Colector principal

En topología , una rama de las matemáticas , una variedad prima es una variedad n que no se puede expresar como una suma conexa no trivial de dos variedades n . No trivial significa que ninguna de las dos es una n -esfera . Una noción similar es la de una variedad n irreducible , que es aquella en la que cualquier ( n  − 1)-esfera incrustada limita una n - bola incrustada . Implícito en esta definición está el uso de una categoría adecuada , como la categoría de variedades diferenciables o la categoría de variedades lineales por partes .

Una 3-variedad es irreducible si y solo si es prima, excepto en dos casos: el producto y el fibrado no orientable de la 2-esfera sobre el círculo son primos pero no irreducibles. Esto es algo análogo a la noción en la teoría de números algebraicos de ideales primos que generalizan elementos irreducibles . ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Según un teorema de Hellmuth Kneser y John Milnor , toda 3-variedad compacta y orientable es la suma conexa de una colección única ( salvo homeomorfismo ) de 3-variedades primas.

Definiciones

Consideremos específicamente 3-variedades .

Variedad irreducible

Una variedad de 3 esirreducible si cada esfera lisa limita una bola. Más rigurosamente, una3-variedadconexadiferenciable es irreducible si cadasubvariedadhomeomorfaa unaesferalimita un subconjunto(es decir,) que es homeomorfo a labola El supuesto de diferenciabilidad deno es importante, porque cada 3-variedad topológica tiene una estructura diferenciable única. Sin embargo, es necesario suponer que la esfera eslisa(una subvariedad diferenciable), incluso teniendo unentorno tubular. El supuesto de diferenciabilidad sirve para excluir patologías como laesfera cornuda de Alexander(ver más abajo). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S=\partial D}$ $${\displaystyle D^{3}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.}$$ ${\displaystyle M}$

Una variedad 3 que no es irreducible se llamareducible .

Colectores principales

Una 3-variedad conexa es prima si no puede expresarse como una suma conexa de dos variedades, ninguna de las cuales es la 3-esfera (o, equivalentemente, ninguna de las cuales es homeomorfa a ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N_{1}\#N_{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

Espacio euclidiano

El espacio euclidiano tridimensional es irreducible: todas las 2-esferas lisas que contiene están unidas por bolas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Por otra parte, la esfera con cuernos de Alejandro no es una esfera lisa, ya que no contiene una bola. Por lo tanto, es necesario que la esfera sea lisa. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Esfera, espacios de lentes

La 3-esfera es irreducible. El espacio producto no es irreducible, ya que cualquier 2-esfera (donde es algún punto de ) tiene un complemento conexo que no es una bola (es el producto de la 2-esfera y una línea). ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}\times \{pt\}}$ ${\displaystyle pt}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Un espacio de lentes con (y por lo tanto no es igual a ) es irreducible. ${\displaystyle L(p,q)}$ ${\displaystyle p\neq 0}$ ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

Variedades primas y variedades irreducibles

Una 3-variedad es irreducible si y sólo si es prima, excepto en dos casos: el producto y el fibrado no orientable de la 2-esfera sobre el círculo son ambos primos pero no irreducibles. ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

De irreducible a primo

Una variedad irreducible es prima. De hecho, si expresamos como una suma conexa entonces se obtiene quitando una bola de cada uno de y de y luego pegando las dos 2-esferas resultantes. Estas dos 2-esferas (ahora unidas) forman una 2-esfera en El hecho de que sea irreducible significa que esta 2-esfera debe limitar una bola. Deshaciendo la operación de pegado, o se obtiene pegando esa bola a la bola previamente retirada en sus bordes. Esta operación, sin embargo, simplemente da una 3-esfera. Esto significa que uno de los dos factores o era de hecho una 3-esfera (trivial) y, por lo tanto, es primo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2},}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2},}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle M}$

De primo a irreducible

Sea una 3-variedad prima, y ​​sea una 2-esfera incrustada en ella. Cortando sobre una se puede obtener solo una variedad o quizás solo se pueden obtener dos variedades y En el último caso, pegando bolas sobre los límites esféricos recién creados de estas dos variedades se obtienen dos variedades y tales que Como es primo, uno de estos dos, digamos es Esto significa que es menos una bola, y por lo tanto es una bola en sí misma. La esfera es, por lo tanto, el límite de una bola, y como estamos viendo el caso en el que solo existe esta posibilidad (dos variedades creadas), la variedad es irreducible. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}.}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ $${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2}.}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N_{1},}$ ${\displaystyle S^{3}.}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

Queda por considerar el caso en el que es posible cortar a lo largo y obtener sólo un trozo. En ese caso existe una curva simple cerrada en que se corta en un único punto. Sea la unión de los dos vecindarios tubulares de y El límite resulta ser una 2-esfera que se corta en dos trozos, y el complemento de Como es primo y no es una bola, el complemento debe ser una bola. La variedad que resulta de este hecho está casi determinada, y un análisis cuidadoso muestra que es o bien el otro, no orientable, fibrado de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle \partial R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

Referencias

• William Jaco . Lecciones sobre topología de 3 variedades . ISBN 0-8218-1693-4.

Véase también

• 3-colector
• Suma conectada
• Descomposición prima (3-variedad)