Arquímedes de Siracusa ( / ˌ ɑːr k ɪ ˈ m iː d iː z / , ARK -ihm- EE -deez ; [2] [a] c. 287 – c. 212 a. C. ) fue un matemático , físico e ingeniero griego antiguo . astrónomo e inventor de la antigua ciudad de Siracusa en Sicilia . [3] Aunque se conocen pocos detalles de su vida, se le considera uno de los principales científicos de la antigüedad clásica . Considerado el mayor matemático de la historia antigua y uno de los más grandes de todos los tiempos, [4] Arquímedes anticipó el cálculo y el análisis modernos aplicando el concepto de lo infinitamente pequeño y el método de agotamiento para derivar y demostrar rigurosamente una variedad de teoremas geométricos . [5] [6] Estos incluyen el área de un círculo , el área de la superficie y el volumen de una esfera , el área de una elipse , el área bajo una parábola , el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución , el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución , y el área de una espiral . [7] [8]
Otros logros matemáticos de Arquímedes incluyen derivar una aproximación de pi , definir e investigar la espiral de Arquímedes e idear un sistema que utiliza la exponenciación para expresar números muy grandes . También fue uno de los primeros en aplicar las matemáticas a los fenómenos físicos , trabajando en estática e hidrostática . Los logros de Arquímedes en esta área incluyen una prueba de la ley de la palanca , [9] el uso generalizado del concepto de centro de gravedad , [10] y la enunciación de la ley de flotabilidad conocida como principio de Arquímedes . [11] También se le atribuye el diseño de máquinas innovadoras , como su bomba de tornillo , poleas compuestas y máquinas de guerra defensivas para proteger su Siracusa natal de la invasión.
Arquímedes murió durante el asedio de Siracusa , cuando fue asesinado por un soldado romano a pesar de las órdenes de que no sufriera daño. Cicerón describe la visita a la tumba de Arquímedes, que estaba coronada por una esfera y un cilindro que Arquímedes pidió que se colocaran allí para representar sus descubrimientos matemáticos.
A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes eran poco conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y citaron, pero la primera compilación exhaustiva no se hizo hasta c. 530 d.C. por Isidoro de Mileto en la Constantinopla bizantina , mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes realizados por Eutocio en el siglo VI las abrieron a un público más amplio por primera vez. Las relativamente pocas copias de la obra escrita de Arquímedes que sobrevivieron a lo largo de la Edad Media fueron una fuente influyente de ideas para los científicos durante el Renacimiento y nuevamente en el siglo XVII , [12] [13] mientras que el descubrimiento en 1906 de obras de Arquímedes previamente perdidas en el Palimpsesto de Arquímedes ha proporcionado nuevos conocimientos sobre cómo obtuvo resultados matemáticos. [14] [15] [16] [17]
Arquímedes nació c. 287 a. C. en la ciudad portuaria de Siracusa , Sicilia , en ese momento una colonia autónoma en la Magna Grecia . La fecha de nacimiento se basa en una declaración del erudito griego bizantino Juan Tzetzes de que Arquímedes vivió 75 años antes de su muerte en el 212 a.C. [8] En Sand-Reckoner , Arquímedes da el nombre de su padre como Fidias, un astrónomo del que no se sabe nada más. [18] Su amigo Heraclides escribió una biografía de Arquímedes, pero esta obra se ha perdido, dejando oscuros los detalles de su vida. Se desconoce, por ejemplo, si alguna vez se casó o tuvo hijos, o si alguna vez visitó Alejandría , Egipto, durante su juventud. [19] De sus obras escritas supervivientes, queda claro que mantuvo relaciones colegiadas con eruditos radicados allí, incluido su amigo Conón de Samos y el bibliotecario jefe Eratóstenes de Cirene . [b]
Las versiones estándar de la vida de Arquímedes fueron escritas mucho después de su muerte por historiadores griegos y romanos. La primera referencia a Arquímedes aparece en Las Historias de Polibio ( c. 200-118 a. C.), escritas unos 70 años después de su muerte. Arroja poca luz sobre Arquímedes como persona y se centra en las máquinas de guerra que se dice que construyó para defender la ciudad de los romanos. [20] Polibio comenta cómo, durante la Segunda Guerra Púnica , Siracusa cambió su lealtad de Roma a Cartago , lo que resultó en una campaña militar bajo el mando de Marco Claudio Marcelo y Apio Claudio Pulcro , quienes sitiaron la ciudad del 213 al 212 a.C. Señala que los romanos subestimaron las defensas de Siracusa y menciona varias máquinas que Arquímedes diseñó, incluidas catapultas mejoradas , máquinas parecidas a grúas que podían girar en arco y otros lanzadores de piedras . Aunque los romanos finalmente capturaron la ciudad, sufrieron pérdidas considerables debido a la inventiva de Arquímedes. [21]
Cicerón (106-43 a. C.) menciona a Arquímedes en algunas de sus obras. Mientras servía como cuestor en Sicilia, Cicerón encontró lo que se suponía era la tumba de Arquímedes cerca de la puerta Agrigentina en Siracusa, en un estado descuidado y cubierto de arbustos. Cicerón hizo limpiar la tumba y pudo ver la talla y leer algunos de los versos que se habían agregado como inscripción. La tumba llevaba una escultura que ilustraba la prueba matemática favorita de Arquímedes : que el volumen y la superficie de la esfera son dos tercios de los de un cilindro circundante, incluidas sus bases. [22] [23] También menciona que Marcelo trajo a Roma dos planetarios que construyó Arquímedes. [24] El historiador romano Livio (59 a. C.-17 d. C.) vuelve a contar la historia de Polibio sobre la captura de Siracusa y el papel de Arquímedes en ella. [20]
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Plutarco (45-119 d. C.) escribió en sus Vidas paralelas que Arquímedes estaba relacionado con el rey Hierón II , gobernante de Siracusa. [26] También proporciona al menos dos relatos sobre cómo murió Arquímedes después de la toma de la ciudad. Según el relato más popular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando la ciudad fue capturada. Un soldado romano le ordenó que fuera a encontrarse con Marcelo, pero él se negó, diciendo que tenía que terminar de trabajar en el problema. Esto enfureció al soldado, que mató a Arquímedes con su espada. Otra historia cuenta que Arquímedes llevaba instrumentos matemáticos antes de ser asesinado porque un soldado pensó que eran objetos valiosos. Según se informa, Marcelo estaba enojado por la muerte de Arquímedes, ya que lo consideraba un activo científico valioso (llamó a Arquímedes "un Briareo geométrico ") y había ordenado que no sufriera daño. [27] [28]
Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes son " No perturbes mis círculos " ( latín , " Noli turbare circulos meos "; griego Katharevousa , "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε"), una referencia al dibujo matemático que supuestamente estaba estudiando cuando fue molestado por el soldado romano. No hay evidencia confiable de que Arquímedes haya pronunciado estas palabras y no aparecen en el relato de Plutarco. Una cita similar se encuentra en la obra de Valerius Maximus (fl. 30 d.C.), quien escribió en Memorable Doings and Sayings , " ... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare' " (.. . pero protegiéndose el polvo con las manos, dijo 'Te lo ruego, no turbes esto ' "). [20]
La anécdota más conocida sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto de forma irregular. Según Vitruvio , se hizo una corona para un templo para el rey Hierón II de Siracusa , quien suministró el oro puro para su uso. La corona probablemente tenía la forma de una corona votiva . [29] Se pidió a Arquímedes que determinara si el orfebre había sustituido algo de plata sin dañar la corona, por lo que no pudo fundirla en un cuerpo de forma regular para calcular su densidad . [30]
En este relato, Arquímedes notó mientras se bañaba que el nivel del agua de la tina subía al entrar, y se dio cuenta de que este efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona de oro . Arquímedes estaba tan emocionado por este descubrimiento que salió a la calle desnudo, olvidándose de vestirse, gritando "¡ Eureka !" ( griego : "εὕρηκα , heúrēka !, iluminado. '¡Lo he encontrado!'). A efectos prácticos, el agua es incompresible, [31] por lo que la corona sumergida desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir Al calcular la masa de la corona por el volumen de agua desplazada se podía obtener su densidad, si se hubieran añadido metales más baratos y menos densos, la densidad sería menor que la del oro, Arquímedes comprobó que esto era lo que había sucedido, demostrando que la plata había sido mezclado. [29] [30]
La historia de la corona de oro no aparece en ninguna parte de las obras conocidas de Arquímedes. La practicidad del método descrito ha sido puesta en duda debido a la extrema precisión que se requeriría para medir el desplazamiento del agua . [32] Arquímedes pudo haber buscado en cambio una solución que aplicara el principio hidrostático conocido como principio de Arquímedes , que se encuentra en su tratado Sobre los cuerpos flotantes : un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación igual al peso del fluido que desplaza. [33] Utilizando este principio, habría sido posible comparar la densidad de la corona con la del oro puro equilibrándola en una balanza con una muestra de referencia de oro puro del mismo peso y luego sumergiendo el aparato en agua. La diferencia de densidad entre las dos muestras haría que la balanza se inclinara en consecuencia. [11] Galileo Galilei , quien inventó una balanza hidrostática en 1586 inspirado en la obra de Arquímedes, consideró "probable que este método sea el mismo que siguió Arquímedes, ya que, además de ser muy preciso, se basa en demostraciones encontradas por el propio Arquímedes. " [34] [35]
Si bien Arquímedes no inventó la palanca , dio una prueba matemática del principio involucrado en su obra Sobre el equilibrio de los planos . [36] Descripciones anteriores del principio de la palanca se encuentran en una obra de Euclides y en los Problemas mecánicos , pertenecientes a la escuela peripatética de los seguidores de Aristóteles , cuya autoría ha sido atribuida por algunos a Arquitas . [37] [38]
Hay varios informes, a menudo contradictorios, sobre las hazañas de Arquímedes al utilizar la palanca para levantar objetos muy pesados. Plutarco describe cómo Arquímedes diseñó sistemas de poleas con aparejos y bloques , que permitían a los marineros utilizar el principio de palanca para levantar objetos que de otro modo habrían sido demasiado pesados para moverlos. [39] Según Pappus de Alejandría , el trabajo de Arquímedes con las palancas y su comprensión de la ventaja mecánica le hicieron comentar: "Dadme un lugar donde pararme y moveré la Tierra" ( griego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ). [40] Olimpiodoro atribuyó más tarde el mismo alarde a la invención de Arquímedes del baroulkos , una especie de torno , en lugar de la palanca. [41]
Gran parte del trabajo de Arquímedes en ingeniería probablemente surgió para satisfacer las necesidades de su ciudad natal, Siracusa . Ateneo de Naucratis cita a un tal Moschion en una descripción de cómo el rey Hierón II encargó el diseño de un enorme barco, el Siracusia , que podría utilizarse para viajes de lujo, transporte de suministros y como demostración de poder naval . [42] Se dice que el Syracusia fue el barco más grande construido en la antigüedad clásica y, según el relato de Moschion, fue botado por Arquímedes. [41] El barco presumiblemente tenía capacidad para transportar 600 personas e incluía decoraciones de jardín, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita entre sus instalaciones. [43] El relato también menciona que, para eliminar cualquier posible fuga de agua a través del casco, Arquímedes diseñó un dispositivo con una hoja giratoria en forma de tornillo dentro de un cilindro.
El tornillo de Arquímedes se hacía girar a mano y también podía usarse para transferir agua desde una masa de agua baja a canales de riego. El tornillo todavía se utiliza hoy en día para bombear líquidos y sólidos granulados como carbón y cereales. Descrito por Vitruvio , el dispositivo de Arquímedes puede haber sido una mejora de una bomba de tornillo que se utilizaba para irrigar los Jardines Colgantes de Babilonia . [44] [45] El primer barco de vapor del mundo con una hélice de tornillo fue el SS Archimedes , que fue botado en 1839 y recibió su nombre en honor a Arquímedes y su trabajo en el tornillo. [46]
Se dice que Arquímedes diseñó una garra como arma para defender la ciudad de Siracusa. También conocido como "En el sacudidor de barcos , la garra consistía en un brazo parecido a una grúa del cual se suspendía un gran gancho de metal . Cuando la garra se dejaba caer sobre un barco atacante, el brazo se balanceaba hacia arriba, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundiéndolo. [47 ]
Se han realizado experimentos modernos para probar la viabilidad de la garra, y en 2005 un documental de televisión titulado Superweapons of the Ancient World construyó una versión de la garra y concluyó que era un dispositivo viable. [48] A Arquímedes también se le atribuye la mejora del poder y la precisión de la catapulta , y la invención del odómetro durante la Primera Guerra Púnica . El odómetro se describió como un carro con un mecanismo de engranajes que dejaba caer una bola en un contenedor después de cada milla recorrida. [49]
Arquímedes pudo haber escrito una obra sobre espejos titulada Catoptrica , [c] y autores posteriores creyeron que podría haber usado espejos que actuaban colectivamente como un reflector parabólico para quemar barcos que atacaban Siracusa. Luciano escribió, en el siglo II d.C., que durante el asedio de Siracusa Arquímedes destruyó a fuego los barcos enemigos. Casi cuatrocientos años después, Antemio de Tralles menciona, algo vacilante, que Arquímedes podría haber utilizado lentes ardientes como arma. [50]
A menudo llamado el "Rayo de calor de Arquímedes ", la supuesta disposición de espejos centró la luz solar en los barcos que se acercaban, presumiblemente provocando que se incendiaran. En la era moderna, se han construido dispositivos similares que pueden denominarse heliostato u horno solar . [51]
El supuesto rayo de calor de Arquímedes ha sido objeto de un debate continuo sobre su credibilidad desde el Renacimiento . René Descartes lo rechazó como falso, mientras que los investigadores modernos han intentado recrear el efecto utilizando sólo los medios que habrían estado disponibles para Arquímedes, en su mayoría con resultados negativos. [52] [53] Se ha sugerido que se podría haber empleado una gran variedad de escudos de bronce o cobre altamente pulidos que actúan como espejos para enfocar la luz solar en un barco, pero el efecto general habría sido cegado, deslumbrado o distraído a la tripulación. del barco en lugar de fuego. [54]
Arquímedes analiza las mediciones astronómicas de la Tierra, el Sol y la Luna, así como el modelo heliocéntrico del universo de Aristarco , en Sand-Reckoner . Sin el uso de trigonometría ni de una tabla de cuerdas, Arquímedes determina el diámetro aparente del Sol describiendo primero el procedimiento y el instrumento utilizado para realizar las observaciones (una varilla recta con clavijas o ranuras), [55] [ 56 ] aplicando factores de corrección a estos mediciones y, finalmente, dar el resultado en forma de límites superior e inferior para tener en cuenta el error de observación. [18] Ptolomeo , citando a Hiparco, también hace referencia a las observaciones del solsticio de Arquímedes en el Almagesto . Esto convertiría a Arquímedes en el primer griego conocido que registró múltiples fechas y horas de solsticios en años sucesivos. [19]
De re publica de Cicerón retrata una conversación ficticia que tuvo lugar en el año 129 a.C. Después de la captura de Siracusa en la Segunda Guerra Púnica , se dice que Marcelo llevó a Roma dos mecanismos construidos por Arquímedes y que mostraban el movimiento del Sol, la Luna y cinco planetas. Cicerón también menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto y Eudoxo de Cnido . El diálogo dice que Marcelo se quedó con uno de los dispositivos como su único botín personal de Siracusa y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. El mecanismo de Marcelo fue demostrado, según Cicerón, por Cayo Sulpicio Galo a Lucio Furio Filo , quien lo describió así: [57] [58]
Esta es una descripción de un pequeño planetario . Pappus de Alejandría informa sobre un tratado ahora perdido de Arquímedes que trata sobre la construcción de estos mecanismos titulado Sobre la creación de esferas . [24] [59] La investigación moderna en esta área se ha centrado en el mecanismo de Antikythera , otro dispositivo construido c. 100 aC probablemente diseñado con un propósito similar. [60] La construcción de mecanismos de este tipo habría requerido un conocimiento sofisticado del engranaje diferencial . [61] Alguna vez se pensó que esto estaba más allá del alcance de la tecnología disponible en la antigüedad, pero el descubrimiento del mecanismo de Antikythera en 1902 ha confirmado que los antiguos griegos conocían dispositivos de este tipo. [62] [63]
Si bien a menudo se le considera un diseñador de dispositivos mecánicos, Arquímedes también hizo contribuciones al campo de las matemáticas . Plutarco escribió que Arquímedes "puso todo su afecto y ambición en aquellas especulaciones más puras donde no puede haber referencia a las necesidades vulgares de la vida", [27] aunque algunos estudiosos creen que esto puede ser una caracterización errónea. [64] [65] [66]
Arquímedes pudo utilizar los indivisibles (un precursor de los infinitesimales ) de una manera similar al cálculo integral moderno . [5] A través de la prueba por contradicción ( reductio ad absurdum ), podía dar respuestas a los problemas con un grado arbitrario de precisión, al tiempo que especificaba los límites dentro de los cuales se encontraba la respuesta. Esta técnica se conoce como método de agotamiento y la empleó para aproximar las áreas de figuras y el valor de π .
En Medición de un círculo , hizo esto dibujando un hexágono regular más grande fuera de un círculo y luego un hexágono regular más pequeño dentro del círculo, y duplicando progresivamente el número de lados de cada polígono regular , calculando la longitud de un lado de cada polígono en cada paso. A medida que aumenta el número de lados, se vuelve una aproximación más precisa de un círculo. Después de cuatro de estos pasos, cuando los polígonos tenían 96 lados cada uno, pudo determinar que el valor de π estaba entre 31/7(aprox. 3,1429) y 310/71(aprox. 3,1408), consistente con su valor real de aproximadamente 3,1416. [67] También demostró que el área de un círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo ( ).
En Sobre la esfera y el cilindro , Arquímedes postula que cualquier magnitud, cuando se suma a sí misma suficientes veces, excederá cualquier magnitud dada. Hoy en día esto se conoce como propiedad de Arquímedes de los números reales. [68]
Arquímedes da el valor de la raíz cuadrada de 3 entre265/153(aproximadamente 1,7320261) y1351/780(aproximadamente 1,7320512) en Medición de un círculo . El valor real es aproximadamente 1,7320508, lo que lo convierte en una estimación muy precisa. Presentó este resultado sin ofrecer ninguna explicación de cómo lo había obtenido. Este aspecto de la obra de Arquímedes hizo que John Wallis comentara que él era: "como si tuviera un propósito determinado de haber encubierto las huellas de su investigación, como si hubiera guardado rencor a la posteridad por el secreto de su método de investigación mientras deseaba extorsionar a la posteridad". de ellos asienten a sus resultados." [69] Es posible que haya utilizado un procedimiento iterativo para calcular estos valores. [70] [71]
En Cuadratura de la parábola , Arquímedes demostró que el área encerrada por una parábola y una línea recta es4/3veces el área de un triángulo inscrito correspondiente como se muestra en la figura de la derecha. Expresó la solución al problema como una serie geométrica infinita con la razón común 1/4:
Si el primer término de esta serie es el área del triángulo, entonces el segundo es la suma de las áreas de dos triángulos cuyas bases son las dos rectas secantes más pequeñas , y cuyo tercer vértice es donde se encuentra la recta paralela al eje de la parábola. y que pasa por el punto medio de la base corta a la parábola, y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación de la serie 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que suma 1/3.
En The Sand Reckoner , Arquímedes se propuso calcular un número mayor que los granos de arena necesarios para llenar el universo. Al hacerlo, cuestionó la idea de que la cantidad de granos de arena era demasiado grande para contarlos. El escribio:
Hay algunos, rey Gelón , que piensan que el número de la arena es infinito en multitud; y por arena me refiero no sólo a la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también a la que se encuentra en todas las regiones, habitadas o deshabitadas.
Para solucionar el problema, Arquímedes ideó un sistema de conteo basado en la miríada . La palabra en sí deriva del griego μυριάς , murias , para el número 10.000. Propuso un sistema numérico utilizando potencias de una miríada de miríadas (100 millones, es decir, 10.000 x 10.000) y concluyó que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo sería 8 vigintillones , o 8 × 1063 . [72]
Las obras de Arquímedes fueron escritas en griego dórico , el dialecto de la antigua Siracusa. [73] Muchas obras escritas de Arquímedes no han sobrevivido o sólo se conservan en fragmentos muy editados; Se sabe que existieron al menos siete de sus tratados debido a referencias hechas por otros autores. [8] Pappus de Alejandría menciona Sobre la creación de esferas y otro trabajo sobre poliedros , mientras que Teón de Alejandría cita un comentario sobre la refracción de la ahora perdida Catoptrica . [C]
Arquímedes dio a conocer su trabajo a través de correspondencia con los matemáticos de Alejandría . Los escritos de Arquímedes fueron recopilados por primera vez por el arquitecto griego bizantino Isidoro de Mileto ( c. 530 d. C. ), mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI d. C. ayudaron a que su obra llegara a un público más amplio. La obra de Arquímedes fue traducida al árabe por Thābit ibn Qurra (836-901 d. C.) y al latín a través del árabe por Gerardo de Cremona (c. 1114-1187). Posteriormente , Guillermo de Moerbeke (c. 1215-1286) e Iacobus Cremonensis (c. 1400-1453) realizaron traducciones directas del griego al latín . [74] [75]
Durante el Renacimiento , la Editio princeps (Primera edición) fue publicada en Basilea en 1544 por Johann Herwagen con las obras de Arquímedes en griego y latín. [76]
Los siguientes están ordenados cronológicamente con base en nuevos criterios terminológicos e históricos establecidos por Knorr (1978) y Sato (1986). [77] [78]
Este es un trabajo breve que consta de tres proposiciones. Está escrito en forma de correspondencia con Dositeo de Pelusio, que fue alumno de Conón de Samos . En la Proposición II, Arquímedes da una aproximación del valor de pi ( π ), mostrando que es mayor que223/71y menos que22/7.
En este tratado, también conocido como Psammitas , Arquímedes encuentra un número que es mayor que los granos de arena necesarios para llenar el universo. Este libro menciona la teoría heliocéntrica del sistema solar propuesta por Aristarco de Samos , así como ideas contemporáneas sobre el tamaño de la Tierra y la distancia entre varios cuerpos celestes . Utilizando un sistema numérico basado en potencias de miríada , Arquímedes concluye que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo es 8 × 1063 en notación moderna. La carta de presentación afirma que el padre de Arquímedes era un astrónomo llamado Fidias. The Sand Reckoner es la única obra que se conserva en la que Arquímedes analiza sus puntos de vista sobre la astronomía. [79]
Hay dos libros sobre Sobre el equilibrio de los planos : el primero contiene siete postulados y quince proposiciones , mientras que el segundo libro contiene diez proposiciones. En el primer libro, Arquímedes demuestra la ley de la palanca , que establece que:
Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos.
Arquímedes utiliza los principios derivados para calcular las áreas y centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluidos triángulos , paralelogramos y parábolas . [80]
En esta obra de 24 proposiciones dirigida a Dositheus, Arquímedes demuestra por dos métodos que el área encerrada por una parábola y una recta es 4/3 del área de un triángulo de igual base y altura. Lo logra en una de sus pruebas calculando el valor de una serie geométrica que suma infinito con la proporción 1/4.
En este tratado en dos volúmenes dirigido a Dositeo, Arquímedes obtiene el resultado del que estaba más orgulloso, a saber, la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito de la misma altura y diámetro . El volumen es4/3π r 3 para la esfera y 2 π r 3 para el cilindro. El área de la superficie es 4 π r 2 para la esfera y 6 π r 2 para el cilindro (incluidas sus dos bases), donde r es el radio de la esfera y el cilindro.
Esta obra de 28 proposiciones también está dirigida a Dositeo. El tratado define lo que hoy se llama espiral de Arquímedes . Es el lugar geométrico de los puntos correspondientes a las ubicaciones en el tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante . De manera equivalente, en coordenadas polares modernas ( r , θ ), se puede describir mediante la ecuación con números reales a y b .
Este es un ejemplo temprano de curva mecánica (una curva trazada por un punto en movimiento ) considerada por un matemático griego.
Se trata de una obra en 32 proposiciones dirigidas a Dositeo. En este tratado Arquímedes calcula las áreas y volúmenes de secciones de conos , esferas y paraboloides.
Hay dos libros de Sobre los cuerpos flotantes . En el primer libro, Arquímedes explica la ley del equilibrio de los fluidos y demuestra que el agua adoptará una forma esférica alrededor de un centro de gravedad. Esto puede haber sido un intento de explicar la teoría de los astrónomos griegos contemporáneos como Eratóstenes de que la Tierra es redonda. Los fluidos descritos por Arquímedes no son autogravitantes ya que asume la existencia de un punto hacia el cual caen todas las cosas para derivar la forma esférica. El principio de flotabilidad de Arquímedes se da en este trabajo, expresado de la siguiente manera:
Cualquier cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta un empuje ascendente igual, pero en dirección opuesta, al peso del fluido desplazado.
En la segunda parte calcula las posiciones de equilibrio de secciones de paraboloides. Probablemente se trataba de una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base bajo el agua y la cima sobre el agua, de forma similar a como flotan los icebergs.
También conocido como Lóculo de Arquímedes o Caja de Arquímedes , [81] se trata de un rompecabezas de disección similar a un Tangram , y el tratado que lo describe se encontró en forma más completa en el Palimpsesto de Arquímedes . Arquímedes calcula las áreas de las 14 piezas que se pueden ensamblar para formar un cuadrado . Reviel Netz, de la Universidad de Stanford , argumentó en 2003 que Arquímedes estaba intentando determinar de cuántas maneras se podían ensamblar las piezas para formar un cuadrado. Netz calcula que las piezas se pueden convertir en un cuadrado de 17.152 maneras. [82] El número de disposiciones es 536 cuando se excluyen las soluciones que son equivalentes por rotación y reflexión. [83] El rompecabezas representa un ejemplo de un problema temprano en combinatoria .
El origen del nombre del rompecabezas no está claro y se ha sugerido que proviene de la palabra griega antigua para "garganta", estómagos ( στόμαχος ). [84] Ausonio llama al rompecabezas Ostomachion , una palabra compuesta griega formada a partir de las raíces de osteon ( ὀστέον , 'hueso') y machē ( μάχη , 'lucha'). [81]
Gotthold Ephraim Lessing descubrió esta obra en un manuscrito griego que consta de un poema de 44 versos en la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel , Alemania, en 1773. Está dirigido a Eratóstenes y los matemáticos de Alejandría. Arquímedes los desafía a contar el número de ganado en el Rebaño del Sol resolviendo una serie de ecuaciones diofánticas simultáneas . Existe una versión más difícil del problema en la que se requiere que algunas de las respuestas sean números cuadrados . A. Amthor resolvió por primera vez esta versión del problema [85] en 1880, y la respuesta es un número muy grande , aproximadamente 7,760271 × 10206 544 . [86]
Este tratado se pensó perdido hasta el descubrimiento del Palimpsesto de Arquímedes en 1906. En este trabajo, Arquímedes usa indivisibles , [5] [6] y muestra cómo dividir una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas se puede usar para determinar su área. o volumen. Es posible que considerara que este método carecía de rigor formal, por lo que también utilizó el método de agotamiento para derivar los resultados. Al igual que El problema del ganado , El método de los teoremas mecánicos se escribió en forma de carta a Eratóstenes en Alejandría .
El Libro de Lemas o Liber Assumptorum de Arquímedes es un tratado con 15 proposiciones sobre la naturaleza de los círculos. La copia más antigua conocida del texto está en árabe . TL Heath y Marshall Clagett argumentaron que no puede haber sido escrito por Arquímedes en su forma actual, ya que cita a Arquímedes, sugiriendo una modificación por parte de otro autor. Los Lemas pueden estar basados en una obra anterior de Arquímedes que ahora está perdida. [87]
También se ha afirmado que Arquímedes conocía la fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados, [d] aunque su primera aparición se encuentra en la obra de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. [88] Otras atribuciones cuestionables a la obra de Arquímedes incluyen el poema latino Carmen de ponderibus et mensuris (siglo IV o V), que describe el uso de una balanza hidrostática para resolver el problema de la corona, y el texto Mappae del siglo XII. clavícula , que contiene instrucciones sobre cómo realizar ensayos de metales calculando sus gravedades específicas. [89] [90]
El documento más importante que contiene la obra de Arquímedes es el Palimpsesto de Arquímedes. En 1906, el profesor danés Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla para examinar un pergamino de oraciones de piel de cabra de 174 páginas , escrito en el siglo XIII, después de leer una breve transcripción publicada siete años antes por Papadopoulos-Kerameus . [91] [92] Confirmó que efectivamente se trataba de un palimpsesto , un documento con texto que había sido escrito sobre una obra anterior borrada. Los palimpsestos se creaban raspando la tinta de obras existentes y reutilizándolas, una práctica común en la Edad Media, ya que la vitela era cara. Los eruditos identificaron las obras más antiguas del palimpsesto como copias del siglo X de tratados de Arquímedes previamente perdidos. [91] [93] El pergamino pasó cientos de años en la biblioteca de un monasterio en Constantinopla antes de ser vendido a un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998, se vendió en una subasta a un comprador anónimo por 2 millones de dólares. [94]
El palimpsesto contiene siete tratados, incluida la única copia superviviente de Sobre los cuerpos flotantes en griego original. Es la única fuente conocida del Método de los Teoremas Mecánicos , al que hace referencia Suidas y que se cree que se perdió para siempre. Stomachion también fue descubierto en el palimpsesto, con un análisis del rompecabezas más completo que el que se había encontrado en textos anteriores. El palimpsesto se almacenó en el Museo de Arte Walters en Baltimore , Maryland , donde fue sometido a una serie de pruebas modernas, incluido el uso de luz ultravioleta y de rayos X para leer el texto sobrescrito. [95] Desde entonces ha regresado a su propietario anónimo. [96] [97]
Los tratados del Palimpsesto de Arquímedes incluyen:
A veces llamado el padre de las matemáticas y la física matemática , Arquímedes tuvo una amplia influencia en las matemáticas y las ciencias. [98]
Los historiadores de la ciencia y las matemáticas coinciden casi universalmente en que Arquímedes fue el mejor matemático de la antigüedad. Eric Temple Bell , por ejemplo, escribió:
Cualquier lista de los tres “más grandes” matemáticos de toda la historia incluiría el nombre de Arquímedes. Los otros dos que suelen asociarse con él son Newton y Gauss . Algunos, considerando la riqueza relativa (o pobreza) de las matemáticas y las ciencias físicas en las respectivas épocas en que vivieron estos gigantes, y estimando sus logros en el contexto de sus tiempos, pondrían a Arquímedes en primer lugar. [99]
Asimismo, Alfred North Whitehead y George F. Simmons dijeron de Arquímedes:
...en el año 1500 Europa sabía menos que Arquímedes quien murió en el año 212 a.C.... [100]
Si consideramos lo que todos los demás hombres lograron en matemáticas y física, en todos los continentes y en todas las civilizaciones, desde el principio de los tiempos hasta el siglo XVII en Europa occidental, los logros de Arquímedes pesan más que todo. Él era una gran civilización por sí solo. [101]
Reviel Netz , profesor Suppes de Matemáticas y Astronomía griegas en la Universidad de Stanford y experto en Arquímedes, señala:
Y así, dado que Arquímedes condujo más que nadie a la formación del cálculo y fue el pionero de la aplicación de las matemáticas al mundo físico, resulta que la ciencia occidental no es más que una serie de notas a pie de página de Arquímedes. Así, resulta que Arquímedes es el científico más importante que jamás haya existido. [102]
Leonardo da Vinci expresó repetidamente su admiración por Arquímedes y atribuyó su invento Architonnerre a Arquímedes. [103] [104] [105] Galileo lo llamó "sobrehumano" y "mi maestro", [106] [107] mientras que Huygens dijo: "Creo que Arquímedes no es comparable a nadie", emulándolo conscientemente en sus primeros trabajos. [108] Leibniz dijo: "Quien comprenda a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de los hombres más destacados de épocas posteriores". [109] Los héroes de Gauss fueron Arquímedes y Newton, [110] y Moritz Cantor , que estudió con Gauss en la Universidad de Göttingen , informó que una vez comentó en una conversación que "sólo había habido tres matemáticos que hicieron época: Arquímedes, Newton , y Eisenstein ”. [111]
El inventor Nikola Tesla lo elogió diciendo:
Arquímedes era mi ideal. Admiraba las obras de los artistas, pero en mi opinión eran sólo sombras y apariencias. El inventor, pensé, da al mundo creaciones palpables, que viven y funcionan. [112]
Hay un cráter en la Luna llamado Arquímedes ( 29°42′N 4°00′W / 29.7°N 4.0°W / 29.7; -4.0 ) en su honor, así como una cadena montañosa lunar , los Montes Arquímedes ( 25°18′N 4°36′W / 25,3°N 4,6°W / 25,3; -4,6 ). [113]
La Medalla Fields por logros sobresalientes en matemáticas lleva un retrato de Arquímedes, junto con una talla que ilustra su prueba en la esfera y el cilindro. La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida al poeta Manilius del siglo I d. C. , que dice en latín: Transire suum pectus mundoque potiri ("Elévate por encima de ti mismo y domina el mundo"). [114] [115] [116]
Arquímedes ha aparecido en sellos postales emitidos por Alemania del Este (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) y España (1963). [117]
La exclamación de ¡ Eureka! Atribuido a Arquímedes es el lema del estado de California . En este caso, la palabra se refiere al descubrimiento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848, lo que provocó la fiebre del oro de California . [118]
"Sin duda, Pappus menciona dos veces el teorema de la tangente a la espiral [IV, 36, 54]. Pero en ambos casos el problema es el uso inapropiado por parte de Arquímedes de una 'neusis sólida', es decir, de una construcción que involucra las secciones de sólidos, en la solución de un problema plano. Sin embargo, la propia resolución de Pappus de la dificultad [IV, 54] es, según su propia clasificación, un método 'sólido', ya que hace uso de secciones cónicas ". (pág. 48)
Arquímedes está en la mayoría de las listas de los más grandes matemáticos de todos los tiempos y es considerado el más grande matemático de la antigüedad.
Poco después de Euclides, compilador del libro de texto definitivo, llegó Arquímedes de Siracusa (ca. 287-212 a. C.), el matemático más original y profundo de la antigüedad.
Podría decirse que Arquímedes es el mayor matemático de la antigüedad.
Arquímedes fue el mayor matemático de la antigüedad y uno de los más grandes de todos los tiempos.
Arquímedes, el mayor matemático de la antigüedad
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ){{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )Finalmente, llenando de nuevo el recipiente y dejando caer la corona en la misma cantidad de agua, encontró que por la corona corría más agua que por la masa de oro del mismo peso. Por lo tanto, razonando que se perdía más agua en el caso de la corona que en el de la masa, detectó la mezcla de plata con oro, y dejó perfectamente claro el robo del contratista.
Postea vero repleto vase in eadem aqua ipsa corona demissa, invenit plus aquae defluxisse in coronam, quàm in auream eodem pondere massam, et ita ex eo, quod plus defluxerat aquae in corona, quàm in massa, ratiocinatus, deprehendit argenti in auro mixtionem, et manifiesto furtum redemptoris.
Pero incluso antes de Hiparco, Arquímedes había descrito un instrumento similar en su Sand-Reckoner.
Pappus de Alejandría ofrece una descripción más completa del mismo tipo de instrumento... La figura 30 está basada en Arquímedes y Pappus.
La varilla R tiene una ranura que recorre toda su longitud... Un cilindro o prisma C está fijado a un pequeño bloque que se desliza libremente en la ranura (p. 281).
Quizás el instrumento más antiguo, aparte de los relojes de sol, del que tenemos una descripción detallada sea el dispositivo construido por Arquímedes (Sand-Reckoner 11-15) para medir el diámetro aparente del sol; Se trataba de una varilla a lo largo de la cual se podían mover clavijas de diferentes colores.
Es sorprendente que durante mucho tiempo la actitud de Arquímedes hacia las aplicaciones de la ciencia se dedujera de la aceptación acrítica de la opinión de Plutarco: un polígrafo que vivió siglos después, en un clima cultural completamente diferente, ciertamente no habría podido conocer la Pensamientos íntimos del científico.
Por otra parte, está bien documentada la dedicación con la que Arquímedes desarrolló aplicaciones de todo tipo: de la catóptrica, como cuenta Apuleyo en el pasaje ya citado (Apología, 16), de la hidrostática (desde el diseño de relojes hasta la ingeniería naval: sabemos de Ateneo (Deipnosophistae, V, 206d) que bajo su supervisión se construyó el barco más grande de la Antigüedad, el Siracusia), y de la mecánica (desde máquinas para levantar pesos hasta aquellas para levantar agua y artefactos de guerra).
La inscripción en latín del poeta romano Manilius que rodea la imagen puede traducirse como "Pasar más allá de tu comprensión y hacerte dueño del universo".
La frase proviene de la Astronomica 4.392 de Manilius del siglo I d.C. (p. 782).
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