superficie gaussiana

Superficie cerrada en un espacio tridimensional.

Una superficie gaussiana cilíndrica se utiliza comúnmente para calcular la carga eléctrica de un cable "ideal", recto e infinitamente largo.

Una superficie gaussiana es una superficie cerrada en un espacio tridimensional a través de la cual se calcula el flujo de un campo vectorial ; generalmente el campo gravitacional , el campo eléctrico o el campo magnético . ^[1] Es una superficie cerrada arbitraria S = ∂ V (el límite de una región tridimensional V ) utilizada junto con la ley de Gauss para el campo correspondiente ( ley de Gauss , ley de Gauss para el magnetismo o ley de Gauss para la gravedad ) por realizar una integral de superficie , con el fin de calcular la cantidad total de la cantidad fuente encerrada; por ejemplo, cantidad de masa gravitacional como fuente del campo gravitacional o cantidad de carga eléctrica como fuente del campo electrostático, o viceversa: calcule los campos para la distribución de la fuente.

Para ser más concretos, en este artículo se considera el campo eléctrico, ya que es el tipo de campo más frecuente para el que se utiliza el concepto de superficie.

Las superficies gaussianas suelen elegirse cuidadosamente para explotar las simetrías de una situación y simplificar el cálculo de la integral de superficie . Si se elige la superficie gaussiana de modo que para cada punto de la superficie la componente del campo eléctrico a lo largo del vector normal sea constante, entonces el cálculo no requerirá una integración difícil, ya que las constantes que surgen se pueden extraer de la integral. Se define como la superficie cerrada en un espacio tridimensional mediante la cual se calcula el flujo del campo vectorial.

Superficies gaussianas comunes

Ejemplos de superficies gaussianas válidas (izquierda) e inválidas (derecha). Izquierda: Algunas superficies gaussianas válidas incluyen la superficie de una esfera, la superficie de un toroide y la superficie de un cubo. Son superficies cerradas que encierran completamente un volumen 3D. Derecha: algunas superficies que NO PUEDEN usarse como superficies gaussianas, como la superficie del disco , la superficie cuadrada o la superficie del hemisferio. No encierran completamente un volumen 3D y tienen límites (rojo). Tenga en cuenta que infinitos planos pueden aproximarse a superficies gaussianas.

La mayoría de los cálculos que utilizan superficies gaussianas comienzan implementando la ley de Gauss (para la electricidad): ^[2]

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.}$

Por tanto, Q _enc es la carga eléctrica encerrada por la superficie gaussiana.

Esta es la ley de Gauss, que combina tanto el teorema de la divergencia como la ley de Coulomb .

superficie esférica

Se utiliza una superficie gaussiana esférica para encontrar el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes: ^[3]

• un cargo puntual
• una capa esférica de carga uniformemente distribuida
• cualquier otra distribución de carga con simetría esférica

La superficie esférica gaussiana se elige de modo que sea concéntrica con la distribución de carga.

Como ejemplo, consideremos una capa esférica cargada S de espesor insignificante, con una carga Q uniformemente distribuida y un radio R. Podemos usar la ley de Gauss para encontrar la magnitud del campo eléctrico resultante E a una distancia r del centro de la capa cargada. Es inmediatamente evidente que para una superficie gaussiana esférica de radio r < R la carga encerrada es cero: por lo tanto, el flujo neto es cero y la magnitud del campo eléctrico en la superficie gaussiana también es 0 (si hacemos que Q _A = 0 en la ecuación de Gauss). ley, donde Q _A es la carga encerrada por la superficie gaussiana).

Con el mismo ejemplo, utilizando una superficie gaussiana más grande fuera de la capa donde r > R , la ley de Gauss producirá un campo eléctrico distinto de cero. Esto se determina de la siguiente manera.

El flujo que sale de la superficie esférica S es:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\iint _{S}dA}$

El área de superficie de la esfera de radio r es lo que implica $${\displaystyle \iint _{S}dA=4\pi r^{2}}$$ $${\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}$$

Según la ley de Gauss, el flujo también finalmente equipara la expresión para Φ _E da la magnitud del campo E en la posición r : $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}$$

Este resultado no trivial muestra que cualquier distribución esférica de carga actúa como una carga puntual cuando se observa desde el exterior de la distribución de carga; De hecho, esto es una verificación de la ley de Coulomb . Y, como se mencionó, los cargos exteriores no cuentan.

Superficie cilíndrica

Se utiliza una superficie gaussiana cilíndrica para encontrar el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes: ^[3]

• una línea infinitamente larga de carga uniforme
• un plano infinito de carga uniforme
• un cilindro infinitamente largo de carga uniforme

A continuación se muestra un ejemplo de "campo cerca de carga lineal infinita";

Considere un punto P a una distancia r de una línea de carga infinita que tiene densidad de carga (carga por unidad de longitud) λ. Imaginemos una superficie cerrada en forma de cilindro cuyo eje de rotación es la línea de carga. Si h es la longitud del cilindro, entonces la carga encerrada en el cilindro es donde q es la carga encerrada en la superficie gaussiana. Hay tres superficies a , b y c como se muestra en la figura. El área del vector diferencial es d A , en cada superficie a , b y c . $${\displaystyle q=\lambda h,}$$

Superficie cerrada en forma de cilindro que tiene una línea de carga en el centro y muestra áreas diferenciales d A de las tres superficies.

El paso del flujo consta de tres contribuciones:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

Para las superficies a y b, E y d A serán perpendiculares . Para la superficie c, E y d A serán paralelas , como se muestra en la figura.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\iint _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\iint _{c}dA\end{aligned}}}$$

El área de la superficie del cilindro es lo que implica $${\displaystyle \iint _{c}dA=2\pi rh}$$ $${\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh.}$$

Según la ley de Gauss, igualando Φ _E se obtiene $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$$

pastillero gaussiano

Esta superficie se utiliza con mayor frecuencia para determinar el campo eléctrico debido a una lámina infinita de carga con densidad de carga uniforme, o una losa de carga con un espesor finito. El pastillero tiene forma cilíndrica y se puede considerar que consta de tres componentes: el disco en un extremo del cilindro con área πR ² , el disco en el otro extremo con área igual y el costado del cilindro. La suma del flujo eléctrico a través de cada componente de la superficie es proporcional a la carga contenida en el pastillero, según lo dicta la ley de Gauss. Debido a que el campo cercano a la hoja se puede aproximar como constante, el pastillero está orientado de manera que las líneas de campo penetren los discos en los extremos del campo en un ángulo perpendicular y los lados del cilindro sean paralelos a las líneas de campo. .

Ver también

• Área
• Área de superficie
• Cálculo vectorial
• Integración
• Teorema de divergencia
• Jaula de Faraday
• teoría de campo
• linea de campo

Referencias

1. Principios esenciales de la física, PM Whelan, MJ Hodgeson, segunda edición, 1978, John Murray, ISBN  0-7195-3382-1
2. Introducción a la electrodinámica (cuarta edición), DJ Griffiths, 2012, ISBN 978-0-321-85656-2 
3. Física para científicos e ingenieros: con física moderna (sexta edición), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7 

• Purcell, Edward M. (1985). Electricidad y magnetismo . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004908-4.
• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Otras lecturas

• Electromagnetismo (segunda edición) , IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 

enlaces externos

• Campos Archivado el 27 de mayo de 2010 en Wayback Machine : un capítulo de un libro de texto en línea