Cohomología de grupo

Herramientas para el estudio de grupos basadas en técnicas de topología algebraica

En matemáticas (más específicamente, en álgebra homológica ), la cohomología de grupos es un conjunto de herramientas matemáticas utilizadas para estudiar grupos utilizando la teoría de la cohomología , una técnica procedente de la topología algebraica . De manera análoga a las representaciones de grupo , la cohomología de grupo analiza las acciones de grupo de un grupo G en un módulo G asociado M para dilucidar las propiedades del grupo. Al tratar el módulo G como una especie de espacio topológico con elementos de representación de n -símplices , se pueden calcular las propiedades topológicas del espacio, como el conjunto de grupos de cohomología . Los grupos de cohomología, a su vez, proporcionan información sobre la estructura del grupo G y del módulo G M. La cohomología grupal juega un papel en la investigación de los puntos fijos de una acción grupal en un módulo o espacio y el módulo o espacio cociente con respecto a una acción grupal. La cohomología de grupos se utiliza en los campos del álgebra abstracta , álgebra homológica , topología algebraica y teoría algebraica de números , así como en aplicaciones a la teoría de grupos propiamente dicha. Como en la topología algebraica, existe una teoría dual llamada homología de grupo. Las técnicas de cohomología de grupos también se pueden extender al caso de que en lugar de un módulo G , G actúa sobre un grupo G no abeliano; en efecto, una generalización de un módulo a coeficientes no abelianos . ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$

Estas ideas algebraicas están estrechamente relacionadas con las ideas topológicas. La cohomología de grupo de un grupo discreto G es la cohomología singular de un espacio adecuado que tiene G como grupo fundamental , es decir, el correspondiente espacio de Eilenberg-MacLane . Por lo tanto, la cohomología de grupo de puede considerarse como la cohomología singular del círculo S ¹ , y de manera similar para y ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Se sabe mucho sobre la cohomología de grupos, incluidas las interpretaciones de la cohomología de baja dimensión, la funcionalidad y cómo cambiar de grupo. El tema de la cohomología de grupos comenzó en la década de 1920, maduró a finales de la década de 1940 y continúa como un área de investigación activa en la actualidad.

Motivación

Un paradigma general en la teoría de grupos es que un grupo G debe estudiarse a través de sus representaciones de grupo . Una ligera generalización de esas representaciones son los módulos G : un módulo G es un grupo abeliano M junto con una acción grupal de G sobre M , con cada elemento de G actuando como un automorfismo de M. Escribiremos G multiplicativamente y M aditivamente.

Dado tal G -módulo M , es natural considerar el submódulo de G -elementos invariantes :

${\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M\ |\ \forall g\in G:\ gx=x\rbrace .}$

Ahora bien, si N es un submódulo G de M (es decir, un subgrupo de M asignado a sí mismo por la acción de G ), en general no es cierto que los invariantes en se encuentren como el cociente de los invariantes en M por los de N : al ser invariante, 'módulo N ' es más amplio. El propósito de la cohomología del primer grupo es medir con precisión esta diferencia. ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle H^{1}(G,N)}$

Los functores de cohomología de grupo en general miden hasta qué punto la toma de invariantes no respeta secuencias exactas . Esto se expresa mediante una secuencia larga y exacta . ${\displaystyle H^{*}}$

Definiciones

La colección de todos los módulos G es una categoría (los morfismos son homomorfismos de grupo f con la propiedad para todo g en G y x en M ). Al enviar cada módulo M al grupo de invariantes se obtiene un funtor de la categoría de G -módulos a la categoría Ab de grupos abelianos. Este functor es exacto a la izquierda pero no necesariamente exacto a la derecha. Por lo tanto, podemos formar sus funtores derivados derechos . ^[a] Sus valores son grupos abelianos y se denotan por "el n -ésimo grupo de cohomología de G con coeficientes en M ". Además, el grupo puede identificarse con . ${\displaystyle f(gx)=g(f(x))}$ ${\displaystyle M^{G}}$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$ ${\displaystyle H^{0}(G,M)}$ ${\displaystyle M^{G}}$

Complejos de cocadenas

La definición que utiliza functores derivados es conceptualmente muy clara, pero para aplicaciones concretas, los siguientes cálculos, que algunos autores también utilizan como definición, suelen ser útiles. ^[1] Porque sea el grupo de todas las funciones desde hasta M (aquí significa ). Este es un grupo abeliano; sus elementos se denominan n -cocadenas (no homogéneas). Los homomorfismos colímites se definen por ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle C^{n}(G,M)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle G^{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}}$

Se puede comprobar que esto define un complejo de cocadenas cuya cohomología se puede calcular. Se puede demostrar que la definición mencionada anteriormente de cohomología de grupo en términos de functores derivados es isomorfa a la cohomología de este complejo. ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

Aquí los grupos de n -cociclos y n -colímites, respectivamente, se definen como

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

Los functores Ext n y la definición formal de cohomología de grupo.

Al interpretar los módulos G como módulos sobre el anillo de grupo , se puede observar que ${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

es decir, el subgrupo de G -elementos invariantes en M se identifica con el grupo de homomorfismos de , que se trata como el módulo G trivial (cada elemento de G actúa como identidad) de M . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Por lo tanto, como los functores Ext son los functores derivados de Hom , existe un isomorfismo natural

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

Estos grupos Ext también se pueden calcular mediante una resolución proyectiva de , siendo la ventaja que dicha resolución sólo depende de G y no de M . Recordamos la definición de Ext más explícitamente para este contexto. Sea F una resolución proyectiva (por ejemplo, una resolución libre ) del módulo trivial : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

por ejemplo, siempre se puede tomar la resolución de los anillos de grupo, con morfismos ${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

Recuerde que para los módulos N y M , Hom _G ( N , M ) es un grupo abeliano que consta de homomorfismos de N a M. Dado que es un funtor contravariante e invierte las flechas, aplicar F en términos términos y eliminar produce un complejo de cocadena : ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

Los grupos de cohomología de G con coeficientes en el módulo M se definen como la cohomología del complejo de cocadenas anterior: ${\displaystyle H^{*}(G,M)}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

Esta construcción conduce inicialmente a un operador colímite que actúa sobre las cocadenas "homogéneas". Estos son los elementos de , es decir, funciones que obedecen ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$ ${\displaystyle \phi _{n}\colon G^{n}\to M}$

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

El operador colímite ahora se define naturalmente, por ejemplo, ${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

La relación con el operador colímite d que se definió en la sección anterior, y que actúa sobre las cocadenas "homogéneas" , viene dada reparametrizando de modo que ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

etcétera. De este modo

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

como en el apartado anterior.

Homología de grupo

Además de la construcción de cohomología de grupo , existe la siguiente definición de homología de grupo : dado un módulo G M , establezca DM como el submódulo generado por elementos de la forma g · m  −  m , g  ∈  G , m  ∈  M. Asignando a M sus denominadas coinvariantes , el cociente

${\displaystyle M_{G}:=M/DM,}$

es un funtor exacto correcto . Sus functores derivados por la izquierda son, por definición, la homología de grupo.

${\displaystyle H_{n}(G,M).}$

El funtor covariante que asigna M _G a M es isomorfo al funtor que envía M a donde está dotado de la acción G trivial . ^[b] Por lo tanto, también se obtiene una expresión para la homología de grupo en términos de los funtores Tor , ${\displaystyle \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

Tenga en cuenta que la convención de superíndice/subíndice para cohomología/homología concuerda con la convención para invariantes de grupo/coinvariantes, mientras que se denomina interruptores "co-":

• los superíndices corresponden a la cohomología H* y a los invariantes X ^G , mientras que
• los subíndices corresponden a homología H _∗ y coinvariantes X _G  := X / G .

Específicamente, los grupos de homología _Hn ( G , M ) se pueden calcular de la siguiente manera. Comience con una resolución proyectiva F del módulo trivial como en la sección anterior. Aplique el functor covariante a F termwise para obtener un complejo de cadena : ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \cdot \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M.}$

Entonces H _n ( G , M ) son los grupos de homología de este complejo de cadena, para n ≥ 0. ${\displaystyle H_{n}(G,M)=H_{n}(F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M)}$

La homología y cohomología de grupo se pueden tratar de manera uniforme para algunos grupos, especialmente los grupos finitos , en términos de resoluciones completas y los grupos de cohomología de Tate .

La homología de grupo de grupos abelianos G con valores en un dominio ideal principal k está estrechamente relacionada con el álgebra exterior . ^[C] ${\displaystyle H_{*}(G,k)}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}(G\otimes k)}$

Grupos de cohomología de baja dimensión.

H  1

El primer grupo de cohomología es el cociente de los llamados homomorfismos cruzados , es decir, aplicaciones (de conjuntos) f  : G → M que satisfacen f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) para todo a , b en G , módulo los llamados homomorfismos cruzados principales , es decir, mapas f  : G → M dados por f ( g ) = gm − m para algunos m ∈ M fijos . Esto se desprende de la definición de cocadenas anterior.

Si la acción de G sobre M es trivial , entonces lo anterior se reduce a H ¹ ( G , M ) = Hom( G , M ), el grupo de homomorfismos de grupo G → M , ya que los homomorfismos cruzados son entonces solo homomorfismos ordinarios y los colímites (es decir, los principales homomorfismos cruzados) deben tener una imagen idénticamente cero: por lo tanto, sólo existe el colímite cero.

Por otro lado, considere el caso de donde denota la estructura -no trivial en el grupo aditivo de números enteros, que envía a -a para cada ; y donde consideramos como el grupo . Al considerar todos los casos posibles para las imágenes de , se puede ver que los homomorfismos cruzados constituyen todos los mapas que satisfacen y para alguna elección arbitraria de número entero t . Los homomorfismos cruzados principales deben satisfacer adicionalmente para algún número entero m : por lo tanto, cada homomorfismo cruzado que envía -1 a un número entero par es principal y, por lo tanto: ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \{1,-1\}}$ ${\displaystyle f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{t}(1)=0}$ ${\displaystyle f_{t}(-1)=t}$ ${\displaystyle f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle t=-2m}$

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,}$

siendo la operación de grupo una suma puntual: , teniendo en cuenta que es el elemento de identidad. ${\displaystyle (f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)}$ ${\displaystyle f_{0}}$

H2 ​

Si M es un módulo G trivial (es decir, la acción de G sobre M es trivial), el segundo grupo de cohomología H ² ( G , M ) está en correspondencia uno a uno con el conjunto de extensiones centrales de G por M ( hasta una relación de equivalencia natural). De manera más general, si la acción de G sobre M no es trivial, H ² ( G , M ) clasifica las clases de isomorfismo de todas las extensiones de G por M, en las que la acción de G sobre E (mediante automorfismos internos ), confiere (la imagen de) M con una estructura de módulo G isomórfica. ${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$

En el ejemplo de la sección inmediatamente anterior, la única extensión de by con la acción no trivial dada es el grupo diédrico infinito , que es una extensión dividida y por lo tanto trivial dentro del grupo. Éste es, de hecho, el significado en términos de teoría de grupos del elemento único y no trivial de . ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$

Un ejemplo de un segundo grupo de cohomología es el grupo de Brauer : es la cohomología del grupo absoluto de Galois de un campo k que actúa sobre los elementos invertibles en un cierre separable:

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

Véase también [1].

Ejemplos básicos

Cohomología de grupo de un grupo cíclico finito.

Para el grupo cíclico finito de orden con generador , el elemento en el anillo del grupo asociado es divisor de cero porque su producto con , dado por ${\displaystyle G=C_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],}$

da

${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}}$

Esta propiedad se puede utilizar para construir la resolución ^{[2] [3]} del módulo trivial a través del complejo ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0}$

dando el cálculo de cohomología de grupo para cualquier módulo . Tenga en cuenta que el mapa de aumento le da al módulo trivial su estructura mediante ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$

Esta resolución da un cálculo de la cohomología del grupo ya que existe el isomorfismo de los grupos de cohomología.

${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$

mostrando que aplicar el functor al complejo anterior (sin eliminarlo ya que esta resolución es un cuasiisomorfismo ), da el cálculo ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

para

${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$

Por ejemplo, si , el módulo trivial, entonces , y , por lo tanto ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$

${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

ciclos explícitos

Los cociclos para la cohomología de grupo de un grupo cíclico se pueden dar explícitamente ^{[4] prop 2.3} usando la resolución de barra. Obtenemos un conjunto completo de generadores de -cociclos para impares como los mapas. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \omega _{a}:B_{l}\to k^{*}}$

dada por

${\displaystyle [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]\mapsto \zeta _{m}^{ai_{1}\left[{\frac {i_{2}+i_{3}}{m}}\right]\cdots \left[{\frac {i_{l-1}+i_{l}}{m}}\right]}}$

para impar, una raíz -ésima de la unidad primitiva , un campo que contiene raíces -ésimas de la unidad, y ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq m-1}$ ${\displaystyle \zeta _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]}$

para un número racional que denota el entero más grande no mayor que . Además, estamos usando la notación ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a/b}$

${\displaystyle B_{l}=\bigoplus _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq m-1}\mathbb {Z} G\cdot [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]}$

¿ Dónde hay un generador para ? Tenga en cuenta que para índices pares distintos de cero, los grupos de cohomología son triviales. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G=C_{m}}$ ${\displaystyle l}$

Cohomología de grupos libres.

Usando una resolución

Dado un conjunto, el grupo libre asociado tiene una resolución explícita ^[5] del módulo trivial que puede calcularse fácilmente. Observe el mapa de aumento. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G={\text{Free}}(S)={\underset {s\in S}{*}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

${\displaystyle {\text{aug}}:\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

tiene un kernel dado por el submódulo libre generado por el conjunto , por lo que ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle \{s-1:s\in S\}}$

${\displaystyle I_{S}=\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} [G]\cdot (s-1)}$.

Como este objeto es gratuito, esto da una resolución.

${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}\to 0}$

por lo tanto, la cohomología de grupo de con coeficientes en se puede calcular aplicando el functor al complejo , dando ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to 0}$

${\displaystyle H^{k}(G,\mathbb {Z} _{\text{triv}})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

esto se debe a que el mapa dual

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} _{\text{triv}})\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

envía cualquier morfismo de módulo ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

al morfismo inducido al componer la inclusión. Los únicos mapas a los que se envían son múltiplos del mapa de aumento, dando el primer grupo de cohomología. El segundo se puede encontrar observando los únicos otros mapas. ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \psi \in {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

Se puede generar a partir del envío de mapas para un fijo y del envío para cualquiera . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (s-1)\mapsto 1}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle (s'-1)\mapsto 0}$ ${\displaystyle s'\in S-\{s\}}$

Usando topología

La cohomología de grupo de grupos libres generados por letras se puede calcular fácilmente comparando la cohomología de grupo con su interpretación en topología. Recuerde que para cada grupo existe un espacio topológico , llamado espacio de clasificación del grupo, que tiene la propiedad ${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle \pi _{1}(BG)=G{\text{ and }}\pi _{k}(BG)=0{\text{ for }}k\geq 2}$

Además, tiene la propiedad de que su cohomología topológica es isomorfa a la cohomología de grupo.

${\displaystyle H^{k}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{k}(G,\mathbb {Z} )}$

dando una forma de calcular algunos grupos de cohomología de grupos. La nota podría ser reemplazada por cualquier sistema local que esté determinado por un mapa. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \pi _{1}(G)\to GL(V)}$

para algún grupo abeliano . En el caso de letras , esto se representa mediante una suma de círculos ^[6] que se puede demostrar usando el teorema de Van-Kampen , dando la cohomología del grupo ^[7] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{1}\vee \cdots \vee S^{1}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{n}&k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

Cohomología de grupo de una red integral.

Para una red integral de rango (por lo tanto, isomorfa a ), la cohomología de su grupo se puede calcular con relativa facilidad. Primero, porque , y tiene , que como grupos abelianos son isomorfos a , la cohomología del grupo tiene el isomorfismo ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle B\mathbb {Z} \cong S^{1}}$ ${\displaystyle B\mathbb {Z} \times B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{1}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(\Lambda ,\mathbb {Z} _{\text{triv}})\cong H^{k}(\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} )}$

con la cohomología integral de un toro de rango . ${\displaystyle n}$

Propiedades

En lo sucesivo, sea M un módulo G.

Secuencia larga exacta de cohomología

En la práctica, a menudo se calculan los grupos de cohomología utilizando el siguiente hecho: si

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

es una secuencia corta y exacta de G -módulos, luego se induce una secuencia larga y exacta:

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

Los llamados homomorfismos de conexión ,

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

se puede describir en términos de cocadenas no homogéneas de la siguiente manera. ^[8] Si está representado por un n -cociclo, entonces está representado por dónde se "levanta" una n -cocadena (es decir, es la composición de con el mapa sobreyectivo M → N ). ${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$ ${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$ ${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$ ${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle G^{n}\to M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Funcionalidad

La cohomología de grupo depende contravariantemente del grupo G , en el siguiente sentido: si f  : H → G es un homomorfismo de grupo , entonces tenemos un morfismo inducido naturalmente H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M ) (donde en este último, M se trata como un módulo H mediante f ). Este mapa se llama mapa de restricción . Si el índice de H en G es finito, también existe un mapa en la dirección opuesta, llamado mapa de transferencia , ^[9]

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

En grado 0, viene dado por el mapa.

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

Dado un morfismo de G -módulos M → N , se obtiene un morfismo de grupos de cohomología en H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N ).

Productos

De manera similar a otras teorías de cohomología en topología y geometría, como la cohomología singular o la cohomología de Rham , la cohomología de grupo disfruta de una estructura de producto: existe un mapa natural llamado producto de copa :

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

para dos módulos G cualesquiera M y N . Esto produce una estructura de anillo anticonmutativa graduada en la que R es un anillo como o Para un grupo finito G , la parte par de este anillo de cohomología en la característica p , contiene mucha información sobre el grupo, la estructura de G , por ejemplo. la dimensión Krull de este anillo es igual al rango máximo de un subgrupo abeliano . ^[10] ${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$ ${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$

Por ejemplo, sea G el grupo con dos elementos, bajo la topología discreta. El espacio proyectivo real es un espacio de clasificación para G . Sea el campo de dos elementos. Entonces ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

un polinomio k -álgebra en un solo generador, ya que este es el anillo de cohomología celular de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

fórmula de künneth

Si M = k es un campo, entonces H* ( G ; k ) es un k -álgebra graduada y la cohomología de un producto de grupos está relacionada con los de los grupos individuales mediante una fórmula de Künneth :

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

Por ejemplo, si G es un 2-grupo abeliano elemental de rango r , y luego la fórmula de Künneth muestra que la cohomología de G es un polinomio k -álgebra generado por r clases en H ¹ ( G ; k ). ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

Homología versus cohomología

En cuanto a otras teorías de cohomología, como la cohomología singular , la cohomología de grupo y la homología están relacionadas entre sí mediante una secuencia corta y exacta ^[11]

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

donde A está dotado de la acción G trivial y el término de la izquierda es el primer grupo Ext .

Productos fusionados

Dado un grupo A que es el subgrupo de dos grupos G ₁ y G ₂ , la homología del producto amalgamado (con coeficientes enteros) se encuentra en una secuencia larga y exacta. ${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

La homología de se puede calcular usando esto: ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Esta secuencia exacta también se puede aplicar para mostrar que la homología del grupo lineal especial concuerda para un campo infinito k . ^[12] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$

Cambio de grupo

La secuencia espectral de Hochschild-Serre relaciona la cohomología de un subgrupo normal N de G y el cociente G/N con la cohomología del grupo G (para grupos (pro) finitos G ). De ahí se obtiene la secuencia exacta inflación-restricción .

Cohomología del espacio de clasificación.

La cohomología de grupo está estrechamente relacionada con las teorías de cohomología topológica, como la cohomología de gavilla , mediante un isomorfismo ^[13]

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

La expresión de la izquierda es un espacio de clasificación para . Es un espacio de Eilenberg-MacLane (es decir, un espacio cuyo grupo fundamental es y cuyos grupos de homotopía superior desaparecen). ^[d] Los espacios de clasificación para y son la 1 esfera S ¹ , espacio proyectivo real infinito y espacios de lentes , respectivamente. En general, se puede construir como el cociente , donde es un espacio contráctil sobre el cual se actúa libremente. Sin embargo, no suele tener una descripción geométrica fácilmente manejable. ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle EG/G}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

De manera más general, se puede adjuntar a cualquier módulo un sistema de coeficientes local y el isomorfismo anterior se generaliza a un isomorfismo ^[14] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

Más ejemplos

Productos semidirectos de grupos.

Existe una forma de calcular el producto semidirecto de grupos utilizando la topología de fibraciones y las propiedades de los espacios de Eilenberg-Maclane. Recuerde que para un producto semidirecto de grupos hay una secuencia corta exacta de grupos asociada ${\displaystyle G=N\rtimes H}$

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

Usando los espacios de Eilenberg-Maclane asociados hay una fibración de Serre

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

que puede pasar por una secuencia espectral de Serre . Esto da una página ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

que proporciona información sobre la cohomología del grupo de los grupos de cohomología del grupo de . Tenga en cuenta que este formalismo se puede aplicar de una manera puramente teórica de grupos utilizando la secuencia espectral Lyndon-Hochschild-Serre . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,N}$

Cohomología de grupos finitos.

Los grupos de cohomología superiores son torsión.

Los grupos de cohomología H ⁿ ( G , M ) de grupos finitos G son todos torsión para todo n ≥1. De hecho, según el teorema de Maschke , la categoría de representaciones de un grupo finito es semisimple sobre cualquier campo de característica cero (o más generalmente, cualquier campo cuya característica no divida el orden del grupo), por lo tanto, considerar la cohomología del grupo como una derivada functor en esta categoría abeliana , se obtiene que es cero. El otro argumento es que sobre un campo de característica cero, el álgebra de grupo de un grupo finito es una suma directa de álgebras matriciales (posiblemente sobre álgebras de división que son extensiones del campo original), mientras que un álgebra matricial es equivalente de Morita a su base. campo y por lo tanto tiene cohomología trivial.

Si el orden de G es invertible en un módulo G M (por ejemplo, si M es un espacio vectorial), el mapa de transferencia puede usarse para mostrar que para Una aplicación típica de este hecho es la siguiente: la cohomología exacta larga secuencia de la secuencia exacta corta (donde los tres grupos tienen una acción G trivial ) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$ ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0}$

produce un isomorfismo

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

cohomología de tate

Los grupos de cohomología de Tate combinan homología y cohomología de un grupo finito G :

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

donde es inducido por el mapa de normas: ${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

La cohomología de Tate disfruta de características similares, como secuencias largas y exactas y estructuras de productos. Una aplicación importante es la teoría de campos de clases , véase formación de clases .

La cohomología de Tate de grupos cíclicos finitos es 2-periódica en el sentido de que hay isomorfismos ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

Un criterio necesario y suficiente para una cohomología d -periódica es que los únicos subgrupos abelianos de G sean cíclicos. ^[15] Por ejemplo, cualquier producto semidirecto tiene esta propiedad para enteros coprimos n y m . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$

Aplicaciones

Teoría K algebraica y homología de grupos lineales.

La teoría K algebraica está estrechamente relacionada con la cohomología de grupos: en la construcción + de la teoría K de Quillen , la teoría K de un anillo R se define como los grupos de homotopía de un espacio. Aquí está el grupo lineal general infinito . El espacio tiene la misma homología que , es decir , la homología de grupo de GL( R ). En algunos casos, los resultados de estabilidad afirman que la secuencia de grupos de cohomología ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$ ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$ ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

se vuelve estacionario para n suficientemente grande , reduciendo así el cálculo de la cohomología del grupo lineal general infinito al de some . Estos resultados se han establecido cuando R es un campo ^[16] o para anillos de números enteros en un campo numérico . ^[17] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$

El fenómeno que estabiliza la homología grupal de una serie de grupos se denomina estabilidad homológica . Además del caso que acabamos de mencionar, esto se aplica a otros grupos, como los grupos simétricos o los grupos de clases de mapeo . ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$

Representaciones proyectivas y extensiones de grupo.

En mecánica cuántica a menudo tenemos sistemas con un grupo de simetría. Esperamos una acción de en el espacio de Hilbert por matrices unitarias. Podríamos esperarlo, pero las reglas de la mecánica cuántica solo requieren ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle U(g).}$ ${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

donde hay una fase. Esta representación proyectiva de también puede considerarse como una representación convencional de una extensión grupal de by como se describe en la secuencia exacta ${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

Requerir asociatividad

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

lleva a

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

que reconocemos como la afirmación de que, es decir, es un cociclo que toma valores en Podemos preguntarnos si podemos eliminar las fases redefiniendo ${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

que cambia

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Esto lo reconocemos como un desplazamiento por una cofrontera. Por lo tanto, las distintas representaciones proyectivas se clasifican por. Tenga en cuenta que si permitimos que el grupo actúe sobre las fases mismas (por ejemplo, la inversión del tiempo conjugaría la fase en forma compleja), entonces el primer término en cada una de las operaciones de colímite tendrá un efecto sobre ella como en las definiciones generales de colímite de las secciones anteriores. Por ejemplo, ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$ ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Extensiones

Cohomología de grupos topológicos.

Dado un grupo topológico G , es decir, un grupo equipado con una topología tal que producto e inverso son aplicaciones continuas, es natural considerar módulos G continuos , es decir, que requieren que la acción

${\displaystyle G\times M\to M}$

es un mapa continuo. Para tales módulos, se puede considerar nuevamente el funtor derivado de . Un caso especial que ocurre en álgebra y teoría de números es cuando G es profinito, por ejemplo, el grupo absoluto de Galois de un campo. La cohomología resultante se llama cohomología de Galois . ${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$

Cohomología de grupo no abeliano

Usando las G -invariantes y las 1-cocadenas, se puede construir la cohomología del primer y cero grupo para un grupo G con coeficientes en un grupo no abeliano. Específicamente, un grupo G es un grupo A (no necesariamente abeliano) junto con una acción de G.

La cohomología cero de G con coeficientes en A se define como el subgrupo

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

de elementos de A fijados por G .

La primera cohomología de G con coeficientes en A se define como 1-cociclos módulo una relación de equivalencia en lugar de por 1-colímites. La condición para que un mapa sea un 1-cociclo es que y si hay una a en A tal que . En general, no es un grupo cuando A es no abeliano. En cambio, tiene la estructura de un conjunto puntiagudo ; surge exactamente la misma situación en el grupo de homotopía 0 , que para un espacio topológico general no es un grupo sino un conjunto puntiagudo. Tenga en cuenta que un grupo es en particular un conjunto puntiagudo, con el elemento identidad como punto distinguido. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$ ${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$ ${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$ ${\displaystyle H^{1}(G,A)}$ ${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$

Usando cálculos explícitos, todavía se obtiene una secuencia exacta larga truncada en cohomología. Específicamente, dejemos

${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1\,}$

ser una secuencia corta exacta de G -grupos, entonces hay una secuencia exacta de conjuntos puntiagudos

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C).\,}$

Historia y relación con otros campos.

La cohomología de baja dimensión de un grupo se estudió clásicamente de otras formas, mucho antes de que se formulara la noción de cohomología de grupo en 1943-1945. El primer teorema del tema puede identificarse como el Teorema 90 de Hilbert en 1897; esto se reformuló en las ecuaciones de Emmy Noether en la teoría de Galois (una apariencia de cociclos para ). La idea de conjuntos de factores para el problema de extensión para grupos (conectados con ) surgió en el trabajo de Otto Hölder (1893), en el estudio de representaciones proyectivas de Issai Schur de 1904, en el tratamiento de Otto Schreier de 1926 y en Richard Brauer . Estudio de 1928 sobre álgebras simples y el grupo de Brauer . Se puede encontrar una discusión más completa de esta historia en (Weibel 1999, págs. 806–811). ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

En 1941, mientras estudiaba (que juega un papel especial en los grupos), Heinz Hopf descubrió lo que ahora se llama la fórmula de homología integral de Hopf (Hopf 1942), que es idéntica a la fórmula de Schur para el multiplicador de Schur de un grupo finito y presentado de forma finita: ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R],}$

donde y F es un grupo libre. ${\displaystyle G\cong F/R}$

El resultado de Hopf condujo al descubrimiento independiente de la cohomología de grupo por parte de varios grupos en 1943-45: Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en los Estados Unidos (Rotman 1995, p. 358); Hopf y Beno Eckmann en Suiza; Hans Freudenthal en los Países Bajos (Weibel 1999, p. 807); y Dmitry Faddeev en la Unión Soviética (Arslanov 2011, p. 29, Faddeev 1947). La situación era caótica porque la comunicación entre estos países era difícil durante la Segunda Guerra Mundial.

Desde un punto de vista topológico, la homología y cohomología de G se definieron primero como la homología y cohomología de un modelo para el espacio de clasificación topológica BG como se discutió anteriormente. En la práctica, esto significó utilizar la topología para producir los complejos de cadenas utilizados en las definiciones algebraicas formales. Desde el punto de vista de la teoría de módulos, esto se integró en la teoría del álgebra homológica de Cartan - Eilenberg a principios de la década de 1950.

La aplicación de la teoría algebraica de números a la teoría de campos de clases proporcionó teoremas válidos para extensiones generales de Galois (no sólo extensiones abelianas ). La parte cohomológica de la teoría del campo de clases fue axiomatizada como la teoría de las formaciones de clases . A su vez, esto llevó a la noción de cohomología de Galois y cohomología étale (que se basa en ella) (Weibel 1999, p. 822). Se han realizado algunos refinamientos en la teoría posterior a 1960, como los ciclos continuos y la redefinición de John Tate , pero los lineamientos básicos siguen siendo los mismos. Este es un campo amplio, y ahora básico en las teorías de grupos algebraicos .

La teoría análoga para las álgebras de Lie , llamada cohomología del álgebra de Lie , fue desarrollada por primera vez a finales de la década de 1940 por Claude Chevalley y Eilenberg, y Jean-Louis Koszul (Weibel 1999, p. 810). Es formalmente similar, utilizando la definición correspondiente de invariante para la acción de un álgebra de Lie. Se aplica mucho en la teoría de la representación y está estrechamente relacionado con la cuantificación BRST de la física teórica .

La teoría de la cohomología de grupos también tiene una aplicación directa en la física de la materia condensada. Así como la teoría de grupos es la base matemática de las fases espontáneas de ruptura de simetría , la teoría de la cohomología de grupos es la base matemática de una clase de estados cuánticos de la materia: estados entrelazados de corto alcance con simetría. Los estados entrelazados de corto alcance con simetría también se conocen como estados topológicos protegidos por simetría . ^{[18] [19]}

Ver también

• Secuencia espectral Lyndon-Hochschild-Serre
• Grupo N (teoría de categorías)
• Torre Póstnikov

Notas

1. Esto utiliza que la categoría de módulos G tiene suficientes inyectivos , ya que es isomorfa a la categoría de todos los módulos sobre el anillo de grupo. ${\displaystyle \mathbb {Z} [G].}$
2. Recuerde que el producto tensorial se define siempre que N es un módulo derecho y M es un módulo izquierdo . Si N es un módulo izquierdo , lo convertimos en un módulo derecho estableciendo ag = g ⁻¹ a para cada g ∈ G y cada a ∈ N . Esta convención permite definir el producto tensorial en el caso de que tanto M como N sean módulos izquierdos . ${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
3. Por ejemplo, los dos son isomórficos si todos los primos p tales que G tiene p -torsión son invertibles en k . Véase (Knudson 2001), Teorema A.1.19 para una declaración precisa.
4. Para esto, se supone que G es discreto. Para grupos topológicos generales, . ${\displaystyle \pi _{n}(BG)=\pi _{n-1}(G)}$

Referencias

1. Página 62 de Milne 2008 o sección VII.3 de Serre 1979
2. Tonto, David Steven; Foote, Richard M. (14 de julio de 2003). Álgebra abstracta (Tercera ed.). Hoboken, Nueva Jersey. pag. 801.ISBN​ 0-471-43334-9. OCLC  52559229.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Brown, Kenneth S. (6 de diciembre de 2012). Cohomología de grupos . Nueva York, Nueva York. pag. 35.ISBN​ 978-1-4684-9327-6. OCLC  853269200.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Huang, Hua-Lin; Liu, Gongxiang; Sí, Yu (23 de junio de 2012). "Las estructuras monoidales trenzadas en una clase de categorías Gr lineales". arXiv : 1206.5402v3 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
5. Iguales, Leonard. (1991). La cohomología de los grupos. Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 0-19-853580-5. OCLC  23732584.
6. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 43.ISBN​ 0-521-79160-X. OCLC  45420394.
7. Webb, Pedro. "Introducción a la cohomología de grupos" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 6 de mayo de 2020.
8. Observación II.1.21 de Milne 2008
9. (Brown 1972), §III.9
10. Quillén, Daniel. El espectro de un anillo de cohomología equivariante. I.II. Ana. Matemáticas. (2) 94, 549-572, 573-602 (1971).
11. (Brown 1972), Ejercicio III.1.3
12. (Knudson 2001), Capítulo 4
13. Stasheff, James D. (1 de julio de 1978). "Cohomología continua de grupos y clasificación de espacios". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 84 (4): 513–531. doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14488-7 . ISSN  0002-9904.
14. (Adem y Milgram 2004), Capítulo II.
15. (Brown 1972), §VI.9
16. Suslin, Andrei A. (1984), "Homología de clases características y teoría K de Milnor", Teoría K algebraica, teoría de números, geometría y análisis , Lecture Notes in Mathematics , vol. 1046, Springer, págs. 357–375 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$
17. En este caso, los coeficientes son racionales. Borel, Armand (1974). "Cohomología real estable de grupos aritméticos". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Serie 4. 7 (2): 235–272. doi : 10.24033/asens.1269 .
18. Wang, Juven C.; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (22 de enero de 2015). "Representación de la teoría de campo de invariantes topológicos protegidos por simetría de calibre-gravedad, cohomología de grupo y más". Cartas de revisión física . 114 (3): 031601. arXiv : 1405.7689 . Código bibliográfico : 2015PhRvL.114c1601W. doi : 10.1103/physrevlett.114.031601. ISSN  0031-9007. PMID  25658993. S2CID  2370407.
19. Wen, Xiao-Gang (4 de mayo de 2015). "Construcción de estados triviales protegidos por simetría bosónica y sus invariantes topológicas mediante modelos σ no lineales G × SO (∞)". Revisión física B. 91 (20): 205101. arXiv : 1410.8477 . Código Bib : 2015PhRvB..91t5101W. doi : 10.1103/physrevb.91.205101. ISSN  1098-0121. S2CID  13950401.

Trabajos citados

• Adem, Alejandro ; Milgram, R. James (2004), Cohomología de grupos finitos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 309 (2ª ed.), Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-06280-7, ISBN 978-3-540-20283-7, SEÑOR  2035696, Zbl  1061.20044
• Arslanov, MM (2011), Математическая жизнь в Казани в годы войны, Mat. Pros., Ser. 3, vol. 15, MCCME, págs. 20–34, ISBN 978-5-94057-741-6
• Brown, Kenneth S. (1972), Cohomología de grupos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 87, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1, señor  0672956
• Faddeev, DK (1947), О фактор-системах в абелевых группах с операторами, Dokl. Akád. Nauk SSSR , vol. 58, Departamento de Leningrado del Instituto de Matemáticas VA Steklov, Academia de Ciencias de la URSS, págs. 361–364, ISSN  0002-3264
• Hopf, Heinz (1942), "Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe", Commentarii Mathematici Helvetici , 14 (1): 257–309, doi :10.1007/BF02565622, JFM  68.0503.01, MR  0006510, S2CID  122819784, Zbl  002 7.09503
• Knudson, Kevin P. (2001), Homología de grupos lineales , Progress in Mathematics, vol. 193, Birkhäuser Verlag, Zbl  0997.20045
• Milne, James (2013), "Capítulo II: La cohomología de grupos", Teoría de campos de clases , vol. v4.02
• Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 148 (4ª ed.), Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-4176-8, ISBN 978-0-387-94285-8, señor  1307623
• Serre, Jean-Pierre (1979). "Capítulo VII". Campos locales . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90424-5. SEÑOR  0554237. Zbl  0423.12016.
• Weibel, Charles A. (1999), "Historia del álgebra homológica", Historia de la topología , Cambridge University Press, págs. 797–836, CiteSeerX  10.1.1.39.9076 , doi :10.1016/B978-044482375-5/50029-8 , ISBN 978-0-444-82375-5, SEÑOR  1721123

Otras lecturas

• Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne , Lecture Notes in Mathematics, vol. 5 (Quinta ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0108758, ISBN 978-3-540-58002-7, señor  1324577
• Shatz, Stephen S. (1972), Grupos profinitos, aritmética y geometría , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, señor  0347778
• Capítulo 6 de Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.