En matemáticas , el invariante eta de un operador diferencial elíptico autoadjunto en una variedad compacta es formalmente el número de valores propios positivos menos el número de valores propios negativos. En la práctica, ambos números suelen ser infinitos, por lo que se definen utilizando la regularización de la función zeta . Fue introducida por Atiyah , Patodi y Singer (1973, 1975), quienes la utilizaron para extender el teorema de la signatura de Hirzebruch a variedades con borde. El nombre proviene del hecho de que es una generalización de la función eta de Dirichlet .
Posteriormente también utilizaron el invariante eta de un operador autoadjunto para definir el invariante eta de una variedad compacta y suave de dimensión impar.
Michael Francis Atiyah , H. Donnelly e IM Singer (1983) definieron el defecto característico del límite de una variedad como el invariante eta y lo utilizaron para demostrar que el defecto característico de Hirzebruch de una cúspide de una superficie modular de Hilbert se puede expresar en términos del valor en s = 0 o 1 de una función L de Shimizu .
El invariante eta del operador autoadjunto A está dado por η A (0), donde η es la continuación analítica de
y la suma es sobre los valores propios distintos de cero λ de A .
