En matemáticas , una variedad tridimensional es un espacio topológico que localmente se parece a un espacio euclidiano tridimensional . Una variedad tridimensional puede considerarse como una forma posible del universo . Así como una esfera se parece a un plano (un plano tangente ) para un observador pequeño y lo suficientemente cercano, todas las variedades tridimensionales se parecen a nuestro universo para un observador lo suficientemente pequeño. Esto se explica con más precisión en la siguiente definición.
Un espacio topológico es una 3-variedad si es un espacio de Hausdorff de segundo orden contable y si cada punto en tiene un vecindario que es homeomorfo al 3-espacio euclidiano .
Las categorías topológica, lineal por partes y suave son todas equivalentes en tres dimensiones, por lo que se hace poca distinción entre si estamos tratando, por ejemplo, con 3-variedades topológicas o 3-variedades suaves.
Los fenómenos en tres dimensiones pueden ser sorprendentemente diferentes de los fenómenos en otras dimensiones, por lo que existe una prevalencia de técnicas muy especializadas que no se generalizan a dimensiones mayores que tres. Este papel especial ha llevado al descubrimiento de conexiones estrechas con una diversidad de otros campos, como la teoría de nudos , la teoría de grupos geométricos , la geometría hiperbólica , la teoría de números , la teoría de Teichmüller , la teoría cuántica de campos topológicos , la teoría de gauge , la homología de Floer y las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de 3 variedades se considera parte de la topología de baja dimensión o topología geométrica .
Una idea clave en la teoría es estudiar una variedad 3 considerando superficies especiales embebidas en ella. Se puede elegir la superficie para que quede bien ubicada en la variedad 3, lo que conduce a la idea de una superficie incompresible y a la teoría de variedades de Haken , o se pueden elegir las piezas complementarias para que sean lo más agradables posible, lo que conduce a estructuras como las divisiones de Heegaard , que son útiles incluso en el caso no Haken.
Las contribuciones de Thurston a la teoría permiten considerar también, en muchos casos, la estructura adicional dada por una geometría particular del modelo de Thurston (de las cuales hay ocho). La geometría más común es la geometría hiperbólica. El uso de una geometría además de superficies especiales suele ser fructífero.
Los grupos fundamentales de las 3-variedades reflejan claramente la información geométrica y topológica que pertenece a una 3-variedad. Por lo tanto, existe una interacción entre la teoría de grupos y los métodos topológicos.
Las 3-variedades son un caso especial interesante de topología de baja dimensión porque sus invariantes topológicos dan mucha información sobre su estructura en general. Si hacemos que sea una 3-variedad y sea su grupo fundamental, entonces se puede derivar mucha información de ellas. Por ejemplo, utilizando la dualidad de Poincaré y el teorema de Hurewicz , tenemos los siguientes grupos de homología :
donde los dos últimos grupos son isomorfos a la homología y cohomología del grupo de , respectivamente; es decir,
A partir de esta información se puede encontrar una clasificación teórica básica de homotopía de 3-variedades [1] . Nótese que desde la torre de Postnikov hay una función canónica
Si tomamos el empuje hacia adelante de la clase fundamental en , obtenemos un elemento . Resulta que el grupo junto con la clase de homología de grupo da una descripción algebraica completa del tipo de homotopía de .
Una operación topológica importante es la suma conexa de dos 3-variedades . De hecho, a partir de teoremas generales en topología, encontramos que para una variedad triple con una descomposición en suma conexa, los invariantes anteriores para se pueden calcular a partir de . En particular
Además, una 3-variedad que no puede describirse como una suma conexa de dos 3-variedades se llama prima .
Para el caso de una 3-variedad dada por una suma conexa de 3-variedades primas, resulta que hay una buena descripción del segundo grupo fundamental como un -módulo. [2] Para el caso especial de tener cada uno infinito pero no cíclico, si tomamos incrustaciones basadas en una 2-esfera
dónde
Luego el segundo grupo fundamental tiene la presentación
dando un cálculo sencillo de este grupo.
El espacio tridimensional euclidiano es el ejemplo más importante de una variedad tridimensional, ya que todas las demás se definen en relación con él. Se trata simplemente del espacio vectorial tridimensional estándar sobre los números reales.
Una 3-esfera es un análogo de dimensión superior de una esfera . Consiste en el conjunto de puntos equidistantes de un punto central fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Así como una esfera ordinaria (o 2-esfera) es una superficie bidimensional que forma el límite de una bola en tres dimensiones, una 3-esfera es un objeto con tres dimensiones que forma el límite de una bola en cuatro dimensiones. Se pueden construir muchos ejemplos de 3-variedades tomando cocientes de la 3-esfera por un grupo finito que actúa libremente sobre a través de una función , por lo que . [3]
El espacio proyectivo real 3-espacial, o RP 3 , es el espacio topológico de líneas que pasan por el origen 0 en R 4 . Es una variedad compacta y suave de dimensión 3 , y es un caso especial Gr (1, R 4 ) de un espacio de Grassmann .
RP 3 es ( difeomorfo a) SO(3) , por lo tanto admite una estructura de grupo; la función de recubrimiento S 3 → RP 3 es una función de grupos Spin(3) → SO(3), donde Spin(3) es un grupo de Lie que es la función de recubrimiento universal de SO(3).
El toro tridimensional es el producto de 3 círculos. Es decir:
El 3-toro, T 3 se puede describir como un cociente de R 3 bajo desplazamientos integrales en cualquier coordenada. Es decir, el 3-toro es R 3 módulo la acción de la red entera Z 3 (la acción se toma como una suma vectorial). De manera equivalente, el 3-toro se obtiene a partir del cubo tridimensional pegando las caras opuestas.
Un 3-toro en este sentido es un ejemplo de una variedad compacta tridimensional . También es un ejemplo de un grupo de Lie abeliano compacto . Esto se deduce del hecho de que el círculo unitario es un grupo de Lie abeliano compacto (cuando se identifica con los números complejos unitarios con multiplicación). La multiplicación de grupos en el toro se define entonces mediante la multiplicación por coordenadas.
El espacio hiperbólico es un espacio homogéneo que se puede caracterizar por una curvatura negativa constante . Es el modelo de la geometría hiperbólica . Se distingue de los espacios euclidianos con curvatura cero que definen la geometría euclidiana , y de los modelos de geometría elíptica (como la 3-esfera ) que tienen una curvatura positiva constante. Cuando se incrusta en un espacio euclidiano (de una dimensión superior), cada punto de un espacio hiperbólico es un punto de silla . Otra propiedad distintiva es la cantidad de espacio cubierto por la 3-esfera en el 3-espacio hiperbólico: aumenta exponencialmente con respecto al radio de la bola, en lugar de polinomialmente.
La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de esfera de homología. Al ser una 3-variedad esférica , es la única 3-esfera de homología (además de la 3-esfera misma) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como grupo icosaédrico binario y tiene orden 120. Esto demuestra que la conjetura de Poincaré no puede enunciarse únicamente en términos de homología.
En 2003, la falta de estructura en las escalas más grandes (por encima de 60 grados) en el fondo cósmico de microondas observado durante un año por la nave espacial WMAP condujo a la sugerencia, por Jean-Pierre Luminet del Observatorio de París y colegas, de que la forma del universo es una esfera de Poincaré. [4] [5] En 2008, los astrónomos encontraron la mejor orientación en el cielo para el modelo y confirmaron algunas de las predicciones del modelo, utilizando tres años de observaciones de la nave espacial WMAP. [6] Sin embargo, todavía no hay un respaldo sólido para la corrección del modelo.
En matemáticas , el espacio de Seifert-Weber (introducido por Herbert Seifert y Constantin Weber) es una 3-variedad hiperbólica cerrada . También se conoce como espacio dodecaédrico de Seifert-Weber y espacio dodecaédrico hiperbólico . Es uno de los primeros ejemplos descubiertos de 3-variedades hiperbólicas cerradas.
Se construye pegando cada cara de un dodecaedro a su opuesta de manera que se produzca una variedad tridimensional cerrada. Hay tres formas de hacer este pegado de manera consistente. Las caras opuestas están desalineadas en 1/10 de vuelta, por lo que para que coincidan deben rotarse en 1/10, 3/10 o 5/10 de vuelta; una rotación de 3/10 da el espacio de Seifert-Weber. Una rotación de 1/10 da la esfera de homología de Poincaré y una rotación de 5/10 da el espacio proyectivo real tridimensional .
Con el patrón de pegado de 3/10 de vuelta, las aristas del dodecaedro original se pegan entre sí en grupos de cinco. Por lo tanto, en el espacio de Seifert-Weber, cada arista está rodeada por cinco caras pentagonales, y el ángulo diedro entre estos pentágonos es de 72°. Esto no coincide con el ángulo diedro de 117° de un dodecaedro regular en el espacio euclidiano, pero en el espacio hiperbólico existen dodecaedros regulares con cualquier ángulo diedro entre 60° y 117°, y el dodecaedro hiperbólico con ángulo diedro de 72° puede usarse para dar al espacio de Seifert-Weber una estructura geométrica como una variedad hiperbólica. Es un espacio cociente del panal dodecaédrico de orden 5 , una teselación regular del 3-espacio hiperbólico por dodecaedros con este ángulo diedro.
En matemáticas , la variedad de Gieseking es una variedad hiperbólica de 3 dimensiones con cúspide y volumen finito. No es orientable y tiene el menor volumen entre las variedades hiperbólicas no compactas, con un volumen aproximado de 1,01494161. Fue descubierta por Hugo Gieseking (1912).
La variedad de Gieseking se puede construir quitando los vértices de un tetraedro , luego pegando las caras juntas en pares usando funciones afines-lineales. Etiqueta los vértices 0, 1, 2, 3. Pega la cara con vértices 0,1,2 a la cara con vértices 3,1,0 en ese orden. Pega la cara 0,2,3 a la cara 3,2,1 en ese orden. En la estructura hiperbólica de la variedad de Gieseking, este tetraedro ideal es la descomposición poliédrica canónica de David BA Epstein y Robert C. Penner. [7] Además, el ángulo formado por las caras es . La triangulación tiene un tetraedro, dos caras, una arista y ningún vértice, por lo que todas las aristas del tetraedro original están pegadas.
Un enlace hiperbólico es un enlace en la 3-esfera con complemento que tiene una métrica riemanniana completa de curvatura negativa constante , es decir tiene una geometría hiperbólica . Un nudo hiperbólico es un enlace hiperbólico con un componente .
Los ejemplos siguientes son particularmente conocidos y estudiados.
Las clases no son necesariamente excluyentes entre sí.
La geometría de contacto es el estudio de una estructura geométrica en variedades suaves dada por una distribución hiperplana en el fibrado tangente y especificada por una forma uno , las cuales satisfacen una condición de 'máxima no degeneración' llamada 'no integrabilidad completa'. A partir del teorema de Frobenius , se reconoce la condición como opuesta a la condición de que la distribución esté determinada por una foliación de codimensión uno en la variedad ('integrabilidad completa').
La geometría de contacto es, en muchos sentidos, una contraparte de dimensión impar de la geometría simpléctica , que pertenece al mundo de dimensión par. Tanto la geometría de contacto como la simpléctica están motivadas por el formalismo matemático de la mecánica clásica , donde se puede considerar tanto el espacio de fase de dimensión par de un sistema mecánico como el espacio de fase extendido de dimensión impar que incluye la variable tiempo.
Una variedad de Haken es una variedad 3-variedad compacta , P²-irreducible , que es suficientemente grande , es decir, que contiene una superficie incompresible de dos lados correctamente embebida . A veces, se consideran solo variedades de Haken orientables, en cuyo caso una variedad de Haken es una variedad 3-variedad compacta, orientable e irreducible que contiene una superficie incompresible orientable.
Se dice que una variedad 3-variedad cubierta finitamente por una variedad Haken es virtualmente Haken . La conjetura de Haken virtualmente afirma que toda variedad 3-variedad compacta e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken.
Las variedades de Haken fueron introducidas por Wolfgang Haken. Haken demostró que las variedades de Haken tienen una jerarquía , donde se pueden dividir en 3-bolas a lo largo de superficies incompresibles. Haken también demostró que había un procedimiento finito para encontrar una superficie incompresible si la variedad 3 tenía una. Jaco y Oertel dieron un algoritmo para determinar si una variedad 3 era Haken.
Una laminación esencial es una laminación en la que cada hoja es incompresible y el extremo incompresible, si las regiones complementarias de la laminación son irreducibles y si no hay hojas esféricas.
Las laminaciones esenciales generalizan las superficies incompresibles que se encuentran en las variedades de Haken.
Una división de Heegaard es una descomposición de una variedad 3-compacta orientada que resulta de dividirla en dos cuerpos de manija .
Toda variedad tridimensional cerrada y orientable puede obtenerse de esta manera; esto se desprende de resultados profundos sobre la triangulación de variedades tridimensionales debido a Moise . Esto contrasta fuertemente con variedades de dimensiones superiores que no necesitan admitir estructuras lineales suaves o por partes. Suponiendo suavidad, la existencia de una división de Heegaard también se desprende del trabajo de Smale sobre descomposiciones de mangos a partir de la teoría de Morse.
Una foliación tensa es una foliación de codimensión 1 de una variedad 3 con la propiedad de que hay un único círculo transversal que interseca cada hoja. Por círculo transversal se entiende un bucle cerrado que siempre es transversal al campo tangente de la foliación. De manera equivalente, por un resultado de Dennis Sullivan , una foliación de codimensión 1 es tensa si existe una métrica de Riemann que hace que cada hoja sea una superficie mínima .
Las foliaciones tensas adquirieron relevancia gracias al trabajo de William Thurston y David Gabai .
Algunos resultados se denominan conjeturas como resultado de artefactos históricos.
Comenzamos con lo puramente topológico:
En topología geométrica , el teorema de Moise , demostrado por Edwin E. Moise en 1945, establece que cualquier variedad topológica 3-variedad tiene una estructura lineal por partes esencialmente única y una estructura suave .
Como corolario, cada variedad 3-compacta tiene una división de Heegaard .
El teorema de descomposición prima para 3-variedades establece que cada 3-variedad compacta y orientable es la suma conexa de una colección única ( salvo homeomorfismo ) de 3-variedades primas .
Una variedad es prima si no puede presentarse como suma conexa de más de una variedad, ninguna de las cuales es la esfera de la misma dimensión.
La finitud de Kneser-Haken dice que para cada 3-variedad compacta, hay una constante C tal que cualquier colección de superficies incrustadas incompresibles disjuntas de cardinalidad mayor que C debe contener elementos paralelos.
El teorema del bucle es una generalización del lema de Dehn y debería llamarse más apropiadamente "teorema del disco". Fue demostrado por primera vez por Christos Papakyriakopoulos en 1956, junto con el lema de Dehn y el teorema de la esfera .
Una versión simple y útil del teorema de bucle establece que si hay un mapa
con no nulo homotópico en , entonces hay una incrustación con la misma propiedad.
El teorema de la esfera de Papakyriakopoulos (1957) proporciona condiciones para que los elementos del segundo grupo de homotopía de una 3-variedad sean representados por esferas incrustadas.
Un ejemplo es el siguiente:
Sea una 3-variedad orientable tal que no es el grupo trivial. Entonces existe un elemento distinto de cero que tiene un representante que es una incrustación .
El teorema del anillo establece que si un par de curvas cerradas simples y disjuntas en el límite de una variedad tridimensional son libremente homotópicas, entonces colimitan un anillo correctamente embebido. Esto no debe confundirse con el teorema de alta dimensión del mismo nombre.
El teorema del toro es el siguiente: Sea M una variedad 3-variedad compacta e irreducible con borde no vacío. Si M admite una función esencial de un toro, entonces M admite una incrustación esencial de un toro o de un anillo [8]
La descomposición JSJ , también conocida como descomposición toral , es una construcción topológica dada por el siguiente teorema:
El acrónimo JSJ corresponde a William Jaco , Peter Shalen y Klaus Johannson. Los dos primeros trabajaron juntos y el tercero de forma independiente. [9] [10]
El teorema del núcleo de Scott es un teorema sobre la presentabilidad finita de grupos fundamentales de 3-variedades debido a G. Peter Scott . [11] El enunciado preciso es el siguiente:
Dada una variedad 3-variedad (no necesariamente compacta ) con un grupo fundamental finitamente generado , existe una subvariedad tridimensional compacta , llamada núcleo compacto o núcleo de Scott , tal que su mapa de inclusión induce un isomorfismo en los grupos fundamentales. En particular, esto significa que un grupo de variedad 3-variedad finitamente generado es finitamente presentable .
En [12] se da una prueba simplificada y en [13] se demuestra una afirmación de unicidad más fuerte.
El teorema de Lickorish-Wallace establece que cualquier variedad tridimensional cerrada , orientable y conexa puede obtenerse realizando una cirugía de Dehn en un vínculo enmarcado en la esfera tridimensional con coeficientes de cirugía. Además, se puede suponer que cada componente del vínculo no está anudado.
Los teoremas de Friedhelm Waldhausen sobre rigidez topológica dicen que ciertas 3-variedades (como aquellas con una superficie incompresible) son homeomorfas si existe un isomorfismo de grupos fundamentales que respeta el límite.
Waldhausen conjeturó que cada 3-variedad orientable cerrada tiene sólo un número finito de desdoblamientos de Heegaard (hasta el homeomorfismo) de cualquier género dado.
La conjetura de Smith (ahora demostrada) establece que si f es un difeomorfismo de la 3-esfera de orden finito , entonces el conjunto de puntos fijos de f no puede ser un nudo no trivial .
El teorema de cirugía cíclica establece que, para una variedad tridimensional M compacta , conexa , orientable e irreducible cuyo límite es un toro T , si M no es un espacio con fibras de Seifert y r,s son pendientes en T tales que sus rellenos de Dehn tienen grupo fundamental cíclico, entonces la distancia entre r y s (el número mínimo de veces que dos curvas cerradas simples en T que representan r y s deben intersecar) es como máximo 1. En consecuencia, hay como máximo tres rellenos de Dehn de M con grupo fundamental cíclico.
El teorema de cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston establece: es hiperbólico siempre que se evite un conjunto finito de pendientes excepcionales para la cúspide i -ésima para cada i . Además, converge a M en H como todo para todo correspondiente a rellenos de Dehn no vacíos .
Este teorema se debe a William Thurston y es fundamental para la teoría de las 3-variedades hiperbólicas. Muestra que existen límites no triviales en H . El estudio de la topología geométrica de Troels Jorgensen muestra además que todos los límites no triviales surgen por el llenado de Dehn como en el teorema.
Otro resultado importante de Thurston es que el volumen disminuye con el llenado hiperbólico de Dehn. De hecho, el teorema establece que el volumen disminuye con el llenado topológico de Dehn, suponiendo, por supuesto, que la variedad llena de Dehn es hiperbólica. La prueba se basa en propiedades básicas de la norma de Gromov .
Jørgensen también demostró que la función de volumen en este espacio es una función propia y continua . Por lo tanto, por los resultados anteriores, los límites no triviales en H se llevan a límites no triviales en el conjunto de volúmenes. De hecho, se puede concluir además, como hizo Thurston, que el conjunto de volúmenes de las 3-variedades hiperbólicas de volumen finito tiene tipo ordinal . Este resultado se conoce como el teorema de Thurston-Jørgensen . Gromov realizó trabajos adicionales para caracterizar este conjunto .
Además, Gabai, Meyerhoff y Milley demostraron que la variedad de Weeks tiene el volumen más pequeño de todas las variedades hiperbólicas 3-orientables cerradas.
Una forma del teorema de geometrización de Thurston establece: si M es una variedad atoroidal de Haken compacta e irreducible cuyo límite tiene una característica de Euler cero, entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.
El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.
Las condiciones de que la variedad M sea irreducible y atoroidal son necesarias, ya que las variedades hiperbólicas tienen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que la variedad sea Haken es innecesariamente fuerte. La conjetura de hiperbolización de Thurston establece que una 3-variedad atoroidal irreducible cerrada con un grupo fundamental infinito es hiperbólica, y esto se deduce de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización de Thurston.
El teorema de docilidad establece que toda 3-variedad hiperbólica completa con un grupo fundamental finitamente generado es topológicamente domada , en otras palabras, homeomorfa al interior de una 3-variedad compacta .
El teorema de docilidad fue conjeturado por Marden. Fue demostrado por Agol e, independientemente, por Danny Calegari y David Gabai . Es una de las propiedades fundamentales de las 3-variedades hiperbólicas geométricamente infinitas, junto con el teorema de densidad para grupos kleinianos y el teorema de laminación final . También implica la conjetura de la medida de Ahlfors .
El teorema de laminación final , conjeturado originalmente por William Thurston y luego demostrado por Jeffrey Brock , Richard Canary y Yair Minsky, establece que las 3-variedades hiperbólicas con grupos fundamentales generados finitamente están determinadas por su topología junto con ciertos "invariantes finales", que son laminaciones geodésicas en algunas superficies en el límite de la variedad.
La 3-esfera es una 3-variedad especialmente importante debido a la conjetura de Poincaré , ahora demostrada . Originalmente conjeturada por Henri Poincaré , el teorema se refiere a un espacio que localmente se parece al espacio tridimensional ordinario pero que es conexo, de tamaño finito y carece de cualquier límite (una 3-variedad cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede ajustarse continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Un resultado análogo se conoce desde hace algún tiempo en dimensiones superiores.
Después de casi un siglo de esfuerzos por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una prueba de la conjetura en tres artículos que se hicieron disponibles en 2002 y 2003 en arXiv . La prueba siguió el programa de Richard S. Hamilton de utilizar el flujo de Ricci para abordar el problema. Perelman introdujo una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de manera controlada. Varios equipos de matemáticos han verificado que la prueba de Perelman es correcta.
La conjetura de geometrización de Thurston establece que ciertos espacios topológicos tridimensionales tienen cada uno una estructura geométrica única que puede asociarse con ellos. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conexa se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a un espacio topológico completo. En cambio, la conjetura de geometrización establece que cada 3-variedad cerrada puede descomponerse de manera canónica en piezas que tienen cada una uno de ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston (1982), e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .
El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una demostración en la década de 1980 y desde entonces han aparecido impresas varias demostraciones completas.
En 2003 , Grigori Perelman esbozó una prueba de la conjetura de geometrización completa utilizando el flujo de Ricci con cirugía . Actualmente existen varios manuscritos diferentes (ver más abajo) con detalles de la prueba. La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma esférica del espacio son corolarios de la conjetura de geometrización, aunque existen pruebas más breves de la primera que no conducen a la conjetura de geometrización.
La conjetura virtualmente fibrada , formulada por el matemático estadounidense William Thurston , establece que toda variedad atoroidal , cerrada e irreducible , con grupo fundamental infinito, tiene una cubierta finita que es un fibrado superficial sobre el círculo .
La conjetura virtualmente de Haken establece que toda variedad tridimensional compacta , orientable e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente de Haken . Es decir, tiene una cobertura finita (un espacio de cobertura con una función de cobertura finita a uno) que es una variedad de Haken .
En una publicación en ArXiv del 25 de agosto de 2009, [14] Daniel Wise implícitamente dio a entender (haciendo referencia a un manuscrito más extenso que no se había publicado en ese momento) que había demostrado la conjetura de virtualmente fibrada para el caso en que la variedad 3 es cerrada, hiperbólica y de Haken. A esto le siguió un artículo de encuesta en Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. [15] A esto le siguieron varias preimpresiones más [16] , incluido el manuscrito más extenso mencionado anteriormente de Wise. [17] En marzo de 2012, durante una conferencia en el Instituto Henri Poincaré en París, Ian Agol anunció que podía demostrar la conjetura de virtualmente Haken para variedades 3-hiperbólicas cerradas. [18] La prueba se basa en los resultados de Kahn y Markovic [19] [20] en su prueba de la conjetura del subgrupo de superficies y los resultados de Wise al probar el teorema del cociente especial malnormal [17] y los resultados de Bergeron y Wise para la cubulación de grupos. [14] Tomado junto con los resultados de Wise, esto implica la conjetura virtualmente fibrada para todas las 3-variedades hiperbólicas cerradas.
Si es una función de superficies cerradas y conexas tal que no es inyectiva, entonces existe una curva cerrada simple no contráctil tal que es homotópicamente trivial. Esta conjetura fue demostrada por David Gabai .
La conjetura del subgrupo de superficie de Friedhelm Waldhausen establece que el grupo fundamental de cada 3-variedad cerrada e irreducible con un grupo fundamental infinito tiene un subgrupo de superficie. Por "subgrupo de superficie" nos referimos al grupo fundamental de una superficie cerrada, no a la 2-esfera. Este problema figura como Problema 3.75 en la lista de problemas de Robion Kirby . [21]
Suponiendo la conjetura de geometrización , el único caso abierto era el de las 3-variedades hiperbólicas cerradas . Una prueba de este caso fue anunciada en el verano de 2009 por Jeremy Kahn y Vladimir Markovic y esbozada en una charla el 4 de agosto de 2009 en la Conferencia FRG (Focused Research Group) organizada por la Universidad de Utah. Una preimpresión apareció en arxiv en octubre de 2009. [22] Su artículo fue publicado en Annals of Mathematics en 2012. [23] En junio de 2012, Kahn y Markovic recibieron los Premios de Investigación Clay del Clay Mathematics Institute en una ceremonia en Oxford . [24]
La conjetura del cableado establece que si la cirugía de Dehn en un nudo en la 3-esfera produce una 3-variedad reducible, entonces ese nudo es un -cable en algún otro nudo, y la cirugía debe haberse realizado utilizando la pendiente .
El grupo fundamental de cualquier variedad hiperbólica n de volumen finito no tiene la propiedad τ.
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2a86d64c5d4083e01d8c768c547633c5d75325)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f901b12f564cf0240320b7b66ecee13b940ba5d)
![{\displaystyle [M]\en H_{3}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86af14ee8f6efafc612c7b0ae25e17335e7ad1c2)
![{\displaystyle \zeta_{M}=q_{*}([M])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0351c40c0aae52a52fd85e5c5b7ef09ffc1e8c)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343e4f37a7355bdb8ba93cbbffbecf263af9d9ef)
![{\displaystyle \pi _{2}(M)={\frac {\mathbb {Z} [\pi ]\{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\}}{(\sigma _{1}+\cdots +\sigma _{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a2b4c538afa0a9afb908152cf168c7033ebb86)
