En mecánica estadística , el modelo de Ising de red cuadrada bidimensional es un modelo de red simple de espines magnéticos que interactúan . El modelo se destaca por tener interacciones no triviales, pero tiene una solución analítica . El modelo fue resuelto por Lars Onsager para el caso especial en el que el campo magnético externo H = 0. [1] Aún no se ha encontrado una solución analítica para el caso general .
La temperatura crítica se puede obtener a partir de la relación de dualidad Kramers-Wannier . Denotando la energía libre por sitio como , se tiene:
dónde
Suponiendo que solo hay una línea crítica en el plano ( K , L ) , la relación de dualidad implica que está dada por:
Para el caso isotrópico se encuentra la famosa relación para la temperatura crítica
celosía dual
Considere una configuración de espines en la red cuadrada . Sean r y s el número de vecinos diferentes en las direcciones vertical y horizontal respectivamente. Entonces la suma correspondiente a está dada por
celosía dual
Construya una red dual como se muestra en el diagrama. Para cada configuración , se asocia un polígono a la red dibujando una línea en el borde de la red dual si los espines separados por el borde son diferentes. Dado que al atravesar un vértice los espines deben cambiar un número par de veces para llegar al punto inicial con la misma carga, cada vértice de la red dual está conectado a un número par de líneas en la configuración, definiendo un polígono. .
sumando todos los polígonos en la red dual, donde r y s son el número de líneas horizontales y verticales en el polígono, con el factor de 2 que surge de la inversión de la configuración de espín.
Expansión a baja temperatura
A bajas temperaturas, K , L tienden a infinito, de modo que as , de modo que
define una expansión a baja temperatura de .
Expansión a alta temperatura
ya que uno tiene
Por lo tanto
dónde y . Como hay N aristas horizontales y verticales, hay un total de términos en la expansión. Cada término corresponde a una configuración de líneas de la red, asociando una línea que conecta i y j si el término (o se elige en el producto. Sumando las configuraciones, usando
muestra que sólo las configuraciones con un número par de líneas en cada vértice (polígonos) contribuirán a la función de partición, dando
donde la suma es sobre todos los polígonos de la red. Dado que tanh K , tanh L as , esto da la expansión a alta temperatura de .
Para el caso isotrópico , de la expresión anterior se encuentra la energía interna por sitio:
y la magnetización espontánea es, por ,
y para .
Notas
^ Onsager, Lars (1 de febrero de 1944). "Estadística cristalina. I. Un modelo bidimensional con una transición orden-desorden". Revisión física . 65 (3–4): 117–149. doi : 10.1103/PhysRev.65.117.
Referencias
Baxter, Rodney J. (1982), Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística (PDF) , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, señor 0690578
Baxter, Rodney J. (2016). "Las energías libres en volumen, superficie y esquinas del modelo de Ising de celosía cuadrada". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 50 (1). Publicación de IOP: 014001. arXiv : 1606.02029 . doi :10.1088/1751-8113/50/1/014001. ISSN 1751-8113. S2CID 2467419.
CEPILLO, STEPHEN G. (1967-10-01). "Historia del modelo Lenz-Ising". Reseñas de Física Moderna . 39 (4). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 883–893. Código bibliográfico : 1967RvMP...39..883B. doi :10.1103/revmodphys.39.883. ISSN 0034-6861.
Hucht, Alfred (2021). "El modelo de Ising de celosía cuadrada sobre el rectángulo III: determinantes de Hankel y Toeplitz". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 54 (37). Publicación de IOP: 375201. arXiv : 2103.10776 . Código Bib : 2021JPhA...54K5201H. doi :10.1088/1751-8121/ac0983. ISSN 1751-8113. S2CID 232290629.
Ising, Ernst (1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus", Z. Phys. , 31 (1): 253–258, Bibcode :1925ZPhy...31..253I, doi :10.1007/BF02980577, S2CID 122157319
Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Teoría estadística de campos, Volumen 1: Del movimiento browniano a la renormalización y la teoría del calibre de red , Cambridge University Press, ISBN 978-0521408059
Barry M. McCoy y Tai Tsun Wu (1973), El modelo bidimensional de Ising . Prensa de la Universidad de Harvard, Cambridge Massachusetts, ISBN 0-674-91440-6
Montroll, Elliott W.; Potts, Renfrey B.; Ward, John C. (1963), "Correlaciones y magnetización espontánea del modelo bidimensional de Ising", Journal of Mathematical Physics , 4 (2): 308–322, Bibcode :1963JMP.....4..308M, doi :10.1063/1.1703955, ISSN 0022-2488, MR 0148406, archivado desde el original el 12 de enero de 2013
Onsager, Lars (1944), "Estadística cristalina. I. Un modelo bidimensional con una transición orden-desorden", Phys. Rev. , Serie II, 65 (3–4): 117–149, Bibcode :1944PhRv...65..117O, doi :10.1103/PhysRev.65.117, MR 0010315
Onsager, Lars (1949), "Discusión", Suplemento al Nuovo Cimento , 6 : 261
John Palmer (2007), Correlaciones planas de Ising . Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8 .
Yang, CN (1952), "La magnetización espontánea de un modelo de Ising bidimensional", Physical Review , Serie II, 85 (5): 808–816, Bibcode :1952PhRv...85..808Y, doi :10.1103/ PhysRev.85.808, SEÑOR 0051740