalente a clasificar los instantones en el espacio euclidiano ya que es conformemente equivalente a una esfera y las ecuaciones para los instantones son conformemente invariantes. Con Hitchin y Singer [84] calculó la dimensión del espacio de módulos de conexiones autoduales irreducibles (instantones) para cualquier fibrado principal sobre una variedad riemanniana compacta de 4 dimensiones (el teorema de Atiyah-Hitchin-Singer ). Por ejemplo, la dimensión del espacio de SU 2 instantones de rango k >0 es 8 k −3. Para hacer esto, utilizaron el teorema del índice de Atiyah-Singer para calcular la dimensión del espacio tangente del espacio de módulos en un punto; El espacio tangente es esencialmente el espacio de soluciones de un operador diferencial elíptico, dado por la linealización de las ecuaciones no lineales de Yang-Mills. Estos espacios de módulos fueron utilizados posteriormente por Donaldson para construir sus invariantes de 4-variedades . Atiyah y Ward utilizaron la correspondencia de Penrose para reducir la clasificación de todos los instantones en la 4-esfera a un problema de geometría algebraica. [85] Con Hitchin utilizó ideas de Horrocks para resolver este problema, dando la construcción ADHM de todos los instantones en una esfera; Manin y Drinfeld encontraron la misma construcción al mismo tiempo, lo que dio lugar a un artículo conjunto de los cuatro autores. [86] Atiyah reformuló esta construcción utilizando cuaterniones y escribió un relato pausado de esta clasificación de instantones en el espacio euclidiano como un libro. [87]
Los problemas matemáticos que se han resuelto o las técnicas que han surgido de la física en el pasado han sido el elemento vital de las matemáticas.
Michael Atiyah [88]
El trabajo de Atiyah sobre los espacios de módulos de instantones se utilizó en el trabajo de Donaldson sobre la teoría de Donaldson . Donaldson demostró que el espacio de módulos de instantones (de grado 1) sobre una 4-variedad compacta simplemente conexa con forma de intersección definida positiva puede compactarse para dar un cobordismo entre la variedad y una suma de copias del espacio proyectivo complejo. Dedujo de esto que la forma de intersección debe ser una suma de unas unidimensionales, lo que llevó a varias aplicaciones espectaculares para suavizar las 4-variedades, como la existencia de estructuras suaves no equivalentes en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Donaldson continuó utilizando los otros espacios de módulos estudiados por Atiyah para definir los invariantes de Donaldson , que revolucionaron el estudio de las 4-variedades suaves y demostraron que eran más sutiles que las variedades suaves en cualquier otra dimensión, y también bastante diferentes de las 4-variedades topológicas. Atiyah describió algunos de estos resultados en una charla de encuesta. [89]
Las funciones de Green para ecuaciones diferenciales parciales lineales se pueden encontrar a menudo utilizando la transformada de Fourier para convertir esto en un problema algebraico. Atiyah utilizó una versión no lineal de esta idea. [90] Utilizó la transformada de Penrose para convertir la función de Green para el laplaciano invariante conforme en un objeto analítico complejo, que resultó ser esencialmente la incrustación diagonal del espacio twistor de Penrose en su cuadrado. Esto le permitió encontrar una fórmula explícita para la función de Green invariante conforme en una variedad de 4.
En su artículo con Jones, [91] estudió la topología del espacio de módulos de los instantones SU(2) sobre una 4-esfera. Demostraron que la función natural de este espacio de módulos al espacio de todas las conexiones induce epimorfismos de grupos de homología en un cierto rango de dimensiones, y sugirieron que podría inducir isomorfismos de grupos de homología en el mismo rango de dimensiones. Esto se conoció como la conjetura de Atiyah-Jones , y luego fue demostrada por varios matemáticos. [92]
Harder y MS Narasimhan describieron la cohomología de los espacios de módulos de fibrados vectoriales estables sobre superficies de Riemann contando el número de puntos de los espacios de módulos sobre cuerpos finitos y luego usando las conjeturas de Weil para recuperar la cohomología sobre los números complejos. [93] Atiyah y R. Bott usaron la teoría de Morse y las ecuaciones de Yang-Mills sobre una superficie de Riemann para reproducir y extender los resultados de Harder y Narasimhan. [94]
Un antiguo resultado de Schur y Horn establece que el conjunto de posibles vectores diagonales de una matriz hermítica con valores propios dados es la envoltura convexa de todas las permutaciones de los valores propios. Atiyah demostró una generalización de esto que se aplica a todas las variedades simplécticas compactas sobre las que actúa un toro, mostrando que la imagen de la variedad bajo la función de momentos es un poliedro convexo, [95] y con Pressley dio una generalización relacionada a los grupos de bucles de dimensión infinita. [96]
Duistermaat y Heckman encontraron una fórmula sorprendente, diciendo que el avance de la medida de Liouville de un mapa de momentos para una acción de toro está dada exactamente por la aproximación de fase estacionaria (que en general es solo una expansión asintótica en lugar de exacta). Atiyah y Bott [97] demostraron que esto podría deducirse de una fórmula más general en cohomología equivariante , que era una consecuencia de teoremas de localización bien conocidos . Atiyah demostró [98] que el mapa de momentos estaba estrechamente relacionado con la teoría de invariantes geométricos , y esta idea fue desarrollada mucho más tarde por su estudiante F. Kirwan . Witten poco después aplicó la fórmula de Duistermaat-Heckman a espacios de bucles y demostró que esto formalmente daba el teorema del índice de Atiyah-Singer para el operador de Dirac; esta idea fue impartida por Atiyah. [99]
Con Hitchin trabajó en monopolos magnéticos y estudió su dispersión usando una idea de Nick Manton . [100] Su libro [101] con Hitchin da una descripción detallada de su trabajo sobre monopolos magnéticos . El tema principal del libro es un estudio de un espacio de módulos de monopolos magnéticos ; esto tiene una métrica riemanniana natural, y un punto clave es que esta métrica es completa e hiperkähler . La métrica se utiliza luego para estudiar la dispersión de dos monopolos, usando una sugerencia de N. Manton de que el flujo geodésico en el espacio de módulos es la aproximación de baja energía a la dispersión. Por ejemplo, muestran que una colisión frontal entre dos monopolos da como resultado una dispersión de 90 grados, con la dirección de la dispersión dependiendo de las fases relativas de los dos monopolos. También estudió monopolos en el espacio hiperbólico. [102]
Atiyah demostró [103] que los instantones en 4 dimensiones pueden identificarse con los instantones en 2 dimensiones, que son mucho más fáciles de manejar. Por supuesto, hay un problema: al pasar de 4 a 2 dimensiones, el grupo de estructura de la teoría de calibración cambia de un grupo de dimensión finita a un grupo de bucles de dimensión infinita. Esto proporciona otro ejemplo en el que los espacios de módulos de soluciones de dos ecuaciones diferenciales parciales no lineales aparentemente no relacionadas resultan ser esencialmente los mismos.
Atiyah y Singer descubrieron que las anomalías en la teoría cuántica de campos podían interpretarse en términos de la teoría del índice del operador de Dirac; [104] esta idea luego fue ampliamente utilizada por los físicos.
Muchos de los artículos del sexto volumen [105] de sus obras recopiladas son encuestas, obituarios y charlas generales. Atiyah continuó publicando posteriormente, incluidas varias encuestas, un libro popular [106] y otro artículo con Segal sobre la teoría K retorcida .
Un artículo [107] es un estudio detallado de la función eta de Dedekind desde el punto de vista de la topología y el teorema del índice.
Varios de sus artículos de esta época estudian las conexiones entre la teoría cuántica de campos , los nudos y la teoría de Donaldson . Introdujo el concepto de una teoría cuántica de campos topológica , inspirada en el trabajo de Witten y la definición de Segal de una teoría de campos conforme. [108] Su libro "La geometría y la física de los nudos" [109] describe los nuevos invariantes de nudos encontrados por Vaughan Jones y Edward Witten en términos de teorías cuánticas de campos topológicas, y su artículo con L. Jeffrey [110] explica el lagrangiano de Witten dando los invariantes de Donaldson .
Estudió skyrmions con Nick Manton, [111] encontrando una relación con los monopolos magnéticos y los instantones , y dando una conjetura para la estructura del espacio de módulos de dos skyrmions como un cierto subcociente del 3-espacio proyectivo complejo .
Varios artículos [112] se inspiraron en una pregunta de Jonathan Robbins (llamada el problema de Berry–Robbins ), quien preguntó si existe una función desde el espacio de configuración de n puntos en el espacio tridimensional hasta la variedad bandera del grupo unitario. Atiyah dio una respuesta afirmativa a esta pregunta, pero sintió que su solución era demasiado computacional y estudió una conjetura que daría una solución más natural. También relacionó la pregunta con la ecuación de Nahm e introdujo la conjetura de Atiyah sobre configuraciones .
Pero para la mayoría de los propósitos prácticos, sólo se utilizan los grupos clásicos. Los grupos de Lie excepcionales sólo están ahí para mostrar que la teoría es un poco más grande; es bastante raro que aparezcan.
Michael Atiyah [113]
Con Juan Maldacena y Cumrun Vafa [ 114] y E. Witten [115] describió la dinámica de la teoría M en variedades con holonomía G 2 . Estos artículos parecen ser la primera vez que Atiyah trabajó en grupos de Lie excepcionales.
En sus artículos con M. Hopkins [116] y G. Segal [117] volvió a su interés anterior por la teoría K, describiendo algunas formas retorcidas de la teoría K con aplicaciones en la física teórica .
En octubre de 2016, afirmó [118] que había presentado una breve prueba de la inexistencia de estructuras complejas en la esfera de seis dimensiones. Su prueba, como la de muchos predecesores, es considerada defectuosa por la comunidad matemática, incluso después de que la prueba fuera reescrita en una forma revisada. [119] [120]
En el Foro de Laureados de Heidelberg de 2018 , afirmó haber resuelto la hipótesis de Riemann , el octavo problema de Hilbert , por contradicción utilizando la constante de estructura fina . Una vez más, la prueba no se sostuvo y la hipótesis sigue siendo uno de los seis problemas del Premio del Milenio sin resolver en matemáticas, a partir de 2024. [121] [122]
Esta subsección enumera todos los libros escritos por Atiyah; omite algunos libros que editó.
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En 1966, cuando tenía treinta y siete años, fue galardonado con la Medalla Fields , [123] por su trabajo en el desarrollo de la teoría K, un teorema de punto fijo de Lefschetz generalizado y el teorema de Atiyah-Singer, por el que también ganó el Premio Abel junto con Isadore Singer en 2004. [124] Entre otros premios que ha recibido se encuentran la Medalla Real de la Royal Society en 1968, [125] la Medalla De Morgan de la London Mathematical Society en 1980, el Premio Antonio Feltrinelli de la Accademia Nazionale dei Lincei en 1981, el Premio Internacional Rey Faisal de Ciencias en 1987, [126] la Medalla Copley de la Royal Society en 1988, [127] la Medalla Benjamin Franklin por Logros Distinguidos en las Ciencias de la American Philosophical Society en 1993, [128] la Medalla del Centenario del Nacimiento de Jawaharlal Nehru de la Academia Nacional de Ciencias de la India en 1993, [129] la Medalla del Presidente del Instituto de Física en 2008, [130] la Grande Médaille de la Academia Francesa de Ciencias en 2010 [131] y el Gran Oficial de la Legión de Honor Francesa en 2011. [132]
Fue elegido miembro extranjero de la Academia Nacional de Ciencias , la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias (1969), [133] la Académie des Sciences , la Akademie Leopoldina , la Real Academia Sueca , la Real Academia Irlandesa , la Real Sociedad de Edimburgo , la Sociedad Filosófica Estadounidense , la Academia Nacional de Ciencias de la India , la Academia China de Ciencias , la Academia Australiana de Ciencias , la Academia Rusa de Ciencias , la Academia Ucraniana de Ciencias , la Academia Georgiana de Ciencias , la Academia de Ciencias de Venezuela, la Academia Noruega de Ciencias y Letras , la Real Academia Española de Ciencias , la Accademia dei Lincei y la Sociedad Matemática de Moscú . [8] [12] En 2012, se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Estadounidense . [134] También fue nombrado miembro honorario [135] de la Real Academia de Ingeniería [135] en 1993.
Atiyah recibió títulos honorarios de las universidades de Birmingham, Bonn, Chicago, Cambridge, Dublín, Durham, Edimburgo, Essex, Gante, Helsinki, Líbano, Leicester, Londres, México, Montreal, Oxford, Reading, Salamanca, St. Andrews, Sussex, Gales, Warwick, la Universidad Americana de Beirut, la Universidad Brown, la Universidad Charles de Praga, la Universidad de Harvard, la Universidad Heriot-Watt, Hong Kong (Universidad China), la Universidad de Keele, la Universidad Queen's (Canadá), la Universidad Abierta, la Universidad de Waterloo, la Universidad Wilfrid Laurier, la Universidad Técnica de Cataluña y la UMIST. [8] [12] [136] [137]
Atiyah fue nombrado Caballero Bachiller en 1983 [8] y miembro de la Orden del Mérito en 1992. [12]
El edificio Michael Atiyah [138] de la Universidad de Leicester y la Cátedra Michael Atiyah de Ciencias Matemáticas [139] de la Universidad Americana de Beirut llevan su nombre.
Atiyah se casó con Lily Brown el 30 de julio de 1955, con quien tuvo tres hijos: John, David y Robin. El hijo mayor de Atiyah, John, murió el 24 de junio de 2002 mientras estaba de vacaciones caminando por los Pirineos con su esposa Maj-Lis.
Lily Atiyah murió el 13 de marzo de 2018 a la edad de 90 años [4] [6] [8] mientras que Sir Michael Atiyah murió menos de un año después, el 11 de enero de 2019, a la edad de 89 años . [140] [141]
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