Determinante (matemática)
En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial.
Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas.
No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos años antes.
[cita requerida] Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857).
En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar.
[3] El descubrimiento se quedó sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenes del shōgun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los jesuitas en 1638.
[4] En 1750, Cramer da la regla para el caso general, aunque no ofrece demostración alguna.
[6] Gauss utiliza por primera vez el término «determinante», en las Disquisitiones arithmeticae en 1801.
[7] Ese mismo año Binet ofreció otra demostración (incorrecta) para la fórmula del determinante de un producto.
El cuadro matricial es introducido por los trabajos de Cayley y James Joseph Sylvester[cita requerida].
Es conveniente visualizar este conjunto como una especie de ladrillo torcido.
Sin embargo, la noción de determinante es más general, pues se puede definir en un espacio vectorial sin estructura particular (concretamente, sin producto escalar).
que satisface las tres propiedades del apartado anterior (por eso generaliza la noción de volumen).
(con esto queda probada la existencia) y luego se toma una forma n-lineal alternada arbitraria
Hemos escrito este argumento aquí porque de la linealidad, la anulación y
Las columnas de la matriz se pueden ver como vectores del espacio vectorial
Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera.
, donde la suma se calcula sobre todas las permutaciones σ del conjunto {1,2,...,n}.
No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.
Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su cofactor.
Esto puede aligerarse si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastando entonces con calcular un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula).
Para la triangularización se puede utilizar cualquier método conocido que sea numéricamente estable.
La letra mayúscula D (Det) se reserva a veces para distinguirlos.
y respecto al segundo La figura 2, en el plano, ilustra un caso particular de esta fórmula.
Es fácil ver sobre este ejemplo el área del paralelogramo definido por los vectores u+u' y v (en gris): es igual a la suma de los dos paralelogramos precedentes a la cual se sustrae el área de un triángulo y se añade el área de otro triángulo.
Una ilustración geométrica de esta propiedad se da en la figura 3 con dos paralelepípedos adyacentes, es decir con una cara común.
La igualdad siguiente es entonces intuitiva: El enunciado se traduce simbólicamente en que
Una propiedad fundamental del determinante es su comportamiento multiplicativo frente al producto de matrices.
es cualquier matriz con determinante uno (el elemento neutro respecto al producto del cuerpo).
, Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.
