En matemáticas , un sistema factorial (a veces llamado conjunto factorial ) es una herramienta fundamental de la teoría clásica de Otto Schreier para el problema de extensión de grupos . [1] [2] Consiste en un conjunto de automorfismos y una función binaria en un grupo que satisface cierta condición (la llamada condición de cociclo ). De hecho, un sistema factorial constituye una realización de los cociclos en el segundo grupo de cohomología en la cohomología de grupos . [3]
Supongamos que G es un grupo y A es un grupo abeliano . Para una extensión de grupo
existe un sistema factorial que consiste en una función f : G × G → A y homomorfismo σ : G → Aut( A ) tal que hace del producto cartesiano G × A un grupo X como
Por lo tanto, f debe ser un "grupo 2-cociclo" (y por lo tanto definir un elemento en H 2 ( G , A ), como se estudia en la cohomología de grupos ). De hecho, A no tiene por qué ser abeliano, pero la situación es más complicada para los grupos no abelianos [4]
Si f es trivial, entonces X se divide en A , de modo que X es el producto semidirecto de G con A.
Si se da un álgebra de grupo , entonces un sistema de factores f modifica esa álgebra a un álgebra de grupo oblicuo modificando la operación de grupo xy a f ( x , y ) xy .
Sea G un grupo y L un cuerpo en el que G actúa como automorfismos. Un sistema de cociclo o factor (Noether) [5] : 31 es una función c : G × G → L * que satisface
Los cociclos son equivalentes si existe algún sistema de elementos a : G → L * con
Cociclos de la forma
se llaman cociclos divididos . Los cociclos bajo multiplicación módulo cociclos divididos forman un grupo, el segundo grupo de cohomología H 2 ( G , L * ).
Supongamos que G es el grupo de Galois de una extensión de cuerpo L / K . Un sistema de factores c en H2 ( G , L * ) da lugar a un álgebra de productos cruzados [5] : 31A , que es un K - álgebra que contiene a L como subcuerpo, generado por los elementos λ en L y u g con multiplicación
Los sistemas de factores equivalentes corresponden a un cambio de base en A sobre K. Podemos escribir
El álgebra de productos cruzados A es un álgebra central simple (CSA) de grado igual a [ L : K ]. [6] Se cumple la inversa: toda álgebra central simple sobre K que se descomponga sobre L y tal que deg A = [ L : K ] surge de esta manera. [6] El producto tensorial de las álgebras corresponde a la multiplicación de los elementos correspondientes en H 2 . Obtenemos así una identificación del grupo de Brauer , donde los elementos son clases de CSA sobre K , con H 2 . [7] [8]
Restringámonos aún más al caso en que L / K es cíclico con grupo de Galois G de orden n generado por t . Sea A un producto cruzado ( L , G , c ) con conjunto de factores c . Sea u = u t el generador en A correspondiente a t . Podemos definir los otros generadores
y entonces tenemos u n = a en K . Este elemento a especifica un cociclo c por [5] : 33
Por lo tanto, tiene sentido denotar A simplemente por ( L , t , a ). Sin embargo, a no está especificado de forma única por A ya que podemos multiplicar u por cualquier elemento λ de L * y luego a se multiplica por el producto de los conjugados de λ. Por lo tanto, A corresponde a un elemento del grupo de residuos de la norma K * / N L / K L * . Obtenemos los isomorfismos