modelo ising

Modelo matemático de ferromagnetismo en mecánica estadística.

El modelo de Ising (o modelo Lenz-Ising ), llamado así en honor a los físicos Ernst Ising y Wilhelm Lenz , es un modelo matemático de ferromagnetismo en mecánica estadística . El modelo consta de variables discretas que representan momentos dipolares magnéticos de "espines" atómicos que pueden estar en uno de dos estados (+1 o −1). Los espines se organizan en un gráfico, generalmente una red (donde la estructura local se repite periódicamente en todas las direcciones), lo que permite que cada espín interactúe con sus vecinos. Los giros vecinos que concuerdan tienen una energía menor que los que no están de acuerdo; el sistema tiende a la energía más baja pero el calor perturba esta tendencia, creando así la posibilidad de diferentes fases estructurales. El modelo permite identificar transiciones de fase como un modelo simplificado de la realidad. El modelo de Ising de celosía cuadrada bidimensional es uno de los modelos estadísticos más simples para mostrar una transición de fase . ^[1]

El modelo de Ising fue inventado por el físico Wilhelm Lenz  (1920), quien se lo planteó como problema a su alumno Ernst Ising. El modelo unidimensional de Ising fue resuelto solo por Ising (1925) en su tesis de 1924; ^[2] no tiene transición de fase. El modelo de Ising de celosía cuadrada bidimensional es mucho más complejo y Lars Onsager  (1944) le dio una descripción analítica mucho más tarde. Suele resolverse mediante un método de matriz de transferencia , aunque existen diferentes enfoques, más relacionados con la teoría cuántica de campos .

En dimensiones mayores que cuatro, la transición de fase del modelo de Ising se describe mediante la teoría del campo medio . El modelo de Ising para dimensiones mayores también se exploró con respecto a varias topologías de árboles a finales de los años 1970, culminando en una solución exacta del modelo de campo cero e independiente del tiempo de Barth (1981) para árboles de Cayley cerrados con relación de ramificación arbitraria, y por lo tanto , dimensionalidad arbitrariamente grande dentro de las ramas de los árboles. La solución a este modelo exhibió un comportamiento de transición de fase nuevo e inusual, junto con correlaciones de espín-espín de largo alcance y del vecino más cercano que no desaparecen, consideradas relevantes para grandes redes neuronales como una de sus posibles aplicaciones.

El problema de Ising sin un campo externo se puede formular de manera equivalente como un problema de corte máximo de gráfico (Max-Cut) que se puede resolver mediante optimización combinatoria .

Definición

Considere un conjunto de sitios de red, cada uno con un conjunto de sitios adyacentes (por ejemplo, un gráfico ) que forman una red de dimensiones. Para cada sitio de la red hay una variable discreta tal que representa el giro del sitio. Una configuración de giro es una asignación de valor de giro a cada sitio de la red. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k\in \Lambda }$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}\in \{-1,+1\}}$ ${\displaystyle {\sigma }=\{\sigma _{k}\}_{k\in \Lambda }}$

Para dos sitios adyacentes cualesquiera hay una interacción . Además, un sitio tiene un campo magnético externo que interactúa con él. La energía de una configuración viene dada por la función hamiltoniana. ${\displaystyle i,j\in \Lambda }$ ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle j\in \Lambda }$ ${\displaystyle h_{j}}$ ${\displaystyle {\sigma }}$

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j},}$$

donde la primera suma es sobre pares de giros adyacentes (cada par se cuenta una vez). La notación indica que los sitios y son vecinos más cercanos. El momento magnético está dado por . Tenga en cuenta que el signo en el segundo término del hamiltoniano anterior en realidad debería ser positivo porque el momento magnético del electrón es antiparalelo a su espín, pero el término negativo se usa convencionalmente. ^[3] La probabilidad de configuración viene dada por la distribución de Boltzmann con temperatura inversa : ${\displaystyle \langle ij\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \beta \geq 0}$

$${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}},}$$

donde y la constante de normalización ${\displaystyle \beta =1/(k_{\text{B}}T)}$

$${\displaystyle Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}}$$

es la función de partición . Para una función de los espines ("observable"), se denota por ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \langle f\rangle _{\beta }=\sum _{\sigma }f(\sigma )P_{\beta }(\sigma )}$$

el valor esperado (medio) de . ${\displaystyle f}$

Las probabilidades de configuración representan la probabilidad de que (en equilibrio) el sistema esté en un estado con configuración . ${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$

Discusión

El signo menos en cada término de la función hamiltoniana es convencional. Usando esta convención de signos, los modelos de Ising se pueden clasificar según el signo de la interacción: si, para un par i ,  j ${\displaystyle H(\sigma )}$

• ${\displaystyle J_{ij}>0}$, la interacción se llama ferromagnética ,
• ${\displaystyle J_{ij}<0}$, la interacción se llama antiferromagnética ,
• ${\displaystyle J_{ij}=0}$, los giros no interactúan .

El sistema se llama ferromagnético o antiferromagnético si todas las interacciones son ferromagnéticas o todas son antiferromagnéticas. Los modelos Ising originales eran ferromagnéticos y todavía se supone a menudo que "modelo Ising" significa un modelo Ising ferromagnético.

En un modelo ferromagnético de Ising, los espines desean estar alineados: las configuraciones en las que los espines adyacentes son del mismo signo tienen mayor probabilidad. En un modelo antiferromagnético, los espines adyacentes tienden a tener signos opuestos.

La convención de signos de H (σ) también explica cómo un sitio de espín j interactúa con el campo externo. Es decir, el sitio de giro quiere alinearse con el campo externo. Si:

• ${\displaystyle h_{j}>0}$, el sitio de giro j desea alinearse en la dirección positiva,
• ${\displaystyle h_{j}<0}$, el sitio de giro j desea alinearse en la dirección negativa,
• ${\displaystyle h_{j}=0}$, no hay influencia externa en el lugar de giro.

Simplificaciones

Los modelos Ising a menudo se examinan sin que un campo externo interactúe con la red, es decir, h  = 0 para todos los j en la red Λ. Usando esta simplificación, el hamiltoniano se convierte en

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

Cuando el campo externo es cero en todas partes, h  = 0, el modelo de Ising es simétrico al cambiar el valor del espín en todos los sitios de la red; un campo distinto de cero rompe esta simetría.

Otra simplificación común es suponer que todos los vecinos más cercanos ⟨ ij ⟩ tienen la misma fuerza de interacción. Entonces podemos establecer Jij ₌ J para todos los pares i , j  en Λ. En este caso, el hamiltoniano se simplifica aún más a

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

Conexión al gráfico de corte máximo

Un subconjunto S del conjunto de vértices V(G) de un gráfico no dirigido ponderado G determina un corte del gráfico G en S y su subconjunto complementario G\S. El tamaño del corte es la suma de los pesos de los bordes entre S y G\S. Un tamaño de corte máximo es al menos el tamaño de cualquier otro corte, variando S.

Para el modelo de Ising sin un campo externo en un gráfico G, el hamiltoniano se convierte en la siguiente suma sobre los bordes del gráfico E(G)

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$.

Aquí cada vértice i del gráfico es un sitio de giro que toma un valor de giro . Una configuración de giro dada divide el conjunto de vértices en dos subconjuntos dependientes, aquellos con giro hacia arriba y aquellos con giro hacia abajo . Denotamos por el conjunto dependiente de aristas que conecta los dos subconjuntos de vértices complementarios y . El tamaño del corte para bipartir el gráfico no dirigido ponderado G se puede definir como ${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle V(G)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle \delta (V^{+})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$ ${\displaystyle \delta (V^{+})}$

$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij},}$$

donde denota un peso del borde y se introduce la escala 1/2 para compensar el doble conteo de los mismos pesos . ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$

las identidades

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}}$$

donde la suma total en el primer término no depende de , implica que minimizar en es equivalente a minimizar . Por lo tanto , definir el peso del borde convierte el problema de Ising sin un campo externo en un problema de gráfico Max-Cut ^[4] que maximiza el tamaño del corte , que se relaciona con el hamiltoniano de Ising de la siguiente manera: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}}$ ${\displaystyle W_{ij}=-J_{ij}}$ ${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$

$${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.}$$

Preguntas

Una cantidad significativa de preguntas estadísticas sobre este modelo se encuentran en el límite de una gran cantidad de giros:

• En una configuración típica, ¿la mayoría de los espines son +1 o −1, o están divididos en partes iguales?
• Si un giro en cualquier posición i es 1, ¿cuál es la probabilidad de que el giro en la posición j también sea 1?
• Si se cambia β , ¿hay una transición de fase?
• En una red Λ, ¿cuál es la dimensión fractal de la forma de un gran grupo de espines +1?

Propiedades básicas e historia.

Visualización de la medida de probabilidad invariante de traducción del modelo unidimensional de Ising

El caso más estudiado del modelo de Ising es el modelo ferromagnético de campo cero invariante a la traducción en una red d -dimensional, es decir, Λ =  _{Z d , Jij} = ¹ , h  = 0  .

Sin transición de fase en una dimensión

En su tesis doctoral de 1924, Ising resolvió el modelo para el caso d  = 1, que puede considerarse como una red horizontal lineal donde cada sitio solo interactúa con su vecino izquierdo y derecho. En una dimensión, la solución no admite transición de fase . ^[5] Es decir, para cualquier β positivo, las correlaciones ⟨σ _i σ _j ⟩ decaen exponencialmente en | yo  −  j |:

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp \left(-c(\beta )|i-j|\right),}$$

y el sistema está desordenado. Sobre la base de este resultado, concluyó incorrectamente ^{[ cita necesaria ]} que este modelo no exhibe comportamiento de fase en ninguna dimensión.

Transición de fase y solución exacta en dos dimensiones.

El modelo de Ising sufre una transición de fase entre una fase ordenada y una desordenada en 2 dimensiones o más. Es decir, el sistema está desordenado para β pequeño, mientras que para β grande el sistema exhibe orden ferromagnético:

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.}$$

Esto fue demostrado por primera vez por Rudolf Peierls en 1936, ^[6] utilizando lo que ahora se llama argumento de Peierls .

Lars Onsager (1944) resolvió analíticamente el modelo de Ising sobre una red cuadrada bidimensional sin campo magnético  . Onsager demostró que las funciones de correlación y la energía libre del modelo de Ising están determinadas por un fermión reticular que no interactúa. Onsager anunció la fórmula para la magnetización espontánea del modelo bidimensional en 1949, pero no dio una derivación. Yang (1952) dio la primera prueba publicada de esta fórmula, utilizando una fórmula límite para los determinantes de Fredholm , probada en 1951 por Szegő en respuesta directa al trabajo de Onsager. ^[7]

Desigualdades de correlación

Se han derivado rigurosamente una serie de desigualdades de correlación para las correlaciones de espín de Ising (para estructuras reticulares generales), lo que permitió a los matemáticos estudiar el modelo de Ising tanto dentro como fuera de la criticidad.

Desigualdad de Griffiths

Dado cualquier subconjunto de espines y en la red, se cumple la siguiente desigualdad, ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

$${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle ,}$$

lo que significa que los espines están correlacionados positivamente en el ferroimán de Ising. Una aplicación inmediata de esto es que la magnetización de cualquier conjunto de espines aumenta con respecto a cualquier conjunto de constantes de acoplamiento . ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$ ${\displaystyle J_{B}}$

Desigualdad de Simon-Lieb

La desigualdad de Simon-Lieb ^[8] establece que para cualquier conjunto que se desconecte (por ejemplo, el límite de una caja entre estar dentro de la caja y estar fuera), ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \langle \sigma _{x}\sigma _{y}\rangle \leq \sum _{z\in S}\langle \sigma _{x}\sigma _{z}\rangle \langle \sigma _{z}\sigma _{y}\rangle .}$$

Esta desigualdad se puede utilizar para establecer la nitidez de la transición de fase para el modelo de Ising. ^[9]

Desigualdad FKG

Esta desigualdad se demuestra primero para un tipo de modelo de percolación positivamente correlacionado , del cual incluye una representación del modelo de Ising. Se utiliza para determinar las temperaturas críticas del modelo plano de Potts utilizando argumentos de percolación (que incluye el modelo de Ising como caso especial). ^[10]

Significado historico

Uno de los argumentos de Demócrito en apoyo del atomismo fue que los átomos explican naturalmente los límites de fase agudos observados en los materiales ^{[ cita requerida ]} , como cuando el hielo se derrite en agua o el agua se convierte en vapor. Su idea era que pequeños cambios en las propiedades a escala atómica conducirían a grandes cambios en el comportamiento agregado. Otros creían que la materia es inherentemente continua, no atómica, y que las propiedades a gran escala de la materia no se pueden reducir a propiedades atómicas básicas.

Si bien las leyes de los enlaces químicos dejaron claro a los químicos del siglo XIX que los átomos eran reales, entre los físicos el debate continuó hasta principios del siglo XX. Los atomistas, en particular James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann , aplicaron la formulación de Hamilton de las leyes de Newton a grandes sistemas y descubrieron que el comportamiento estadístico de los átomos describe correctamente los gases a temperatura ambiente. Pero la mecánica estadística clásica no tenía en cuenta todas las propiedades de los líquidos y sólidos, ni de los gases a baja temperatura.

Una vez formulada la mecánica cuántica moderna , el atomismo ya no estaba en conflicto con la experimentación, pero esto no condujo a una aceptación universal de la mecánica estadística, que iba más allá del atomismo. Josiah Willard Gibbs había dado un formalismo completo al reproducir las leyes de la termodinámica a partir de las leyes de la mecánica. Pero muchos argumentos erróneos sobrevivieron desde el siglo XIX, cuando la mecánica estadística era considerada dudosa. Los fallos en la intuición surgieron principalmente del hecho de que el límite de un sistema estadístico infinito tiene muchas leyes cero-uno que están ausentes en los sistemas finitos: un cambio infinitesimal en un parámetro puede conducir a grandes diferencias en el comportamiento global y agregado, como afirma Demócrito. esperado.

Sin transiciones de fase en volumen finito

A principios del siglo XX, algunos creían que la función de partición nunca podría describir una transición de fase, basándose en el siguiente argumento:

1. La función de partición es una suma de e ^{−β E} en todas las configuraciones.
2. La función exponencial es analítica en todas partes como función de β.
3. La suma de funciones analíticas es una función analítica.

Este argumento funciona para una suma finita de exponenciales y establece correctamente que no hay singularidades en la energía libre de un sistema de tamaño finito. Para sistemas que están en el límite termodinámico (es decir, para sistemas infinitos), la suma infinita puede conducir a singularidades. La convergencia al límite termodinámico es rápida, de modo que el comportamiento de fase ya es evidente en una red relativamente pequeña, aunque las singularidades se suavizan por el tamaño finito del sistema.

Esto fue establecido por primera vez por Rudolf Peierls en el modelo de Ising.

Gotas de Peierls

Poco después de que Lenz e Ising construyeran el modelo de Ising, Peierls pudo demostrar explícitamente que se produce una transición de fase en dos dimensiones.

Para ello, comparó los límites de alta y baja temperatura. A temperatura infinita (β = 0) todas las configuraciones tienen la misma probabilidad. Cada giro es completamente independiente de cualquier otro, y si se trazan configuraciones típicas a temperatura infinita de modo que más/menos estén representados en blanco y negro, parecen nieve de televisión . Para temperaturas altas, pero no infinitas, existen pequeñas correlaciones entre posiciones vecinas, la nieve tiende a acumularse un poco, pero la pantalla permanece mirando al azar y no hay un exceso neto de blanco o negro.

Una medida cuantitativa del exceso es la magnetización , que es el valor medio del espín:

$${\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$$

Un argumento falso análogo al argumento de la última sección establece ahora que la magnetización en el modelo de Ising es siempre cero.

1. Cada configuración de giros tiene la misma energía que la configuración con todos los giros invertidos.
2. Entonces, para cada configuración con magnetización M hay una configuración con magnetización − M con igual probabilidad.
3. Por lo tanto, el sistema debería pasar la misma cantidad de tiempo en la configuración con magnetización M que con magnetización − M .
4. Entonces, la magnetización promedio (durante todo el tiempo) es cero.

Como antes, esto sólo prueba que la magnetización promedio es cero en cualquier volumen finito. Para un sistema infinito, es posible que las fluctuaciones no puedan empujar al sistema de un estado mayoritariamente positivo a uno mayoritariamente negativo con una probabilidad distinta de cero.

A temperaturas muy altas, la magnetización es cero, como ocurre a temperatura infinita. Para ver esto, observe que si el espín A tiene solo una pequeña correlación ε con el espín B, y B está débilmente correlacionado con C, pero C es independiente de A, la cantidad de correlación de A y C es como ε ² . Para dos giros separados por una distancia L , la cantidad de correlación es ε ^L , pero si hay más de un camino por el cual las correlaciones pueden viajar, esta cantidad aumenta con el número de caminos.

El número de caminos de longitud L en una red cuadrada en d dimensiones es

$${\displaystyle N(L)=(2d)^{L},}$$

opciones

Un límite de la correlación total viene dado por la contribución a la correlación sumando todos los caminos que unen dos puntos, que está limitada arriba por la suma de todos los caminos de longitud L dividida por

$${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},}$$

A bajas temperaturas (β ≫ 1), las configuraciones están cerca de la configuración de menor energía, aquella en la que todos los espines son positivos o todos los espines son negativos. Peierls preguntó si es estadísticamente posible a baja temperatura, comenzando con todos los espines negativos, fluctuar hasta un estado en el que la mayoría de los espines sean positivos. Para que esto suceda, las gotas de espín positivo deben poder congelarse para formar el estado positivo.

La energía de una gotita de espines positivos en un fondo negativo es proporcional al perímetro de la gotita L, donde los espines positivos y negativos son vecinos entre sí. Para una gota con perímetro L , el área está en algún lugar entre ( L  − 2)/2 (la línea recta) y ( L /4) ² (el cuadro cuadrado). El costo de probabilidad de introducir una gota tiene el factor e ^{−β L} , pero esto contribuye a la función de partición multiplicada por el número total de gotas con perímetro L , que es menor que el número total de caminos de longitud L :

$${\displaystyle N(L)<4^{2L}.}$$

$${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},}$$

que tiende a cero en β grande. Para β suficientemente grande, esto suprime exponencialmente los bucles largos, de modo que no pueden ocurrir, y la magnetización nunca fluctúa demasiado lejos de −1.

Así, Peierls estableció que la magnetización en el modelo de Ising define finalmente sectores de superselección , dominios separados no unidos por fluctuaciones finitas.

Dualidad Kramers-Wannier

Kramers y Wannier pudieron demostrar que la expansión a alta temperatura y la expansión a baja temperatura del modelo son iguales hasta un cambio de escala general de la energía libre. Esto permitió determinar exactamente el punto de transición de fase en el modelo bidimensional (bajo el supuesto de que existe un punto crítico único).

Ceros Yang-Lee

Después de la solución de Onsager, Yang y Lee investigaron la forma en que la función de partición se vuelve singular a medida que la temperatura se acerca a la temperatura crítica.

Métodos de Monte Carlo para simulación numérica.

Enfriamiento de un sistema Ising en una red cuadrada bidimensional (500 × 500) con temperatura inversa β  = 10, a partir de una configuración aleatoria

Definiciones

El modelo de Ising a menudo puede resultar difícil de evaluar numéricamente si hay muchos estados en el sistema. Considere un modelo de Ising con

L = |Λ|: el número total de sitios en la red,

σ _j ∈ {−1, +1}: un sitio de espín individual en la red, j  = 1, ..., L ,

S ∈ {−1, +1} ^L : estado del sistema.

Dado que cada sitio de giro tiene ±1 giro, hay 2 ^L estados diferentes que son posibles. ^[11] Esto motiva la razón por la cual el modelo de Ising se simula utilizando métodos de Monte Carlo . ^[11]

El hamiltoniano que se usa comúnmente para representar la energía del modelo cuando se usan métodos de Monte Carlo es

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.}$$

h

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

^[11]

Algoritmo de metrópoli

Descripción general

El algoritmo Metropolis-Hastings es el algoritmo de Monte Carlo más utilizado para calcular las estimaciones del modelo de Ising. ^[11] El algoritmo primero elige las probabilidades de selección g (μ, ν), que representan la probabilidad de que el algoritmo seleccione el estado ν entre todos los estados, dado que uno está en el estado μ. Luego utiliza las probabilidades de aceptación A (μ, ν) para satisfacer el saldo detallado . Si se acepta el nuevo estado ν, entonces pasamos a ese estado y repetimos seleccionando un nuevo estado y decidimos aceptarlo. Si no se acepta ν entonces nos quedamos en μ. Este proceso se repite hasta que se cumple algún criterio de parada, que para el modelo de Ising suele ser cuando la red se vuelve ferromagnética , lo que significa que todos los sitios apuntan en la misma dirección. ^[11]

Al implementar el algoritmo, se debe garantizar que g (μ, ν) se seleccione de manera que se cumpla la ergodicidad . En el equilibrio térmico, la energía de un sistema sólo fluctúa dentro de un pequeño rango. ^[11] Esta es la motivación detrás del concepto de dinámica de giro-inversión simple , ^[12] que establece que en cada transición, solo cambiaremos uno de los sitios de giro en la red. ^[11] Además, al utilizar la dinámica de giro único, se puede pasar de cualquier estado a cualquier otro invirtiendo cada sitio que difiere entre los dos estados uno a la vez.

La cantidad máxima de cambio entre la energía del estado actual, H _μ y la energía de cualquier posible nuevo estado H _ν (usando dinámica de giro único) es 2 J entre el giro que elegimos "voltear" para pasar al nuevo estado. y el vecino de ese giro. [ ^11] Por lo tanto, en un modelo 1D de Ising, donde cada sitio tiene dos vecinos (izquierda y derecha), la diferencia máxima de energía sería 4 J.

Sea c el número de coordinación de la red ; el número de vecinos más cercanos que tiene cualquier sitio de celosía. Suponemos que todos los sitios tienen el mismo número de vecinos debido a condiciones de contorno periódicas . ^[11] Es importante señalar que el algoritmo de Metropolis-Hastings no funciona bien alrededor del punto crítico debido a una desaceleración crítica. Se requieren otras técnicas como los métodos multigrid, el algoritmo de Niedermayer, el algoritmo de Swendsen-Wang o el algoritmo de Wolff para resolver el modelo cerca del punto crítico; un requisito para determinar los exponentes críticos del sistema.

Hay disponibles paquetes de código abierto que implementan estos algoritmos. ^[13]

Especificación

Específicamente para el modelo de Ising y utilizando la dinámica de giro único, se puede establecer lo siguiente.

Dado que hay L sitios totales en la red, utilizando un solo giro como única forma de hacer la transición a otro estado, podemos ver que hay un total de L nuevos estados ν de nuestro estado actual μ. El algoritmo supone que las probabilidades de selección son iguales a los L estados: g (μ, ν) = 1/ L . El balance detallado nos dice que la siguiente ecuación debe cumplirse:

$${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

Por lo tanto, queremos seleccionar la probabilidad de aceptación para que nuestro algoritmo satisfaga

$${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

Si H _ν > H _μ , entonces A (ν, μ) > A (μ, ν). Metropolis establece que el mayor de A (μ, ν) o A (ν, μ) sea 1. Según este razonamiento, el algoritmo de aceptación es: ^[11]

$${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

La forma básica del algoritmo es la siguiente:

1. Elija un sitio de giro usando la probabilidad de selección g (μ, ν) y calcule la contribución a la energía que involucra este giro.
2. Invierte el valor del giro y calcula la nueva contribución.
3. Si la nueva energía es menor, mantenga el valor invertido.
4. Si la nueva energía es mayor, sólo manténgase con probabilidad. ${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$
5. Repetir.

El cambio de energía H _ν  −  H _μ solo depende del valor del espín y de sus vecinos más cercanos del gráfico. Entonces, si el gráfico no está demasiado conectado, el algoritmo es rápido. Este proceso eventualmente producirá una selección de la distribución.

Ver el modelo de Ising como una cadena de Markov

Es posible ver el modelo de Ising como una cadena de Markov , ya que la probabilidad inmediata P _β (ν) de pasar a un estado futuro ν solo depende del estado presente μ. El algoritmo de Metropolis es en realidad una versión de una simulación de Monte Carlo de cadena de Markov , y dado que usamos dinámica de giro único en el algoritmo de Metropolis, se puede considerar que cada estado tiene vínculos con exactamente L otros estados, donde cada transición corresponde a un cambio de estado. un solo sitio de giro al valor opuesto. ^[14] Además, dado que la ecuación de energía H _σ cambio solo depende de la fuerza de interacción del vecino más cercano J , el modelo de Ising y sus variantes, como el modelo de Sznajd, pueden verse como una forma de modelo de votantes para la dinámica de opinión.

Una dimensión

El límite termodinámico existe siempre que la caída de la interacción sea con α > 1. ^[15] ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$

• En el caso de la interacción ferromagnética con 1 < α < 2, Dyson demostró, en comparación con el caso jerárquico, que existe una transición de fase a una temperatura suficientemente pequeña. ^[dieciséis] ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$
• En el caso de la interacción ferromagnética , Fröhlich y Spencer demostraron que existe una transición de fase a una temperatura suficientemente pequeña (a diferencia del caso jerárquico). ^[17] ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-2}}$
• En el caso de interacción con α > 2 (que incluye el caso de interacciones de rango finito), no hay transición de fase a ninguna temperatura positiva (es decir, β finita), ya que la energía libre es analítica en los parámetros termodinámicos. ^[15] ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$
• En el caso de las interacciones entre vecinos más cercanos , E. Ising proporcionó una solución exacta del modelo. A cualquier temperatura positiva (es decir, β finita), la energía libre es analítica en los parámetros termodinámicos, y la correlación de espín truncada de dos puntos decae exponencialmente rápido. A temperatura cero (es decir, β infinita), hay una transición de fase de segundo orden: la energía libre es infinita y la correlación de espín truncada de dos puntos no decae (permanece constante). Por tanto, T = 0 es la temperatura crítica de este caso. Se cumplen las fórmulas de escala. ^[18]

La solución exacta de Ising

En el caso del vecino más cercano (con condiciones de contorno periódicas o libres), se dispone de una solución exacta. El hamiltoniano del modelo unidimensional de Ising en una red de L sitios con condiciones de contorno periódicas es

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i},}$$

JhJhenergía libre

$${\displaystyle f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right),}$$

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|},}$$

CcTT → 0, la longitud de correlación inversa c

Prueba

La prueba de este resultado es un cálculo simple.

Si h = 0, es muy fácil obtener la energía libre en el caso de la condición de frontera libre, es decir, cuando

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\left(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{L-1}\sigma _{L}\right).}$$

$${\displaystyle \sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1},\quad j\geq 2.}$$

Esto da

$${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.}$$

Por lo tanto, la energía libre es

$${\displaystyle f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].}$$

Con el mismo cambio de variables

$${\displaystyle \langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N},}$$

por tanto, decae exponencialmente tan pronto como T ≠ 0; pero para T = 0, es decir, en el límite β → ∞ no hay decaimiento.

Si h ≠ 0 necesitamos el método de la matriz de transferencia. Para las condiciones de contorno periódicas, el caso es el siguiente. La función de partición es

$${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta h\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{L}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{L},\sigma _{1}}.}$$

${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}}$

$${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}}$$

$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.}$$

$${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {Tr} \left(V^{L}\right)=\lambda _{1}^{L}+\lambda _{2}^{L}=\lambda _{1}^{L}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{L}\right],}$$

₁V₂

$${\displaystyle \lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}},}$$

_2λ1

Comentarios

La energía del estado más bajo es −JL , cuando todos los espines son iguales. Para cualquier otra configuración, la energía adicional es igual a 2 J veces el número de cambios de signo que se encuentran al escanear la configuración de izquierda a derecha.

Si designamos el número de cambios de signo en una configuración como k , la diferencia de energía desde el estado de energía más bajo es 2 k . Dado que la energía es aditiva en el número de lanzamientos, la probabilidad p de tener un giro en cada posición es independiente. La relación entre la probabilidad de encontrar un giro y la probabilidad de no encontrarlo es el factor de Boltzmann:

$${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}=e^{-2\beta J}.}$$

El problema se reduce a lanzamientos de moneda sesgados e independientes . Esto esencialmente completa la descripción matemática.

De la descripción en términos de lanzamientos independientes se pueden entender las estadísticas del modelo para líneas largas. La línea se divide en dominios. Cada dominio tiene una longitud promedio exp(2β). La longitud de un dominio se distribuye exponencialmente, ya que existe una probabilidad constante en cualquier paso de encontrar un giro. Los dominios nunca se vuelven infinitos, por lo que un sistema largo nunca queda magnetizado. Cada paso reduce la correlación entre un giro y su vecino en una cantidad proporcional a p , por lo que las correlaciones caen exponencialmente.

$${\displaystyle \langle S_{i}S_{j}\rangle \propto e^{-p|i-j|}.}$$

La función de partición es el volumen de configuraciones, cada configuración ponderada por su peso de Boltzmann. Dado que cada configuración se describe mediante cambios de signo, la función de partición factoriza:

$${\displaystyle Z=\sum _{\text{configs}}e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}.}$$

El logaritmo dividido por L es la densidad de energía libre:

$${\displaystyle \beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{\frac {e^{-2\beta J}}{1+e^{-2\beta J}}}\right),}$$

lo cual es analítico lejos de β = ∞. Un signo de transición de fase es una energía libre no analítica, por lo que el modelo unidimensional no tiene transición de fase.

Solución unidimensional con campo transversal.

Para expresar el hamiltoniano de Ising utilizando una descripción de los espines en la mecánica cuántica, reemplazamos las variables de espín con sus respectivas matrices de Pauli. Sin embargo, dependiendo de la dirección del campo magnético, podemos crear un hamiltoniano de campo transversal o longitudinal. El hamiltoniano de campo transversal está dado por

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sigma _{i}^{x}.}$$

El modelo de campo transversal experimenta una transición de fase entre un régimen ordenado y desordenado en J  ~  h . Esto se puede demostrar mediante un mapeo de matrices de Pauli.

$${\displaystyle \sigma _{n}^{z}=\prod _{i=1}^{n}T_{i}^{x},}$$

$${\displaystyle \sigma _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.}$$

Al reescribir el hamiltoniano en términos de estas matrices de cambio de base, obtenemos

$${\displaystyle H(\sigma )=-h\sum _{i=1,\ldots ,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.}$$

Dado que los roles de h y J están intercambiados, el hamiltoniano sufre una transición en J = h . ^[19]

Renormalización

Cuando no hay un campo externo, podemos derivar una ecuación funcional que satisfaga mediante la renormalización. ^[20] Específicamente, sea la función de partición con sitios. Ahora tenemos: ${\displaystyle f(\beta ,0)=f(\beta )}$ ${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }e^{K\sigma _{2}(\sigma _{1}+\sigma _{3})}e^{K\sigma _{4}(\sigma _{3}+\sigma _{5})}\cdots }$$

${\displaystyle K:=\beta J}$ ${\displaystyle \sigma _{2},\sigma _{4},\cdots }$

$${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }(2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3})))\cdot (2\cosh(K(\sigma _{3}+\sigma _{5})))\cdots }$$

${\displaystyle Ae^{K'\sigma _{1}\sigma _{3}}=2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3}))}$ ${\textstyle A=2{\sqrt {\cosh(2K)}},K'={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2K)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\ln Z_{N}(K)={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{N/2}}\ln Z_{N/2}(K')}$$

$${\displaystyle f(\beta )={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}f(\beta ')}$$

${\displaystyle \beta 'J={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2\beta J)}$

Cuando es pequeño, tenemos , por lo que podemos evaluar numéricamente iterando la ecuación funcional hasta que sea pequeño. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(\beta )\approx \ln 2}$ ${\displaystyle f(\beta )}$ ${\displaystyle K}$

Dos dimensiones

• En el caso ferromagnético se produce una transición de fase. A baja temperatura, el argumento de Peierls demuestra una magnetización positiva para el caso del vecino más cercano y luego, mediante la desigualdad de Griffiths , también cuando se agregan interacciones de mayor alcance. Mientras tanto, a alta temperatura, la expansión del grupo proporciona analiticidad de las funciones termodinámicas.
• En el caso del vecino más cercano, Onsager calculó exactamente la energía libre, mediante la equivalencia del modelo con fermiones libres en la red. McCoy y Wu calcularon las funciones de correlación espín-espín.

La solución exacta de Onsager

Onsager (1944) obtuvo la siguiente expresión analítica para la energía libre del modelo de Ising en la red cuadrada anisotrópica cuando el campo magnético en el límite termodinámico en función de la temperatura y las energías de interacción horizontal y vertical y , respectivamente ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{2}\ln[\cosh(2\beta J_{1})\cosh(2\beta J_{2})-\sinh(2\beta J_{1})\cos(\theta _{1})-\sinh(2\beta J_{2})\cos(\theta _{2})].}$$

A partir de esta expresión de la energía libre, todas las funciones termodinámicas del modelo se pueden calcular utilizando una derivada apropiada. El modelo 2D de Ising fue el primer modelo que exhibió una transición de fase continua a una temperatura positiva. Ocurre a la temperatura que resuelve la ecuación. ${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle \sinh \left({\frac {2J_{1}}{kT_{c}}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}{kT_{c}}}\right)=1.}$$

En el caso isotrópico cuando las energías de interacción horizontal y vertical son iguales , la temperatura crítica ocurre en el siguiente punto ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J}$ ${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}=(2.269185\cdots ){\frac {J}{k}}}$$

Cuando las energías de interacción son ambas negativas, el modelo de Ising se convierte en un antiferroimán. Dado que la red cuadrada es bipartita, es invariante bajo este cambio cuando el campo magnético , por lo que la energía libre y la temperatura crítica son las mismas para el caso antiferromagnético. Para la red triangular, que no es bipartita, el modelo de Ising ferromagnético y antiferromagnético se comportan de manera notablemente diferente. Específicamente, alrededor de un triángulo, es imposible hacer que los 3 pares de espines sean antiparalelos, por lo que el modelo antiferromagnético de Ising no puede alcanzar el estado de energía mínima. Este es un ejemplo de frustración geométrica . ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle h=0}$

matriz de transferencia

Comience con una analogía con la mecánica cuántica. El modelo de Ising en una red periódica larga tiene una función de partición

$${\displaystyle \sum _{\{S\}}\exp {\biggl (}\sum _{ij}S_{i,j}\left(S_{i,j+1}+S_{i+1,j}\right){\biggr )}.}$$

Piense en la dirección i como espacio y en la dirección j como tiempo . Esta es una suma independiente de todos los valores que pueden tomar los giros en cada intervalo de tiempo. Este es un tipo de integral de ruta , es la suma de todos los historiales de giro.

Una integral de trayectoria se puede reescribir como una evolución hamiltoniana. El hamiltoniano avanza a través del tiempo realizando una rotación unitaria entre el tiempo t y el tiempo t + Δ t :

$${\displaystyle U=e^{iH\Delta t}}$$

El producto de las matrices U, una tras otra, es el operador de evolución del tiempo total, que es la integral de ruta con la que comenzamos.

$${\displaystyle U^{N}=(e^{iH\Delta t})^{N}=\int DXe^{iL}}$$

donde N es el número de intervalos de tiempo. La suma de todos los caminos viene dada por un producto de matrices; cada elemento de la matriz es la probabilidad de transición de un segmento al siguiente.

De manera similar, se puede dividir la suma de todas las configuraciones de funciones de partición en sectores, donde cada sector es la configuración unidimensional en el momento 1. Esto define la matriz de transferencia :

$${\displaystyle T_{C_{1}C_{2}}.}$$

La configuración en cada segmento es una colección unidimensional de giros. En cada segmento de tiempo, T tiene elementos matriciales entre dos configuraciones de espines, uno en el futuro inmediato y otro en el pasado inmediato. Estas dos configuraciones son C ₁ y C ₂ , y todas son configuraciones de giro unidimensionales. Podemos pensar en el espacio vectorial sobre el que actúa T como todas las combinaciones lineales complejas de estos. Usando notación mecánica cuántica:

$${\displaystyle |A\rangle =\sum _{S}A(S)|S\rangle }$$

donde cada vector base es una configuración de espín de un modelo de Ising unidimensional. ${\displaystyle |S\rangle }$

Al igual que el hamiltoniano, la matriz de transferencia actúa sobre todas las combinaciones lineales de estados. La función de partición es una función matricial de T, que se define por la suma de todas las historias que vuelven a la configuración original después de N pasos:

$${\displaystyle Z=\mathrm {tr} (T^{N}).}$$

Dado que se trata de una ecuación matricial, se puede evaluar con cualquier base. Entonces , si podemos diagonalizar la matriz T , podemos encontrar Z.

T en términos de matrices de Pauli

La contribución a la función de partición para cada par de configuraciones pasadas/futuras en un segmento es la suma de dos términos. Está el número de giros en el segmento pasado y está el número de giros entre el pasado y el futuro. Defina un operador en configuraciones que invierta el giro en el sitio i:

$${\displaystyle \sigma _{i}^{x}.}$$

En la base habitual de Ising, actuando sobre cualquier combinación lineal de configuraciones pasadas, produce la misma combinación lineal pero con el giro en la posición i de cada vector de base invertido.

Defina un segundo operador que multiplique el vector base por +1 y −1 según el giro en la posición i :

$${\displaystyle \sigma _{i}^{z}.}$$

T se puede escribir en términos de estos:

$${\displaystyle \sum _{i}A\sigma _{i}^{x}+B\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}}$$

donde A y B son constantes que deben determinarse para reproducir la función de partición. La interpretación es que la configuración estadística en este segmento contribuye según el número de giros en el segmento y si el giro en la posición i se ha volteado o no.

Operadores de creación y aniquilación de giros y vueltas.

Al igual que en el caso unidimensional, cambiaremos la atención de los giros a los giros. El término σ ^z en T cuenta el número de giros, que podemos escribir en términos de operadores de creación y aniquilación de giros:

$${\displaystyle \sum C\psi _{i}^{\dagger }\psi _{i}.\,}$$

El primer término invierte un giro, por lo que, dependiendo de la base, indíquelo:

1. mueve un spin-flip una unidad hacia la derecha
2. mueve un spin-flip una unidad hacia la izquierda
3. produce dos spin-flips en sitios vecinos
4. destruye dos spin-flips en sitios vecinos.

Escribiendo esto en términos de operadores de creación y aniquilación:

$${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=D{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i+1}+D^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i-1}+C\psi _{i}\psi _{i+1}+C^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}{\psi ^{\dagger }}_{i+1}.}$$

Ignore los coeficientes constantes y centre la atención en la forma. Todos son cuadráticos. Dado que los coeficientes son constantes, esto significa que la matriz T se puede diagonalizar mediante transformadas de Fourier.

Al realizar la diagonalización se produce la energía libre de Onsager.

Fórmula de Onsager para la magnetización espontánea.

Onsager anunció la siguiente expresión para la magnetización espontánea M de un ferroimán de Ising bidimensional en la red cuadrada en dos conferencias diferentes en 1948, aunque sin pruebas ^[7]

$${\displaystyle M=\left(1-\left[\sinh 2\beta J_{1}\sinh 2\beta J_{2}\right]^{-2}\right)^{\frac {1}{8}}}$$

${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Yang (1952) no dio una derivación completa hasta 1951 utilizando un proceso limitante de valores propios de la matriz de transferencia. Posteriormente, la prueba fue simplificada enormemente en 1963 por Montroll, Potts y Ward ^[7] utilizando la fórmula límite de Szegő para los determinantes de Toeplitz al tratar la magnetización como el límite de las funciones de correlación.

modelo mínimo

En el punto crítico, el modelo bidimensional de Ising es una teoría de campos conforme bidimensional . Las funciones de correlación de espín y energía se describen mediante un modelo mínimo , que ha sido resuelto exactamente.

Tres dimensiones

Tanto en tres dimensiones como en dos dimensiones, el caso más estudiado del modelo de Ising es el modelo invariante de traslación en una red cúbica con acoplamiento del vecino más cercano en el campo magnético cero. Muchos teóricos buscaron durante muchas décadas una solución analítica tridimensional que fuera análoga a la solución de Onsager en el caso bidimensional. ^{[21] [22]} Tal solución no se ha encontrado hasta ahora, aunque no hay pruebas de que no exista.

En tres dimensiones, Alexander Polyakov y Vladimir Dotsenko demostraron que el modelo de Ising tiene una representación en términos de cuerdas fermiónicas que no interactúan . Esta construcción se ha realizado sobre la celosía y se desconoce el límite del continuo , que describe conjeturalmente el punto crítico.

Transición de fase

Tanto en tres como en dos dimensiones, el argumento de Peierl muestra que hay una transición de fase. Se sabe rigurosamente que esta transición de fase es continua (en el sentido de que la longitud de correlación diverge y la magnetización llega a cero) y se denomina punto crítico . Se cree que el punto crítico puede describirse mediante un punto fijo del grupo de renormalización de la transformación del grupo de renormalización de Wilson-Kadanoff. También se cree que la transición de fase puede describirse mediante una teoría de campo unitaria conforme tridimensional, como lo demuestran las simulaciones de Monte Carlo , ^{[23] [24]} los resultados de la diagonalización exacta en modelos cuánticos, ^[25] y argumentos teóricos de campos cuánticos. ^[26] Aunque es un problema abierto establecer rigurosamente la imagen de grupo de renormalización o la imagen de la teoría de campos conforme, los físicos teóricos han utilizado estos dos métodos para calcular los exponentes críticos de la transición de fase, que concuerdan con los experimentos y con el método de Monte Carlo. simulaciones.

Esta teoría de campo conforme que describe el punto crítico de Ising tridimensional está bajo investigación activa utilizando el método de arranque conforme . ^{[27] [28] [29] [30]} Este método actualmente proporciona la información más precisa sobre la estructura de la teoría crítica (ver Exponentes críticos de Ising ).

Resultado de completitud NP de Istrail para el modelo general de vidrio giratorio

En 2000, Sorin Istrail de Sandia National Laboratories demostró que el modelo de Ising de vidrio giratorio en una red no plana es NP-completo . Es decir, suponiendo P ≠ NP, el modelo general de Ising de vidrio giratorio se puede resolver exactamente sólo en casos planos , por lo que las soluciones para dimensiones superiores a dos también son intratables. ^[31] El resultado de Istrail sólo se refiere al modelo de vidrio giratorio con acoplamientos que varían espacialmente, y no dice nada sobre el modelo ferromagnético original de Ising con acoplamientos iguales.

Cuatro dimensiones y más

En cualquier dimensión, el modelo de Ising puede describirse productivamente mediante un campo medio que varía localmente. El campo se define como el valor de giro promedio en una región grande, pero no tan grande como para incluir todo el sistema. El campo todavía tiene variaciones lentas de un punto a otro, a medida que se mueve el volumen promedio. Estas fluctuaciones en el campo se describen mediante una teoría de campo continuo en el límite del sistema infinito.

campo local

El campo H se define como las componentes de Fourier de longitud de onda larga de la variable de espín, en el límite en que las longitudes de onda son largas. Hay muchas formas de tomar el promedio de longitudes de onda largas, dependiendo de los detalles de qué tan altas se cortan las longitudes de onda. Los detalles no son demasiado importantes, ya que el objetivo es encontrar las estadísticas de H y no las tiradas. Una vez que se conocen las correlaciones en H , las correlaciones de larga distancia entre los espines serán proporcionales a las correlaciones de larga distancia en H.

Para cualquier valor del campo H que varía lentamente , la energía libre (logaritmo de probabilidad) es una función analítica local de H y sus gradientes. La energía libre F ( H ) se define como la suma de todas las configuraciones de Ising que son consistentes con el campo de longitud de onda larga. Dado que H es una descripción aproximada, existen muchas configuraciones de Ising consistentes con cada valor de H , siempre que no se requiera demasiada exactitud para la coincidencia.

Dado que el rango permitido de valores del espín en cualquier región solo depende de los valores de H dentro de un volumen promedio de esa región, la contribución de energía libre de cada región solo depende del valor de H allí y en las regiones vecinas. Entonces F es una suma de todas las regiones de una contribución local, que sólo depende de H y sus derivadas.

Por simetría en H , sólo contribuyen las potencias pares. A la simetría de reflexión en una red cuadrada, sólo contribuyen potencias pares de gradientes. Escribiendo los primeros términos de la energía libre:

$${\displaystyle \beta F=\int d^{d}x\left[AH^{2}+\sum _{i=1}^{d}Z_{i}(\partial _{i}H)^{2}+\lambda H^{4}+\cdots \right].}$$

En una red cuadrada, las simetrías garantizan que los coeficientes Z _i de los términos derivados sean todos iguales. Pero incluso para un modelo anisotrópico de Ising, donde los Z _i en diferentes direcciones son diferentes , las fluctuaciones en H son isotrópicas en un sistema de coordenadas donde las diferentes direcciones del espacio se reescalan.

En cualquier red, el término derivado

$${\displaystyle Z_{ij}\,\partial _{i}H\,\partial _{j}H}$$

forma cuadráticadefinirZ _ijijsimetría accidental

Dado que β F es una función de un campo que varía lentamente espacialmente, la probabilidad de cualquier configuración de campo es (omitiendo términos de orden superior):

$${\displaystyle P(H)\propto e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}=e^{-\beta F[H]}.}$$

El promedio estadístico de cualquier producto de términos H es igual a:

$${\displaystyle \langle H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n})\rangle ={\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n}) \over \int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}}.}$$

El denominador de esta expresión se llama función de partición :

$${\displaystyle Z=\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}}$$

HFHFH. teoría cuántica de camposi

Análisis dimensional

La forma de F se puede utilizar para predecir qué términos son más importantes mediante el análisis dimensional. El análisis dimensional no es completamente sencillo, porque es necesario determinar la escala de H.

En el caso genérico, elegir la ley de escalamiento para H es fácil, ya que el único término que contribuye es el primero,

$${\displaystyle F=\int d^{d}x\,AH^{2}.}$$

Este término es el más significativo, pero da un comportamiento trivial. Esta forma de energía libre es ultralocal, lo que significa que es la suma de una contribución independiente de cada punto. Esto es como los spin-flips del modelo unidimensional de Ising. Todo valor de H en cualquier punto fluctúa de forma completamente independiente del valor en cualquier otro punto.

La escala del campo se puede redefinir para absorber el coeficiente A , y entonces queda claro que A sólo determina la escala general de las fluctuaciones. El modelo ultralocal describe el comportamiento de alta temperatura de longitud de onda larga del modelo de Ising, ya que en este límite los promedios de fluctuación son independientes de un punto a otro.

Para encontrar el punto crítico, baje la temperatura. A medida que la temperatura baja, las fluctuaciones en H aumentan porque están más correlacionadas. Esto significa que el promedio de un gran número de giros no se vuelve pequeño tan rápidamente como si no estuvieran correlacionados, porque tienden a ser iguales. Esto corresponde a disminuir A en el sistema de unidades donde H no absorbe A. La transición de fase sólo puede ocurrir cuando los términos subprincipales en F pueden contribuir, pero como el primer término domina a largas distancias, el coeficiente A debe ajustarse a cero. Esta es la ubicación del punto crítico:

$${\displaystyle F=\int d^{d}x\left[tH^{2}+\lambda H^{4}+Z(\nabla H)^{2}\right],}$$

donde t es un parámetro que pasa por cero en la transición.

Como t desaparece, fijar la escala del campo usando este término hace que los otros términos exploten. Una vez que t es pequeño, la escala del campo se puede configurar para fijar el coeficiente del término H ⁴ o el término (∇ H ) ² en 1.

Magnetización

Para encontrar la magnetización, fije la escala de H de modo que λ sea uno. Ahora el campo H tiene dimensión − d /4, de modo que H ⁴ d ^d x no tiene dimensiones y Z tiene dimensión 2 −  d /2. En esta escala, el término de gradiente sólo es importante a largas distancias para d ≤ 4. Por encima de cuatro dimensiones, en longitudes de onda largas, la magnetización general sólo se ve afectada por los términos ultralocales.

Hay un punto sutil. El campo H fluctúa estadísticamente y las fluctuaciones pueden desplazar el punto cero de t . Para ver cómo, considere la división de H ⁴ de la siguiente manera:

$${\displaystyle H(x)^{4}=-\langle H(x)^{2}\rangle ^{2}+2\langle H(x)^{2}\rangle H(x)^{2}+\left(H(x)^{2}-\langle H(x)^{2}\rangle \right)^{2}}$$

El primer término es una contribución constante a la energía libre y puede ignorarse. El segundo término es un desplazamiento finito en t . El tercer término es una cantidad que escala a cero a largas distancias. Esto significa que al analizar el escalamiento de t mediante análisis dimensional, lo importante es la t desplazada. Históricamente, esto fue muy confuso, porque el desplazamiento en t en cualquier λ finito es finito, pero cerca de la transición t es muy pequeño. El cambio fraccionario en t es muy grande y en unidades donde t es fijo el cambio parece infinito.

La magnetización está en el mínimo de la energía libre, y esta es una ecuación analítica. En términos de la t desplazada ,

$${\displaystyle {\partial \over \partial H}\left(tH^{2}+\lambda H^{4}\right)=2tH+4\lambda H^{3}=0}$$

Para t < 0, los mínimos son en H proporcionales a la raíz cuadrada de t . Entonces, el argumento de la catástrofe de Landau es correcto en dimensiones mayores que 5. El exponente de magnetización en dimensiones mayores que 5 es igual al valor medio del campo.

Cuando t es negativo, las fluctuaciones alrededor del nuevo mínimo se describen mediante un nuevo coeficiente cuadrático positivo. Dado que este término siempre predomina, a temperaturas por debajo de la transición las fluctuaciones vuelven a ser ultralocales a largas distancias.

Fluctuaciones

Para encontrar el comportamiento de las fluctuaciones, cambie la escala del campo para fijar el término del gradiente. Entonces la dimensión de escala de longitud del campo es 1 −  d /2. Ahora el campo tiene fluctuaciones espaciales cuadráticas constantes a todas las temperaturas. La dimensión de escala del término H ² es 2, mientras que la dimensión de escala del término H ⁴ es 4 −  d . Para d < 4, el término H ⁴ tiene una dimensión de escala positiva. En dimensiones superiores a 4 tiene dimensiones de escala negativa.

Esta es una diferencia esencial. En dimensiones superiores a 4, fijar la escala del término de gradiente significa que el coeficiente del término H ⁴ es cada vez menos importante a longitudes de onda cada vez más largas. La dimensión en la que las contribuciones no cuadráticas comienzan a contribuir se conoce como dimensión crítica. En el modelo de Ising, la dimensión crítica es 4.

En dimensiones superiores a 4, las fluctuaciones críticas se describen mediante una energía libre puramente cuadrática en longitudes de onda largas. Esto significa que todas las funciones de correlación son computables a partir de promedios gaussianos :

$${\displaystyle \langle S(x)S(y)\rangle \propto \langle H(x)H(y)\rangle =G(x-y)=\int {dk \over (2\pi )^{d}}{e^{ik(x-y)} \over k^{2}+t}}$$

válido cuando x  −  y es grande. La función G ( x  −  y ) es la continuación analítica al tiempo imaginario del propagador de Feynman , ya que la energía libre es la continuación analítica de la acción del campo cuántico para un campo escalar libre. A partir de dimensiones 5, todas las demás funciones de correlación a largas distancias se determinan mediante el teorema de Wick . Todos los momentos impares son cero, por ± simetría. Los momentos pares son la suma de todas las particiones en pares del producto de G ( x  −  y ) para cada par.

$${\displaystyle \langle S(x_{1})S(x_{2})\cdots S(x_{2n})\rangle =C^{n}\sum G(x_{i1},x_{j1})G(x_{i2},x_{j2})\ldots G(x_{in},x_{jn})}$$

donde C es la constante de proporcionalidad. Entonces conocer G es suficiente. Determina todas las correlaciones multipunto del campo.

La función crítica de dos puntos

Para determinar la forma de G , considere que los campos en una integral de trayectoria obedecen a las ecuaciones de movimiento clásicas derivadas de la variación de la energía libre:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-\nabla _{x}^{2}+t\right)\langle H(x)H(y)\rangle &=0\\\rightarrow {}&&\nabla ^{2}G(x)+tG(x)&=0\end{aligned}}}$$

Esto es válido sólo en puntos no coincidentes, ya que las correlaciones de H son singulares cuando los puntos chocan. H obedece a las ecuaciones de movimiento clásicas por la misma razón que las obedecen los operadores de la mecánica cuántica: sus fluctuaciones están definidas por una integral de trayectoria.

En el punto crítico t = 0, esta es la ecuación de Laplace , que puede resolverse mediante el método de Gauss a partir de la electrostática. Defina un campo eléctrico analógico mediante

$${\displaystyle E=\nabla G}$$

Lejos del origen:

$${\displaystyle \nabla \cdot E=0}$$

ya que G es esféricamente simétrico en d dimensiones, y E es el gradiente radial de G. Integrando sobre una gran esfera d  - 1 dimensión,

$${\displaystyle \int d^{d-1}SE_{r}=\mathrm {constant} }$$

Esto da:

$${\displaystyle E={C \over r^{d-1}}}$$

y G se puede encontrar integrando con respecto a r .

$${\displaystyle G(r)={C \over r^{d-2}}}$$

La constante C fija la normalización general del campo.

G ( r ) lejos del punto crítico

Cuando t no es igual a cero, de modo que H fluctúa a una temperatura ligeramente alejada de la crítica, la función de dos puntos decae a largas distancias. La ecuación a la que obedece se altera:

$${\displaystyle \nabla ^{2}G+tG=0\to {1 \over r^{d-1}}{d \over dr}\left(r^{d-1}{dG \over dr}\right)+tG(r)=0}$$

Para r pequeño en comparación con , la solución diverge exactamente de la misma manera que en el caso crítico, pero el comportamiento a larga distancia se modifica. ${\displaystyle {\sqrt {t}}}$

Para ver cómo, es conveniente representar la función de dos puntos como una integral, introducida por Schwinger en el contexto de la teoría cuántica de campos:

$${\displaystyle G(x)=\int d\tau {1 \over \left({\sqrt {2\pi \tau }}\right)^{d}}e^{-{x^{2} \over 4\tau }-t\tau }}$$

Este es G , ya que la transformada de Fourier de esta integral es fácil. Cada contribución τ fija es una gaussiana en x , cuya transformada de Fourier es otra gaussiana de ancho recíproco en k .

$${\displaystyle G(k)=\int d\tau e^{-(k^{2}-t)\tau }={1 \over k^{2}-t}}$$

Este es el inverso del operador ∇ ²  −  t en el espacio k , que actúa sobre la función unitaria en el espacio k , que es la transformada de Fourier de una fuente de función delta localizada en el origen. Por lo tanto, satisface la misma ecuación que G con las mismas condiciones de frontera que determinan la fuerza de la divergencia en 0.

La interpretación de la representación integral en el tiempo adecuado τ es que la función de dos puntos es la suma de todos los caminos aleatorios que vinculan la posición 0 con la posición x en el tiempo τ. La densidad de estos caminos en el momento τ en la posición x es gaussiana, pero los caminantes aleatorios desaparecen a un ritmo constante proporcional a t , de modo que la altura de la gaussiana en el momento τ disminuye en un factor que disminuye de manera constante y exponencial. En el contexto de la teoría cuántica de campos, estos son los caminos de cuantos relativistasmente localizados en un formalismo que sigue los caminos de partículas individuales. En el contexto puramente estadístico, estos caminos todavía aparecen por correspondencia matemática con campos cuánticos, pero su interpretación es menos directamente física.

La representación integral muestra inmediatamente que G ( r ) es positiva, ya que se representa como una suma ponderada de gaussianas positivas. También proporciona la tasa de caída en r grande, ya que el tiempo adecuado para que un paseo aleatorio alcance la posición τ es r ² y en este tiempo, la altura gaussiana ha disminuido en . Por tanto , el factor de caída apropiado para la posición r es . ${\displaystyle e^{-t\tau }=e^{-tr^{2}}}$ ${\displaystyle e^{-{\sqrt {t}}r}}$

Una aproximación heurística para G ( r ) es:

$${\displaystyle G(r)\approx {e^{-{\sqrt {t}}r} \over r^{d-2}}}$$

Esta no es una forma exacta, excepto en tres dimensiones, donde las interacciones entre caminos se vuelven importantes. Las formas exactas en grandes dimensiones son variantes de las funciones de Bessel .

Interpretación del polímero Symanzik

La interpretación de las correlaciones como cuantos de tamaño fijo que viajan a lo largo de recorridos aleatorios proporciona una manera de entender por qué la dimensión crítica de la interacción H ⁴ es 4. El término H ⁴ puede considerarse como el cuadrado de la densidad de los caminantes aleatorios en cualquier punto. punto. Para que tal término altere las funciones de correlación de orden finito, que sólo introducen unos pocos paseos aleatorios nuevos en el entorno fluctuante, los nuevos caminos deben cruzarse. De lo contrario, el cuadrado de la densidad es justamente proporcional a la densidad y sólo desplaza el coeficiente H ² en una constante. Pero la probabilidad de intersección de los paseos aleatorios depende de la dimensión, y los paseos aleatorios en una dimensión superior a 4 no se cruzan.

La dimensión fractal de un paseo aleatorio ordinario es 2. El número de bolas de tamaño ε necesarias para cubrir el camino aumenta a medida que ε ⁻² . Dos objetos de dimensión fractal 2 se cruzarán con probabilidad razonable sólo en un espacio de dimensión 4 o menos, la misma condición que para un par genérico de planos. Kurt Symanzik argumentó que esto implica que las fluctuaciones críticas de Ising en dimensiones superiores a 4 deberían describirse mediante un campo libre. Este argumento finalmente se convirtió en una prueba matemática.

4 −  ε dimensiones – grupo de renormalización

El modelo de Ising en cuatro dimensiones se describe mediante un campo fluctuante, pero ahora las fluctuaciones interactúan. En la representación del polímero, las intersecciones de paseos aleatorios son marginalmente posibles. En la continuación del campo cuántico, los cuantos interactúan.

El logaritmo negativo de la probabilidad de cualquier configuración de campo H es la función de energía libre

$${\displaystyle F=\int d^{4}x\left[{Z \over 2}|\nabla H|^{2}+{t \over 2}H^{2}+{\lambda \over 4!}H^{4}\right]\,}$$

Los factores numéricos están ahí para simplificar las ecuaciones de movimiento. El objetivo es comprender las fluctuaciones estadísticas. Como cualquier otra integral de trayectoria no cuadrática, las funciones de correlación tienen una expansión de Feynman como partículas que viajan a lo largo de caminos aleatorios, se dividen y se vuelven a unir en los vértices. La fuerza de interacción está parametrizada por la cantidad clásicamente adimensional λ.

Aunque el análisis dimensional muestra que tanto λ como Z son adimensionales, esto es engañoso. Las fluctuaciones estadísticas de longitud de onda larga no son exactamente invariantes de escala, y solo se vuelven invariantes de escala cuando la fuerza de interacción desaparece.

La razón es que se utiliza un límite para definir H , y el límite define la longitud de onda más corta. Las fluctuaciones de H en longitudes de onda cercanas al límite pueden afectar las fluctuaciones de longitudes de onda más largas. Si el sistema se escala junto con el límite, los parámetros se escalarán mediante análisis dimensional, pero luego la comparación de parámetros no compara el comportamiento porque el sistema reescalado tiene más modos. Si el sistema se reescala de tal manera que el corte de longitud de onda corta permanezca fijo, las fluctuaciones de longitud de onda larga se modifican.

Renormalización de Wilson

Una forma heurística rápida de estudiar la escala es cortar los números de onda H en un punto λ. No se permite que los modos de Fourier de H con números de onda mayores que λ fluctúen. Un cambio de escala de longitud que hace que todo el sistema sea más pequeño aumenta todos los números de onda y mueve algunas fluctuaciones por encima del límite.

Para restaurar el límite anterior, realice una integración parcial sobre todos los números de onda que solían estar prohibidos, pero que ahora fluctúan. En los diagramas de Feynman, la integración en un modo fluctuante en el número de onda k vincula líneas que transportan el impulso k en una función de correlación en pares, con un factor del propagador inverso.

Bajo reescalamiento, cuando el sistema se reduce en un factor de (1+ b ), el coeficiente t aumenta en un factor (1+ b ) ² mediante análisis dimensional. El cambio en t para b infinitesimal es 2 bt . Los otros dos coeficientes no tienen dimensiones y no cambian en absoluto.

El efecto de orden más bajo de la integración se puede calcular a partir de las ecuaciones de movimiento:

$${\displaystyle \nabla ^{2}H+tH=-{\lambda \over 6}H^{3}.}$$

Esta ecuación es una identidad dentro de cualquier función de correlación alejada de otras inserciones. Después de integrar los modos con Λ < k < (1+ b )Λ, será una identidad ligeramente diferente.

Dado que se conservará la forma de la ecuación, para encontrar el cambio en los coeficientes es suficiente analizar el cambio en el término H ³ . En una expansión del diagrama de Feynman, el término H ³ en una función de correlación dentro de una correlación tiene tres líneas colgantes. Unir dos de ellos con un número de onda grande k da un cambio H ³ con una línea colgante, por lo que es proporcional a H :

$${\displaystyle \delta H^{3}=3H\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over (k^{2}+t)}}$$

El factor 3 proviene del hecho de que el circuito se puede cerrar de tres maneras diferentes.

La integral debe dividirse en dos partes:

$${\displaystyle \int dk{1 \over k^{2}}-t\int dk{1 \over k^{2}(k^{2}+t)}=A\Lambda ^{2}b+Bbt}$$

La primera parte no es proporcional a t , y en la ecuación de movimiento puede ser absorbida por un cambio constante en t . Se debe al hecho de que el término H ³ tiene una parte lineal. Sólo el segundo término, que varía de t a t , contribuye a la escala crítica.

Este nuevo término lineal se suma al primer término del lado izquierdo, cambiando t en una cantidad proporcional a t . El cambio total en t es la suma del término del análisis dimensional y este segundo término de los productos del operador :

$${\displaystyle \delta t=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)bt}$$

Entonces t se reescala, pero su dimensión es anómala , se cambia en una cantidad proporcional al valor de λ.

Pero λ también cambia. El cambio en λ requiere considerar que las líneas se dividen y luego se vuelven a unir rápidamente. El proceso de orden más bajo es aquel en el que una de las tres líneas de H ³ se divide en tres, que rápidamente se une con una de las otras líneas del mismo vértice. La corrección al vértice es

$${\displaystyle \delta \lambda =-{3\lambda ^{2} \over 2}\int _{k}dk{1 \over (k^{2}+t)^{2}}=-{3\lambda ^{2} \over 2}b}$$

El factor numérico es tres veces mayor porque hay un factor extra de tres para elegir cuál de las tres nuevas líneas contratar. Entonces

$${\displaystyle \delta \lambda =-3B\lambda ^{2}b}$$

Estas dos ecuaciones juntas definen las ecuaciones del grupo de renormalización en cuatro dimensiones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{dt \over t}&=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)b\\{d\lambda \over \lambda }&={-3B\lambda \over 2}b\end{aligned}}}$$

El coeficiente B está determinado por la fórmula.

$${\displaystyle Bb=\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over k^{4}}}$$

y es proporcional al área de una esfera tridimensional de radio λ, multiplicado por el ancho de la región de integración b Λ dividido por Λ ⁴ :

$${\displaystyle B=(2\pi ^{2}\Lambda ^{3}){1 \over (2\pi )^{4}}{b\Lambda }{1 \over b\Lambda ^{4}}={1 \over 8\pi ^{2}}}$$

En otras dimensiones, la constante B cambia, pero la misma constante aparece tanto en el flujo t como en el flujo de acoplamiento. La razón es que la derivada con respecto a t del bucle cerrado con un solo vértice es un bucle cerrado con dos vértices. Esto significa que la única diferencia entre el escalamiento del acoplamiento y t son los factores combinatorios de unión y división.

Punto fijo Wilson-Fisher

Debería ser posible investigar tres dimensiones a partir de la teoría tetradimensional, porque las probabilidades de intersección de los paseos aleatorios dependen continuamente de la dimensionalidad del espacio. En el lenguaje de los gráficos de Feynman, el acoplamiento no cambia mucho cuando se cambia la dimensión.

El proceso de continuar fuera de la dimensión 4 no está completamente bien definido sin una receta sobre cómo hacerlo. La prescripción sólo está bien definida en los diagramas. Reemplaza la representación de Schwinger en la dimensión 4 con la representación de Schwinger en la dimensión 4 − ε definida por:

$${\displaystyle G(x-y)=\int d\tau {1 \over t^{d \over 2}}e^{{x^{2} \over 2\tau }+t\tau }}$$

En la dimensión 4 − ε, el acoplamiento λ tiene una dimensión de escala positiva ε, y esto debe sumarse al flujo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{d\lambda \over \lambda }&=\varepsilon -3B\lambda \\{dt \over t}&=2-\lambda B\end{aligned}}}$$

El coeficiente B depende de la dimensión, pero se cancelará. El punto fijo para λ ya no es cero, sino en:

$${\displaystyle \lambda ={\varepsilon \over 3B}}$$

tB

El exponente de magnetización se modifica proporcionalmente a:

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1-{\varepsilon \over 3}\right)}$$

que es .333 en 3 dimensiones (ε = 1) y .166 en 2 dimensiones (ε = 2). Esto no está tan lejos del exponente medido .308 y del exponente bidimensional de Onsager .125.

Dimensiones infinitas – campo medio

El comportamiento de un modelo de Ising en un gráfico completamente conectado puede entenderse completamente mediante la teoría del campo medio . Este tipo de descripción es apropiado para redes cuadradas de muy altas dimensiones, porque entonces cada sitio tiene una gran cantidad de vecinos.

La idea es que si cada giro está conectado a un gran número de giros, sólo la proporción promedio de + giros a - giros es importante, ya que las fluctuaciones alrededor de esta media serán pequeñas. El campo medio H es la fracción promedio de giros que son + menos la fracción promedio de giros que son -. El costo de energía de invertir un solo giro en el campo medio H es ±2 JNH . Es conveniente redefinir J para absorber el factor N , de modo que el límite N → ∞ sea suave. En términos del nuevo J , el coste de energía para invertir un giro es ±2 JH .

Este costo de energía da la relación entre la probabilidad p de que el giro sea + y la probabilidad 1− p de que el giro sea −. Esta relación es el factor de Boltzmann:

$${\displaystyle {p \over 1-p}=e^{2\beta JH}}$$

de modo que

$${\displaystyle p={1 \over 1+e^{-2\beta JH}}}$$

El valor medio del giro se obtiene promediando 1 y −1 con los pesos p y 1 −  p , por lo que el valor medio es 2 p  − 1. Pero este promedio es el mismo para todos los giros y, por lo tanto, es igual a H .

$${\displaystyle H=2p-1={1-e^{-2\beta JH} \over 1+e^{-2\beta JH}}=\tanh(\beta JH)}$$

Las soluciones a esta ecuación son los posibles campos medios consistentes. Para β J < 1 solo hay una solución en H = 0. Para valores mayores de β hay tres soluciones y la solución en H = 0 es inestable.

La inestabilidad significa que aumentar un poco el campo medio por encima de cero produce una fracción estadística de giros que son +, que es mayor que el valor del campo medio. Entonces, un campo medio que fluctúa por encima de cero producirá un campo medio aún mayor y eventualmente se estabilizará en la solución estable. Esto significa que para temperaturas por debajo del valor crítico β J = 1, el modelo de Ising de campo medio sufre una transición de fase en el límite de N grande .

Por encima de la temperatura crítica, las fluctuaciones en H se amortiguan porque el campo medio restablece la fluctuación al campo cero. Por debajo de la temperatura crítica, el campo medio es llevado a un nuevo valor de equilibrio, que es la solución H positiva o H negativa de la ecuación.

Para β J = 1 + ε, justo por debajo de la temperatura crítica, el valor de H se puede calcular a partir de la expansión de Taylor de la tangente hiperbólica:

$${\displaystyle H=\tanh(\beta JH)\approx (1+\varepsilon )H-{(1+\varepsilon )^{3}H^{3} \over 3}}$$

Dividiendo por H para descartar la solución inestable en H = 0, las soluciones estables son:

$${\displaystyle H={\sqrt {3\varepsilon }}}$$

La magnetización espontánea H crece cerca del punto crítico como raíz cuadrada del cambio de temperatura. Esto es cierto siempre que H pueda calcularse a partir de la solución de una ecuación analítica que sea simétrica entre valores positivos y negativos, lo que llevó a Landau a sospechar que todas las transiciones de fase de tipo Ising en todas las dimensiones deberían seguir esta ley.

El exponente de campo medio es universal porque los cambios en el carácter de las soluciones de ecuaciones analíticas siempre se describen mediante catástrofes en la serie de Taylor , que es una ecuación polinómica. Por simetría, la ecuación de H sólo debe tener potencias impares de H en el lado derecho. Cambiar β solo debería cambiar suavemente los coeficientes. La transición ocurre cuando el coeficiente de H en el lado derecho es 1. Cerca de la transición:

$${\displaystyle H={\partial (\beta F) \over \partial h}=(1+A\varepsilon )H+BH^{3}+\cdots }$$

Cualesquiera que sean A y B , siempre que ninguno de ellos esté sintonizado a cero, la magnetización espontánea crecerá como la raíz cuadrada de ε. Este argumento sólo puede fallar si la energía libre β F es no analítica o no genérica en el punto exacto β donde ocurre la transición.

Pero la magnetización espontánea en los sistemas magnéticos y la densidad de los gases cerca del punto crítico se miden con mucha precisión. La densidad y la magnetización en tres dimensiones tienen la misma dependencia de la ley potencial con la temperatura cerca del punto crítico, pero el comportamiento de los experimentos es:

$${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.308}}$$

El exponente también es universal, ya que es el mismo en el modelo de Ising que en el imán y gas experimental, pero no es igual al valor medio del campo. Esta fue una gran sorpresa.

Esto también es cierto en dos dimensiones, donde

$${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.125}}$$

Pero ahí no fue una sorpresa, porque así lo predijo Onsager .

Dimensiones reducidas: giros en bloque

En tres dimensiones, la serie perturbativa de la teoría de campos es una expansión en una constante de acoplamiento λ que no es particularmente pequeña. El tamaño efectivo del acoplamiento en el punto fijo es uno mayor que el factor de ramificación de las trayectorias de las partículas, por lo que el parámetro de expansión es aproximadamente 1/3. En dos dimensiones, el parámetro de expansión perturbativa es 2/3.

Pero la renormalización también se puede aplicar productivamente a los espines directamente, sin pasar a un campo promedio. Históricamente, este enfoque se debe a Leo Kadanoff y es anterior a la expansión perturbativa ε.

La idea es integrar los espines de la red de forma iterativa, generando un flujo en los acoplamientos. Pero ahora los acoplamientos son coeficientes de energía reticular. El hecho de que exista una descripción continua garantiza que esta iteración convergerá a un punto fijo cuando la temperatura se ajuste a la criticidad.

Renormalización de Migdal-Kadanoff

Escriba el modelo de Ising bidimensional con un número infinito de posibles interacciones de orden superior. Para mantener la simetría de la reflexión del espín, sólo contribuyen las potencias pares:

$${\displaystyle E=\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}+\sum J_{ijkl}S_{i}S_{j}S_{k}S_{l}\ldots .}$$

Por invariancia de traducción, _Jij es sólo una función de ij. Por la simetría rotacional accidental, en grandes i y j su tamaño solo depende de la magnitud del vector bidimensional i  −  j . Los coeficientes de orden superior también están restringidos de manera similar.

La iteración de renormalización divide la red en dos partes: giros pares y giros impares. Los giros impares viven en las posiciones de la red del tablero de ajedrez impar y los pares en el tablero de ajedrez par. Cuando los giros están indexados por la posición ( i , j ), los sitios impares son aquellos con i  +  j impar y los sitios pares aquellos con i  +  j par, y los sitios pares solo están conectados a sitios impares.

Los dos valores posibles de los giros impares se integrarán sumando ambos valores posibles. Esto producirá una nueva función de energía libre para los giros pares restantes, con nuevos acoplamientos ajustados. Los giros pares están nuevamente en una celosía, con ejes inclinados a 45 grados con respecto a los antiguos. Al desrotar el sistema se restaura la configuración anterior, pero con nuevos parámetros. Estos parámetros describen la interacción entre espines a distancias mayores. ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

A partir del modelo de Ising y repitiendo esta iteración eventualmente se cambian todos los acoplamientos. Cuando la temperatura es superior a la temperatura crítica, los acoplamientos convergerán a cero, ya que los espines a grandes distancias no están correlacionados. Pero cuando la temperatura es crítica, habrá coeficientes distintos de cero que vinculan los espines en todos los órdenes. El flujo se puede aproximar considerando únicamente los primeros términos. Este flujo truncado producirá aproximaciones cada vez mejores a los exponentes críticos cuando se incluyan más términos.

La aproximación más simple es mantener sólo el término J habitual y descartar todo lo demás. Esto generará un flujo en J , análogo al flujo en t en el punto fijo de λ en la expansión ε.

Para encontrar el cambio en J , considere los cuatro vecinos de un sitio impar. Estos son los únicos giros que interactúan con él. La contribución multiplicativa a la función de partición de la suma de los dos valores del espín en el sitio impar es:

$${\displaystyle e^{J(N_{+}-N_{-})}+e^{J(N_{-}-N_{+})}=2\cosh(J[N_{+}-N_{-}])}$$

donde N _± es el número de vecinos que son ±. Ignorando el factor 2, la contribución de energía libre de este sitio impar es:

$${\displaystyle F=\log(\cosh[J(N_{+}-N_{-})]).}$$

Esto incluye las interacciones del vecino más cercano y del vecino más cercano, como se esperaba, pero también una interacción de cuatro espines que debe descartarse. Para truncar las interacciones con el vecino más cercano, considere que la diferencia de energía entre todos los giros iguales y con números iguales + y – es:

$${\displaystyle \Delta F=\ln(\cosh[4J]).}$$

A partir de los acoplamientos vecinos más cercanos, la diferencia de energía entre todos los espines iguales y los espines escalonados es 8 J. La diferencia de energía entre todos los espines iguales y no escalonados pero con espín neto cero es 4 J. Haciendo caso omiso de las interacciones de cuatro espines, un truncamiento razonable es el promedio de estas dos energías o 6 J. Dado que cada enlace contribuirá a dos giros impares, el valor correcto para comparar con el anterior es la mitad:

$${\displaystyle 3J'=\ln(\cosh[4J]).}$$

Para J pequeño , esto fluye rápidamente hacia un acoplamiento cero. Las J grandes fluyen hacia acoplamientos grandes. El exponente de magnetización se determina a partir de la pendiente de la ecuación en el punto fijo.

Las variantes de este método producen buenas aproximaciones numéricas para los exponentes críticos cuando se incluyen muchos términos, tanto en dos como en tres dimensiones.

Aplicaciones

Magnetismo

La motivación original del modelo fue el fenómeno del ferromagnetismo . El hierro es magnético; una vez magnetizado, permanece magnetizado durante mucho tiempo en comparación con cualquier tiempo atómico.

En el siglo XIX se pensaba que los campos magnéticos se debían a corrientes en la materia, y Ampère postuló que los imanes permanentes son causados ​​por corrientes atómicas permanentes. Sin embargo, el movimiento de las partículas cargadas clásicas no podía explicar las corrientes permanentes, como lo demuestra Larmor . Para tener ferromagnetismo, los átomos deben tener momentos magnéticos permanentes que no se deben al movimiento de las cargas clásicas.

Una vez que se descubrió el espín del electrón, quedó claro que el magnetismo debería deberse a una gran cantidad de espines de electrones, todos orientados en la misma dirección. Era natural preguntarse cómo saben todos los espines de los electrones hacia qué dirección apuntar, porque los electrones de un lado de un imán no interactúan directamente con los electrones del otro lado. Sólo pueden influir en sus vecinos. El modelo de Ising fue diseñado para investigar si una gran fracción de los espines de los electrones podría orientarse en la misma dirección utilizando únicamente fuerzas locales.

gas reticular

El modelo de Ising puede reinterpretarse como un modelo estadístico para el movimiento de los átomos. Dado que la energía cinética depende sólo del momento y no de la posición, mientras que la estadística de las posiciones sólo depende de la energía potencial, la termodinámica del gas sólo depende de la energía potencial para cada configuración de átomos.

Un modelo aproximado consiste en hacer del espacio-tiempo una red e imaginar que cada posición contiene un átomo o no. _{El espacio de} configuración es el de bits independientes Bi , donde cada bit es 0 o 1 dependiendo de si la posición está ocupada o no. Una interacción atractiva reduce la energía de dos átomos cercanos. Si la atracción es sólo entre vecinos más cercanos, la energía se reduce en −4 JB _i B _j por cada par de vecinos ocupados.

La densidad de los átomos se puede controlar agregando un potencial químico , que es un costo de probabilidad multiplicativa de agregar un átomo más. Un factor multiplicativo de probabilidad puede reinterpretarse como un término aditivo en el logaritmo: la energía. La energía extra de una configuración con N átomos cambia en μN . El costo de probabilidad de un átomo más es un factor de exp(− βμ ).

Entonces la energía del gas reticular es:

$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}}$$

Reescribiendo los bits en términos de giros, ${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$

$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}}$$

Para redes donde cada sitio tiene el mismo número de vecinos, este es el modelo de Ising con un campo magnético h = ( zJ  −  μ )/2, donde z es el número de vecinos.

En sistemas biológicos, se han utilizado versiones modificadas del modelo de gas reticular para comprender una variedad de comportamientos vinculantes. Estos incluyen la unión de ligandos a receptores en la superficie celular, ^[32] la unión de proteínas de quimiotaxis al motor flagelar, ^[33] y la condensación del ADN. ^[34]

Neurociencia

La actividad de las neuronas en el cerebro se puede modelar estadísticamente. Cada neurona en cualquier momento está activa + o inactiva -. Las neuronas activas son aquellas que envían un potencial de acción por el axón en un período de tiempo determinado, y las inactivas son las que no lo hacen. Debido a que la actividad neuronal en un momento dado se modela mediante bits independientes, Hopfield sugirió en 1982 que un modelo dinámico de Ising proporcionaría una primera aproximación a una red neuronal capaz de aprender . ^[35] Esta red neuronal recurrente de aprendizaje fue publicada por Shun'ichi Amari en 1972. ^{[36] [37]}

Siguiendo el enfoque general de Jaynes, ^{[38] [39]} una interpretación posterior de Schneidman, Berry, Segev y Bialek, ^[40] es que el modelo de Ising es útil para cualquier modelo de función neuronal, porque un modelo estadístico para la actividad neuronal debería ser elegido utilizando el principio de máxima entropía . Dada una colección de neuronas, un modelo estadístico que puede reproducir la tasa de activación promedio de cada neurona introduce un multiplicador de Lagrange para cada neurona:

$${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$

$${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$

${\displaystyle J_{ij}}$

vasos giratorios

Con el modelo de Ising también se pueden describir los llamados vasos de espín , mediante el habitual hamiltoniano donde las variables S describen los espines de Ising, mientras que los J _i,k se toman de una distribución aleatoria. Para los vidrios giratorios, una distribución típica elige enlaces antiferromagnéticos con probabilidad p y enlaces ferromagnéticos con probabilidad 1 −  p (también conocido como modelo de Ising de enlace aleatorio). Estos enlaces permanecen fijos o "apagados" incluso en presencia de fluctuaciones térmicas. Cuando p  = 0 tenemos el modelo de Ising original. Este sistema merece interés por sí solo; en particular uno tiene propiedades "no ergódicas" que conducen a un extraño comportamiento de relajación. También ha atraído mucha atención el modelo de Ising de dilución de sitio y vínculo relacionado, especialmente en dos dimensiones, lo que lleva a un comportamiento crítico intrigante. ^[41] ${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$

Hielo marino

Se pueden crear aproximaciones de estanques de fusión 2D utilizando el modelo de Ising; Los datos de topografía del hielo marino influyen bastante en los resultados. La variable de estado es binaria para una aproximación 2D simple y puede ser agua o hielo. ^[42]

Topologías de árbol de Cayley y grandes redes neuronales.

Un árbol o rama de Cayley abierto con relación de ramificación = 2 y k generaciones

Para investigar un modelo de Ising con relevancia potencial para redes neuronales grandes (por ejemplo, con o interacciones por nodo), por sugerencia de Krizan en 1979, Barth (1981) obtuvo la expresión analítica exacta para la energía libre del modelo de Ising en el Árbol de Cayley cerrado (con una relación de ramificación arbitrariamente grande) para un campo magnético externo cero (en el límite termodinámico) aplicando las metodologías de Glasser (1970) y Jellito (1979) ${\displaystyle 10^{4}}$ ${\displaystyle 10^{5}}$

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {2\gamma }{(\gamma +1)}}\ln(\cosh J)+{\frac {\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)}}\sum _{i=2}^{z}{\frac {1}{\gamma ^{i}}}\ln J_{i}(\tau )}$$

Un árbol de Cayley cerrado con proporción de ramificación = 4. (Solo se muestran los sitios para las generaciones k, k-1 y k=1 (superpuestos como una fila) para los árboles unidos)

donde es una relación de ramificación arbitraria (mayor o igual a 2), , , (que representa la energía de interacción del vecino más cercano) y hay k (→ ∞ en el límite termodinámico) generaciones en cada una de las ramas del árbol (formando el cerrado arquitectura de árbol como se muestra en el diagrama de árbol de Cayley cerrado dado.) Se puede demostrar que la suma en el último término converge uniforme y rápidamente (es decir, para z → ∞, permanece finita) produciendo una función continua y monótona, estableciendo que, para mayor mayor o igual a 2, la energía libre es una función continua de la temperatura T. Un análisis más detallado de la energía libre indica que exhibe una primera derivada discontinua inusual a la temperatura crítica (Krizan, Barth & Glasser (1983), Glasser & Goldberg ( 1983).) ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\equiv \tanh J}$ ${\displaystyle \tau \equiv t^{2}}$ ${\displaystyle J\equiv \beta \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma }$

Se encontró que la correlación espín-espín entre sitios (en general, m y n) en el árbol tiene un punto de transición cuando se consideran los vértices (por ejemplo, A y Ā, su reflejo), sus respectivos sitios vecinos (como B y su reflexión), y entre sitios adyacentes a los vértices extremos superior e inferior de los dos árboles (por ejemplo, A y B), como puede determinarse a partir de

$${\displaystyle \langle s_{m}s_{n}\rangle ={Z_{N}}^{-1}(0,T)[\cosh J]^{N_{b}}2^{N}\sum _{l=1}^{z}g_{mn}(l)t^{l}}$$

${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle g_{mn}(l)t^{l}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle {Z_{N}}}$ ${\displaystyle \sum _{\{s\}}e^{-\beta H}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle T_{C}}$

$${\displaystyle T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.}$$

La temperatura crítica para este modelo sólo está determinada por la relación de ramificación y la energía de interacción de sitio a sitio , un hecho que puede tener implicaciones directas asociadas con la estructura neuronal versus su función (en el sentido de que relaciona las energías de interacción y la relación de ramificación a su comportamiento de transición). Por ejemplo, una relación entre el comportamiento de transición de las actividades de las redes neuronales entre los estados de sueño y vigilia (que puede correlacionarse con una transición de fase de tipo espín-espín) en términos de cambios en la interconectividad neuronal ( ) y/ o las interacciones entre vecinos ( ), a lo largo del tiempo, es sólo una posible vía sugerida para una mayor investigación experimental sobre tal fenómeno. En cualquier caso, para este modelo de Ising se estableció que “la estabilidad de la correlación de largo plazo aumenta al aumentar o aumentar ”. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Para esta topología, se encontró que la correlación espín-espín es cero entre los vértices extremos y los sitios centrales en los que se unen los dos árboles (o ramas) (es decir, entre A y C, D o E individualmente). Este comportamiento es Se explica que se debe al hecho de que, a medida que k aumenta, el número de enlaces aumenta exponencialmente (entre los vértices extremos) y, por lo tanto, aunque la contribución a las correlaciones de espín disminuye exponencialmente, la correlación entre sitios como el vértice extremo (A) en un árbol y el vértice extremo en el árbol unido (Ā) permanece finito (por encima de la temperatura crítica). Además, A y B también exhiben una correlación que no desaparece (al igual que sus reflexiones), prestándose así, para sitios de nivel B (con nivel A), considerándose “clusters” que tienden a exhibir sincronización de disparo.

Basado en una revisión de otros modelos de red clásicos como comparación, se determinó que el modelo de Ising en un árbol de Cayley cerrado era el primer modelo mecánico estadístico clásico que demostraba sitios locales y de largo alcance con correlaciones de giro-giro que no desaparecen, mientras que al mismo tiempo exhibe sitios intermedios con correlación cero, lo que de hecho era un asunto relevante para las grandes redes neuronales en el momento de su consideración. El comportamiento del modelo también es relevante para cualquier otro sistema físico (o biológico) de árbol divergente-convergente que exhiba una topología cerrada de árbol de Cayley con una interacción de tipo Ising. Esta topología no debe ignorarse ya que su comportamiento para los modelos de Ising se ha resuelto exactamente y presumiblemente la naturaleza habrá encontrado una manera de aprovechar simetrías tan simples en muchos niveles de sus diseños.

Barth (1981) señaló desde el principio la posibilidad de interrelaciones entre (1) el modelo clásico de redes neuronales grandes (con topologías divergentes-convergentes acopladas similares) con (2) un modelo mecánico cuántico estadístico subyacente (independiente de la topología y con persistencia en los valores cuánticos fundamentales). estados):

El resultado más significativo obtenido del modelo cerrado del árbol de Cayley implica la aparición de una correlación de largo alcance en ausencia de una correlación de rango intermedio. Este resultado no ha sido demostrado por otros modelos clásicos. El fracaso de la visión clásica de la transmisión de impulsos para explicar este fenómeno ha sido citado por numerosos investigadores (Ricciiardi y Umezawa, 1967, Hokkyo 1972, Stuart, Takahashi y Umezawa 1978, 1979) como lo suficientemente significativo como para justificar suposiciones radicalmente nuevas en un sentido muy amplio. nivel fundamental y han sugerido la existencia de modos cooperativos cuánticos dentro del cerebro... Además, es interesante observar que el (modelado) de... partículas o bosones de Goldstone (según Umezawa, et al)... dentro del cerebro, demuestra la larga -correlación de rango de números cuánticos conservados en el estado fundamental... En el modelo de árbol de Cayley cerrado, los estados fundamentales de pares de sitios, así como la variable de estado de sitios individuales, (pueden) exhibir una correlación de largo alcance.

Era una creencia natural y común entre los primeros neurofísicos (por ejemplo, Umezawa, Krizan, Barth, etc.) que los modelos neuronales clásicos (incluidos aquellos con aspectos mecánicos estadísticos) algún día tendrán que integrarse con la física cuántica (con aspectos estadísticos cuánticos). Quizás similar a cómo el dominio de la química se ha integrado históricamente en la física cuántica a través de la química cuántica.

Quedan por resolver varios problemas mecánicos estadísticos adicionales de interés para el árbol de Cayley cerrado, incluido el caso dependiente del tiempo y la situación del campo externo, así como esfuerzos teóricos destinados a comprender las interrelaciones con los constituyentes cuánticos subyacentes y su física.

Ver también

• modelo ANNI
• Parámetro de carpeta
• máquina de Boltzmann
• Arranque conforme
• Construcción de una cadena de Markov irreducible en el modelo de Ising
• Imán frustrado geométricamente
• Modelo clásico de Heisenberg
• Modelo cuántico de Heisenberg
• Red de Hopfield
• Ising exponentes críticos
• JC Ward
• modelo kuramoto
• Máxima uniformidad
• Operador de pedidos
• Modelo de Potts (común con el modelo Ashkin-Teller )
• Modelos de giro
• Modelo Ising de celosía cuadrada
• Algoritmo de Swendsen-Wang
• modelo tJ
• Modelo de Ising crítico bidimensional
• algoritmo de Wolff
• modelo XY
• modelo ZN

Notas a pie de página

1. Véase Gallavotti (1999), capítulos VI-VII.
2. Ernst Ising, Contribución a la teoría del ferromagnetismo
3. Véase Baierlein (1999), capítulo 16.
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• Un subprograma Java dinámico de Ising en 2D
• Un subprograma de Java Ising 2D más grande y más complicado
• Simulación del modelo Ising por Enrique Zeleny, el Proyecto de Demostraciones Wolfram
• Transiciones de fase en celosías.
• La prueba tridimensional del modelo de Ising es imposible, afirma el investigador Sandia
• Simulación Monte Carlo interactiva de los modelos Ising, XY y Heisenberg con gráficos 3D (requiere un navegador compatible con WebGL)
• Código del modelo Ising, ejemplo de eliminación de ruido de imagen con el modelo Ising
• Las notas de la conferencia de David Tong proporcionan una buena introducción.
• La caricatura de los imanes que ha transformado la ciencia - Artículo de la revista Quanta sobre el modelo de Ising
• Simulación del modelo Ising bidimensional en Julia: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl