En matemáticas , una variedad de Haken es una variedad 3-variedad compacta , P²-irreducible , que es suficientemente grande , es decir, que contiene una superficie incompresible de dos lados correctamente embebida . A veces, solo se consideran variedades de Haken orientables, en cuyo caso una variedad de Haken es una variedad 3-variedad compacta, orientable e irreducible que contiene una superficie incompresible orientable.
Se dice que una variedad 3-variedad cubierta finitamente por una variedad Haken es virtualmente Haken . La conjetura de Haken virtualmente afirma que toda variedad 3-variedad compacta e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken. Esta conjetura fue demostrada por Ian Agol . [1]
Las variedades de Haken fueron introducidas por Wolfgang Haken (1961). Haken (1962) demostró que las variedades de Haken tienen una jerarquía , donde se pueden dividir en 3-bolas a lo largo de superficies incompresibles. Haken también demostró que había un procedimiento finito para encontrar una superficie incompresible si la 3-variedad tenía una. William Jaco y Ulrich Oertel (1984) dieron un algoritmo para determinar si una 3-variedad era Haken.
Las superficies normales son omnipresentes en la teoría de variedades de Haken y su estructura simple y rígida conduce de forma bastante natural a algoritmos.
Consideraremos únicamente el caso de variedades Haken orientables , ya que esto simplifica la discusión; un entorno regular de una superficie orientable en una 3-variedad orientable es simplemente una versión "engrosada" de la superficie, es decir, un I -fibrado trivial . Por lo tanto, el entorno regular es una subvariedad tridimensional con un borde que contiene dos copias de la superficie.
Dada una variedad orientable de Haken M , por definición contiene una superficie orientable e incompresible S . Tomemos la vecindad regular de S y eliminemos su interior de M , lo que da como resultado M' . En efecto, hemos cortado M a lo largo de la superficie S . (Esto es análogo, en una dimensión menos, a cortar una superficie a lo largo de un círculo o arco). Es un teorema que cualquier variedad compacta orientable con un componente de contorno que no sea una esfera tiene un primer grupo de homología infinito , lo que implica que tiene una superficie incompresible no separable de 2 lados correctamente incrustada, y por lo tanto es nuevamente una variedad de Haken. Por lo tanto, podemos elegir otra superficie incompresible en M' , y cortar a lo largo de ella. Si eventualmente esta secuencia de cortes da como resultado una variedad cuyas piezas (o componentes) son solo 3-bolas, llamamos a esta secuencia una jerarquía.
La jerarquía hace que la demostración de ciertos tipos de teoremas sobre variedades de Haken sea una cuestión de inducción. Se demuestra el teorema para 3 bolas. Luego se demuestra que si el teorema es cierto para las piezas resultantes de un corte de una variedad de Haken, entonces es cierto para esa variedad de Haken. La clave aquí es que el corte tiene lugar a lo largo de una superficie que era muy "buena", es decir, incompresible. Esto hace que la demostración del paso de inducción sea factible en muchos casos.
Haken esbozó una prueba de un algoritmo para comprobar si dos variedades de Haken eran homeomorfas o no. Su esquema fue completado por los esfuerzos sustanciales de Friedhelm Waldhausen , Klaus Johannson, Geoffrey Hemion, Sergeĭ Matveev, et al. Dado que existe un algoritmo para comprobar si una 3-variedad es Haken (cf. Jaco–Oertel), el problema básico del reconocimiento de 3-variedades puede considerarse resuelto para las variedades de Haken.
Friedhelm Waldhausen (1968) demostró que las variedades de Haken cerradas son topológicamente rígidas : aproximadamente, cualquier equivalencia homotópica de las variedades de Haken es homotópica a un homeomorfismo (para el caso de frontera, se necesita una condición sobre la estructura periférica). Por lo tanto, estas tres variedades están completamente determinadas por su grupo fundamental. Además, Waldhausen demostró que los grupos fundamentales de las variedades de Haken tienen problemas verbales resolubles; esto también es cierto para las variedades de Haken virtualmente.
La jerarquía jugó un papel crucial en el teorema de hiperbolización de William Thurston para las variedades de Haken, parte de su revolucionario programa de geometrización para 3-variedades.
Johannson (1979) demostró que las variedades tridimensionales de Haken atoroidales , anulares e irreducibles en el contorno tienen grupos de clases de aplicación finitos . Este resultado se puede recuperar a partir de la combinación de la rigidez de Mostow con el teorema de geometrización de Thurston.
Téngase en cuenta que algunas familias de ejemplos están contenidas en otras.