Cohomología equivariante

En matemáticas , la cohomología equivariante (o cohomología de Borel ) es una teoría de cohomología de la topología algebraica que se aplica a espacios topológicos con una acción de grupo . Puede considerarse como una generalización común de la cohomología de grupo y una teoría de cohomología ordinaria . En concreto, el anillo de cohomología equivariante de un espacio con acción de un grupo topológico se define como el anillo de cohomología ordinaria con anillo de coeficientes del cociente de homotopía : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle EG\times _{G}X}$

${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(EG\times _{G}X;\Lambda ).}$

Si es el grupo trivial , este es el anillo de cohomología ordinario de , mientras que si es contráctil , se reduce al anillo de cohomología del espacio de clasificación (es decir, la cohomología del grupo de cuando G es finito). Si G actúa libremente sobre X , entonces la función canónica es una equivalencia de homotopía y entonces se obtiene: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle EG\times _{G}X\to X/G}$ ${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(X/G;\Lambda ).}$

Definiciones

También es posible definir la cohomología equivariante de con coeficientes en un módulo A ; estos son grupos abelianos . Esta construcción es análoga a la cohomología con coeficientes locales. ${\displaystyle H_{G}^{*}(X;A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Si X es una variedad , G un grupo de Lie compacto y es el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos (la situación más típica), entonces la cohomología anterior se puede calcular utilizando el llamado modelo de Cartan (ver formas diferenciales equivariantes ). ${\displaystyle \Lambda }$

La construcción no debe confundirse con otras teorías de cohomología, como la cohomología de Bredon o la cohomología de formas diferenciales invariantes: si G es un grupo de Lie compacto, entonces, por el argumento de promedio ^{[ cita requerida ]} , cualquier forma puede hacerse invariante; por lo tanto, la cohomología de formas diferenciales invariantes no produce información nueva.

Se sabe que la dualidad de Koszul se cumple entre la cohomología equivariante y la cohomología ordinaria.

Relación con la cohomología de grupoides

Para un grupoide de Lie, la cohomología equivariante de una variedad suave ^[1] es un ejemplo especial de la cohomología de grupoide de un grupoide de Lie. Esto se debe a que dado un -espacio para un grupo de Lie compacto , existe un grupoide asociado ${\displaystyle {\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]}$

cuyos grupos de cohomología equivariantes se pueden calcular utilizando el complejo de Cartan , que es la totalización del complejo doble de-Rham del grupoide. Los términos en el complejo de Cartan son ${\displaystyle \Omega _{G}^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}}$

donde es el álgebra simétrica del álgebra dual de Lie del grupo de Lie y corresponde a las formas invariantes. Esta es una herramienta particularmente útil para calcular la cohomología de para un grupo de Lie compacto ya que esto se puede calcular como la cohomología de ${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (-)^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle [G\rightrightarrows *]}$

donde la acción es trivial en un punto. Entonces,

${\displaystyle H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ where }}\deg(t)=2\end{aligned}}}$

ya que la -acción en el álgebra de Lie dual es trivial. ${\displaystyle U(1)}$

Cociente de homotopía

El cociente de homotopía , también llamado espacio de órbita de homotopía o construcción de Borel , es una versión “homotópicamente correcta” del espacio de órbita (el cociente de por su -acción) en el que primero se reemplaza por un espacio más grande pero homotópicamente equivalente de modo que se garantiza que la acción sea libre . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Para ello, construyamos el fibrado universal EG → BG para G y recordemos que EG admite una G -acción libre . Entonces el producto EG × X —que es homotópicamente equivalente a X puesto que EG es contráctil— admite una G -acción “diagonal” definida por ( e , x ). g = ( eg , g ⁻¹ x ): además, esta acción diagonal es libre puesto que es libre sobre EG . Así pues, definimos el cociente de homotopía X _G como el espacio de órbitas ( EG × X )/ G de esta G -acción libre.

En otras palabras, el cociente de homotopía es el fibrado asociado de X sobre BG obtenido a partir de la acción de G sobre un espacio X y el fibrado principal EG → BG . Este fibrado X → X _G → BG se denomina fibración de Borel .

Un ejemplo de cociente de homotopía

El siguiente ejemplo es la Proposición 1 de [1].

Sea X una curva algebraica proyectiva compleja . Identificamos a X como un espacio topológico con el conjunto de los puntos complejos , que es una superficie de Riemann compacta . Sea G un grupo de Lie semisimple complejo simplemente conexo. Entonces cualquier fibrado G principal en X es isomorfo a un fibrado trivial, ya que el espacio de clasificación es 2-conexo y X tiene dimensión real 2. Fijemos algún fibrado G suave en X . Entonces cualquier fibrado G principal en es isomorfo a . En otras palabras, el conjunto de todas las clases de isomorfismo de pares que consisten en un fibrado G principal en X y una estructura analítica compleja en él se puede identificar con el conjunto de estructuras analíticas complejas en o equivalentemente el conjunto de conexiones holomorfas en X (ya que las conexiones son integrables por razones de dimensión). es un espacio afín complejo de dimensión infinita y, por lo tanto, es contráctil. ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle P_{\text{sm}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{\text{sm}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P_{\text{sm}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Sea el grupo de todos los automorfismos de (es decir, grupo de calibración ). Entonces el cociente de homotopía de por clasifica los G -fibrados principales analítico-complejos (o equivalentemente algebraicos) en X ; es decir, es precisamente el espacio de clasificación del grupo discreto . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle P_{\text{sm}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Se puede definir la pila de módulos de los fibrados principales como la pila de cocientes y entonces el cociente de homotopía es, por definición, el tipo de homotopía de . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle [\Omega /{\mathcal {G}}]}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Clases características equivariantes

Sea E un fibrado vectorial equivariante en una variedad G M . Da lugar a un fibrado vectorial en el cociente de homotopía de modo que retrocede hasta el fibrado en . Una clase característica equivariante de E es entonces una clase característica ordinaria de , que es un elemento de la compleción del anillo de cohomología . (Para aplicar la teoría de Chern–Weil , se utiliza una aproximación de dimensión finita de EG .) ${\displaystyle {\widetilde {E}}}$ ${\displaystyle EG\times _{G}M}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}=EG\times E}$ ${\displaystyle EG\times M}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}}$ ${\displaystyle H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)}$

Como alternativa, se puede definir primero una clase de Chern equivariante y luego definir otras clases características como polinomios invariantes de clases de Chern como en el caso ordinario; por ejemplo, la clase de Todd equivariante de un fibrado lineal equivariante es la función de Todd evaluada en la primera clase de Chern equivariante del fibrado. (Una clase de Todd equivariante de un fibrado lineal es una serie de potencias (no un polinomio como en el caso no equivariante) en la primera clase de Chern equivariante; por lo tanto, pertenece a la completitud del anillo de cohomología equivariante).

En el caso no equivariante, la primera clase de Chern puede verse como una biyección entre el conjunto de todas las clases de isomorfismo de fibrados lineales complejos en una variedad M y ^[2] En el caso equivariante, esto se traduce a: el primer Chern equivariante da una biyección entre el conjunto de todas las clases de isomorfismo de fibrados lineales complejos equivariantes y . ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

Teorema de localización

El teorema de localización es una de las herramientas más poderosas en la cohomología equivariante.

Véase también

• Forma diferencial equivariante
• Mapa de Kirwan
• Fórmula de localización para cohomología equivariante
• Variedad GKM
• Cohomología de Bredon

Notas

1. Behrend 2004
2. utilizando la cohomología de Čech y el isomorfismo dado por el mapa exponencial . ${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

Referencias

• Atiyah, Michael ; Bott, Raoul (1984), "El mapa de momentos y la cohomología equivariante", Topology , 23 : 1–28, doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
• Brion, M. (1998). "Cohomología equivariante y teoría de intersecciones equivariantes" (PDF) . Teorías de representación y geometría algebraica . Nato ASI Series. Vol. 514. Springer. págs. 1–37. arXiv : math/9802063 . doi :10.1007/978-94-015-9131-7_1. ISBN . 978-94-015-9131-7. Número de identificación  S2C14961018.
• Goresky, Mark ; Kottwitz, Robert ; MacPherson, Robert (1998), "Cohomología equivalente, dualidad de Koszul y teorema de localización", Inventiones Mathematicae , 131 : 25–83, CiteSeerX  10.1.1.42.6450 , doi :10.1007/s002220050197, S2CID  6006856
• Hsiang, Wu-Yi (1975). Teoría de cohomología de grupos de transformación topológica . Springer. doi :10.1007/978-3-642-66052-8. ISBN . 978-3-642-66052-8.
• Tu, Loring W. (marzo de 2011). "¿Qué es... la cohomología equivariante?" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 58 (3): 423–6. arXiv : 1305.4293 .

Relación con las pilas

• Behrend, K. (2004). "Cohomología de pilas" (PDF) . Teoría de intersecciones y módulos . ICTP Lecture Notes. Vol. 19. págs. 249–294. ISBN 9789295003286.La página 10 del PDF tiene el resultado principal con ejemplos.

Lectura adicional

• Guillemin, VW; Sternberg, S. (1999). Supersimetría y teoría de De Rham equivariante . Springer. doi :10.1007/978-3-662-03992-2. ISBN . 978-3-662-03992-2.
• Vergne, M.; Paycha, S. (1998). "Cohomologie équivariante et théoreme de Stokes" (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad Blaise Pascal.

Enlaces externos

• Meinrenken, E. (2006), "Cohomología equivariante y el modelo de Cartan" (PDF) , Enciclopedia de física matemática , págs. 242–250, ISBN 978-0-12-512666-3— Excelente artículo de investigación que describe los conceptos básicos de la teoría y los principales teoremas importantes.
• "Cohomología equivariante", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Young-Hoon Kiem (2008). "Introducción a la teoría de la cohomología equivariante" (PDF) . Universidad Nacional de Seúl.
• ¿Cuál es la cohomología equivariante de un grupo que actúa sobre sí mismo por conjugación?