Modelo de Ising de campo transversal

El modelo de Ising de campo transversal es una versión cuántica del modelo de Ising clásico . Presenta una red con interacciones con el vecino más cercano determinadas por la alineación o anti-alineación de las proyecciones de espín a lo largo del eje, así como un campo magnético externo perpendicular al eje (sin pérdida de generalidad, a lo largo del eje) que crea un sesgo energético para una dirección de giro del eje x sobre la otra. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$

Una característica importante de esta configuración es que, en un sentido cuántico, la proyección de espín a lo largo del eje y la proyección de espín a lo largo del eje no conmutan cantidades observables. Es decir, no pueden observarse ambos simultáneamente. Esto significa que la mecánica estadística clásica no puede describir este modelo y se necesita un tratamiento cuántico. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

En concreto, el modelo tiene el siguiente hamiltoniano cuántico :

${\displaystyle H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }Z_{i}Z_{j}+g\sum _{j}X_{j}\right)}$

Aquí, los subíndices se refieren a sitios de red y la suma se realiza sobre pares de sitios vecinos más cercanos y . y son representaciones de elementos del álgebra de espín (matrices de Pauli, en el caso de espín 1/2) que actúan sobre las variables de espín de los sitios correspondientes. Se anticonmutan entre sí si se encuentran en el mismo sitio y se conmutan entre sí si se encuentran en sitios diferentes. es un prefactor con dimensiones de energía y es otro coeficiente de acoplamiento que determina la fuerza relativa del campo externo en comparación con la interacción del vecino más cercano. ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle Z_{j}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$

Fases del modelo de Ising de campo transversal 1D.

A continuación, la discusión se restringe al caso unidimensional donde cada sitio de red es un espacio de Hilbert complejo bidimensional (es decir, representa una partícula de espín 1/2). Para simplificar, aquí y están normalizados para que cada uno tenga determinante -1. El hamiltoniano posee un grupo de simetría, ya que es invariante bajo la operación unitaria de invertir todos los espines en la dirección. Más precisamente, la transformación de simetría viene dada por el unitario . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$

El modelo 1D admite dos fases, dependiendo de si el estado fundamental (concretamente, en el caso de degeneración, un estado fundamental que no es un estado macroscópicamente entrelazado) rompe o conserva la simetría spin-flip antes mencionada. El signo de no afecta la dinámica, ya que el sistema positivo se puede mapear en el sistema negativo realizando una rotación cada segundo sitio . ${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle j}$

El modelo se puede resolver exactamente para todas las constantes de acoplamiento. Sin embargo, en términos de giros en el sitio, la solución generalmente es muy incómoda de escribir explícitamente en términos de las variables de giro. Es más conveniente escribir la solución explícitamente en términos de variables fermiónicas definidas por la transformación de Jordan-Wigner , en cuyo caso los estados excitados tienen una descripción simple de cuasipartícula o cuasihueco.

Fase ordenada

Cuando , se dice que el sistema está en la fase ordenada. En esta fase, el estado fundamental rompe la simetría spin-flip. Por tanto, el estado fundamental es, de hecho, doblemente degenerado. Para esta fase se exhibe ordenamiento ferromagnético , mientras que para la antiferromagnética existe ordenamiento. ${\displaystyle |g|<1}$ ${\displaystyle J>0}$ ${\displaystyle J<0}$

Precisamente, si es un estado fundamental del hamiltoniano, entonces también lo es, y en conjunto abarcan el espacio de estados fundamentales degenerados. Como ejemplo simple, cuando y , los estados fundamentales son y , es decir, con todos los espines alineados a lo largo del eje. ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle \equiv \prod _{j}X_{j}|\psi _{1}\rangle \neq |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle J>0}$ ${\displaystyle |\ldots \uparrow \uparrow \uparrow \ldots \rangle }$ ${\displaystyle |\ldots \downarrow \downarrow \downarrow \ldots \rangle }$ ${\displaystyle z}$

Esta es una fase espaciada, lo que significa que los estados excitados de menor energía tienen una energía mayor que la energía del estado fundamental en una cantidad distinta de cero (que no desaparece en el límite termodinámico). En particular, esta brecha energética es . ^[1] ${\displaystyle 2|J|(1-|g|)}$

Fase desordenada

Por el contrario, cuando , se dice que el sistema está en fase desordenada. El estado fundamental conserva la simetría spin-flip y no es degenerado. Como ejemplo simple, cuando es infinito, el estado fundamental es , es decir, con el giro en la dirección de cada sitio. ${\displaystyle |g|>1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |\ldots \rightarrow \rightarrow \rightarrow \ldots \rangle }$ ${\displaystyle +x}$

Ésta también es una fase con lagunas. La brecha energética es . ^[1] ${\displaystyle 2|J|(|g|-1)}$

Fase sin pausas

Cuando , el sistema sufre una transición de fase cuántica . En este valor de , el sistema tiene excitaciones sin espacios y su comportamiento de baja energía se describe mediante la teoría de campo conforme de Ising bidimensional. Esta teoría conforme tiene carga central y es el más simple de los modelos mínimos unitarios con carga central menor que 1. Además del operador de identidad, la teoría tiene dos campos principales, uno con pesos conformes y otro con pesos conformes . ^[2] ${\displaystyle |g|=1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c=1/2}$ ${\displaystyle (1/16,1/16)}$ ${\displaystyle (1/2,1/2)}$

Transformación Jordan-Wigner

Es posible reescribir las variables de espín como variables fermiónicas, utilizando una transformación altamente no local conocida como Transformación de Jordan-Wigner. ^[3]

Un operador de creación de fermiones en sitio se puede definir como . Entonces, el campo transversal Ising Hamiltoniano (suponiendo una cadena infinita e ignorando los efectos de los límites) se puede expresar completamente como una suma de términos cuadráticos locales que contienen operadores de creación y aniquilación . ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle c_{j}^{\dagger }={\frac {1}{2}}(Z_{j}+iY_{j})\prod _{k<j}X_{k}}$

${\displaystyle H=-J\sum _{j}(c_{j}^{\dagger }c_{j+1}+c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}+2g(c_{j}^{\dagger }c_{j}-1/2))}$

Este hamiltoniano no logra conservar el número total de fermiones y no tiene la simetría continua global asociada, debido a la presencia del término. Sin embargo, conserva la paridad de fermiones. Es decir, el hamiltoniano conmuta con el operador cuántico que indica si el número total de fermiones es par o impar, y esta paridad no cambia con la evolución temporal del sistema. El hamiltoniano es matemáticamente idéntico al de un superconductor en el formalismo de campo medio de Bogoliubov-de Gennes y puede entenderse completamente de la misma manera estándar. El espectro de excitación exacto y los valores propios se pueden determinar mediante la transformación de Fourier al espacio de momento y la diagonalización del hamiltoniano. En términos de fermiones de Majorana y , el hamiltoniano adopta una forma aún más simple (hasta una constante aditiva): ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}}$ ${\displaystyle a_{j}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}}$ ${\displaystyle b_{j}=-i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})}$

${\displaystyle H=i\sum _{j}J(a_{j+1}b_{j}+gb_{j}a_{j})}$.

Dualidad Kramers-Wannier

Se puede realizar un mapeo no local de matrices de Pauli conocido como transformación de dualidad de Kramers-Wannier de la siguiente manera: ^[4] Luego, en términos de las matrices de Pauli recién definidas con tildes, que obedecen a las mismas relaciones algebraicas que las matrices de Pauli originales, el hamiltoniano es simple . Esto indica que el modelo con parámetro de acoplamiento es dual al modelo con parámetro de acoplamiento , y establece una dualidad entre la fase ordenada y la fase desordenada. En términos de los fermiones de Majorana mencionados anteriormente, esta dualidad se manifiesta más obviamente en el reetiquetado trivial . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle a_{j}\to b_{j},b_{j}\to a_{j+1}}$

Tenga en cuenta que existen algunas consideraciones sutiles en los límites de la cadena de Ising; como resultado de esto, las propiedades de degeneración y simetría de las fases ordenadas y desordenadas cambian bajo la dualidad Kramers-Wannier. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Generalizaciones

El modelo de Potts cuántico de estado q y el modelo de reloj cuántico son generalizaciones del modelo de Ising de campo transversal para sistemas reticulares con estados por sitio. El modelo de Ising de campo transversal representa el caso en el que . ${\displaystyle Z_{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=2}$

Modelo clásico de Ising

El modelo de Ising de campo transversal cuántico en dimensiones es dual a un modelo de Ising clásico anisotrópico en dimensiones. ^[5] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$

Referencias

1. Eduardo Fradkin (2013). Teorías de campo de la física de la materia condensada . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 125. doi : 10.1017/CBO9781139015509.
2. Ginsparg, Paul (1988). "Teoría de campos conforme aplicada". arXiv : hep-th/9108028 .
3. Molignini, Paolo (11 de marzo de 2013). "El modelo de Ising en la teoría de campos conformes" (PDF) .
4. Radicevic, Djordje (2018). "Estructuras de giro y dualidades exactas en dimensiones bajas". arXiv : 1809.07757 [hep-th].
5. McGreevy (20 de abril de 2021). "Física 239a: ¿De dónde vienen las teorías cuánticas de campos?" (PDF) .