La dualidad Kramers-Wannier

La dualidad de Kramers-Wannier es una simetría en física estadística . Relaciona la energía libre de un modelo de Ising bidimensional de red cuadrada a baja temperatura con la de otro modelo de Ising a alta temperatura. Fue descubierta por Hendrik Kramers y Gregory Wannier en 1941. ^[1] Con la ayuda de esta dualidad, Kramers y Wannier encontraron la ubicación exacta del punto crítico para el modelo de Ising en la red cuadrada.

Dualidades similares establecen relaciones entre las energías libres de otros modelos estadísticos. Por ejemplo, en tres dimensiones, el modelo de Ising es dual con respecto a un modelo de calibración de Ising.

Idea intuitiva

El modelo de Ising bidimensional existe en una red, que es una colección de cuadrados en un patrón de tablero de ajedrez. Con la red finita, los bordes se pueden conectar para formar un toro. En teorías de este tipo, se construye una transformada involutiva . Por ejemplo, Lars Onsager sugirió que la transformación de estrella-triángulo podría usarse para la red triangular. ^[2] Ahora bien, el dual del toro discreto es en sí mismo . Además, el dual de un sistema altamente desordenado (alta temperatura) es un sistema bien ordenado (baja temperatura). Esto se debe a que la transformada de Fourier convierte una señal de alto ancho de banda (más desviación estándar ) en una baja (menor desviación estándar). Por lo tanto, se tiene esencialmente la misma teoría con una temperatura inversa.

Cuando se aumenta la temperatura en una teoría, se reduce la temperatura en la otra. Si solo hay una transición de fase , será en el punto en el que se cruzan, en el que las temperaturas son iguales. Debido a que el modelo de Ising 2D pasa de un estado desordenado a un estado ordenado, existe una correspondencia casi uno a uno entre las fases desordenada y ordenada.

La teoría se ha generalizado y ahora se combina con muchas otras ideas. Por ejemplo, la red cuadrada se reemplaza por un círculo, ^[3] red aleatoria, ^[4] toro no homogéneo, ^[5] red triangular, ^[6] laberinto, ^[7] redes con límites torcidos, ^[8] modelo quiral de Potts, ^[9] y muchas otras.

Una de las consecuencias de la dualidad de Kramers-Wannier es una correspondencia exacta en el espectro de excitaciones a cada lado del punto crítico. Esto se demostró recientemente mediante espectroscopia de THz en cadenas de Kitaev . ^[10]

Derivación

Definimos primero las variables. En el modelo de Ising de red cuadrada bidimensional, el número de enlaces horizontales y verticales se considera igual. Los acoplamientos de los espines en las dos direcciones son diferentes, y uno establece y con . La expansión a baja temperatura de la función de partición de espín para (K ^* ,L ^* ) obtenida a partir de la expansión estándar ${\displaystyle J,J'}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle K^{*}=\beta J}$ ${\displaystyle L^{*}=\beta J'}$ ${\displaystyle \beta =1/kT}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z_{N}}$

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{K^{*}(N-2s)}e^{L^{*}(N-2r)}}$

es

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}}$,

el factor 2 se origina a partir de una simetría de giro-inversión para cada . Aquí, la suma sobre representa la suma sobre polígonos cerrados en la red, lo que da como resultado la correspondencia gráfica de la suma sobre los giros con valores . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pm 1}$

Utilizando la siguiente transformación para las variables , es decir ${\displaystyle (K,L)}$

${\displaystyle \tanh K=e^{-2L^{*}},\ \tanh L=e^{-2K^{*}}}$

uno obtiene

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}}$

${\displaystyle =2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)}$

donde y . Esto produce una relación de mapeo entre la expansión de baja temperatura y la expansión de alta temperatura descrita como dualidad (aquí dualidad de Kramers-Wannier). Con la ayuda de las relaciones ${\displaystyle v=\tanh K}$ ${\displaystyle w=\tanh L}$ ${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})}$ ${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

${\displaystyle \tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}},\;\sinh 2x=2\sinh x\cosh x}$

Las relaciones tangentes hiperbólicas anteriores definen y pueden escribirse de forma más simétrica como ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1,\;\;\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1.}$

Con la energía libre por sitio en el límite termodinámico

${\displaystyle f(K,L)=\lim _{N\rightarrow \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}(K,L)}$

La dualidad Kramers-Wannier da

${\displaystyle f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)}$

En el caso isótropo donde K = L , si hay un punto crítico en K = K _c entonces hay otro en K = K ^* _c . Por lo tanto, en el caso de haber un único punto crítico, estaría ubicado en K = K ^* = K ^* _c , lo que implica senh 2K _c = 1 , lo que da como resultado

${\displaystyle kT_{c}=2.2692J}$.

El resultado también se puede escribir y se obtiene a continuación como

${\displaystyle e^{2K_{c}}=1+{\sqrt {2}}.}$

La dualidad Kramers-Wannier en otros contextos

La dualidad Kramers-Wannier aparece también en otros contextos. ^{[11] [12] [13]} Consideramos aquí en particular la teoría bidimensional de un campo escalar ^{[14] [15]} ${\displaystyle \Phi .}$

Véase también

• Modelo de Ising
• S-dualidad
• Modelo ZN

Referencias

1. HA Kramers y GH Wannier, Phys. Rev. 60 (1941) 252
2. Somendra M. Bhattacharjee y Avinash Khare, Cincuenta años de la solución exacta del modelo de Ising bidimensional de Onsager (1995) , arXiv :cond-mat/9511003
3. arXiv :cond-mat/9805301, Propiedad autodual del modelo de Potts en una dimensión , FY Wu
4. arXiv : hep-lat/0110063, operador Dirac y modelo de Ising en una red aleatoria 2D compacta , L.Bogacz, Z.Burda, J.Jurkiewicz, A.Krzywicki, C.Petersen, B.Petersson
5. arXiv :hep-th/9703037, Dualidad del modelo de Ising no homogéneo 2D en el toro , AI Bugrij, VN Shadura
6. arXiv :cond-mat/0402420, Autodualidad para modelos de Potts acoplados en la red triangular , Jean-Francois Richard, Jesper Lykke Jacobsen, Marco Picco
7. arXiv :solv-int/9902009, Un modelo crítico de Ising sobre el laberinto , M. Baake, U. Grimm , RJ Baxter
8. arXiv :hep-th/0209048, Dualidad y límites torcidos conformes en el modelo de Ising , Uwe Grimm
9. arXiv :0905.1924, Dualidad y simetría en el modelo quiral de Potts , Shi-shyr Roan
10. Morris, CM, et al. "Dualidad y dinámica de las paredes de dominio en una cadena de Kitaev retorcida". Nature Physics 17.7 (2021): 832-836.
11. P. Severa, La dualidad cuántica de Kramers-Wannier y su topología, hep-th/9803201
12. P. Severa, Dualidad (no) abeliana de Kramers-Wannier y teoría topológica de campos, hep-th/0206162
13. BN Shalaev, SA Antonenko y AI Sokolov, Expansiones de cinco bucles para el modelo de Ising aleatorio y dimensionalidad de espín marginal para sistemas cúbicos, cond-mat/9803388 ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}}$
14. BN Shalaev, Simetría de Kramers-Wannier y dualidad de acoplamiento fuerte-débil en el modelo de campo bidimensional , cond.mat/0110205 ${\displaystyle \Phi ^{4}}$
15. G. Jug y BN Shalaev, Simetría de dualidad, expansión de acoplamiento fuerte y amplitudes críticas universales en modelos de campo bidimensionales , J. Phys. A32 (1999) 7249, cond-mat/9908068 ${\displaystyle \Phi ^{4}}$

Enlaces externos

• HA Kramers y GH Wannier (1941). "Estadísticas del ferroimán bidimensional". Physical Review . 60 (3): 252–262. Bibcode :1941PhRv...60..252K. doi :10.1103/PhysRev.60.252.
• JB Kogut (1979). "Introducción a la teoría de calibración de redes y sistemas de espín". Reseñas de Física Moderna . 51 (4): 659–713. Bibcode :1979RvMP...51..659K. doi :10.1103/RevModPhys.51.659.