Modelo Ising de celosía cuadrada.

En mecánica estadística , el modelo de Ising de red cuadrada bidimensional es un modelo de red simple de espines magnéticos que interactúan . El modelo se destaca por tener interacciones no triviales, pero tiene una solución analítica . El modelo fue resuelto por Lars Onsager para el caso especial en el que el campo magnético externo H = 0. ^[1] Aún no se ha encontrado una solución analítica para el caso general . ${\displaystyle H\neq 0}$

Definición de la función de partición

Considere un modelo de Ising 2D en una red cuadrada con N sitios y condiciones de contorno periódicas tanto en la dirección horizontal como en la vertical, lo que efectivamente reduce la topología del modelo a un toro . Generalmente, el acoplamiento horizontal y el acoplamiento vertical no son iguales. Con temperatura absoluta y la constante de Boltzmann , la función de partición ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{*}}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).}$

Temperatura crítica

La temperatura crítica se puede obtener a partir de la relación de dualidad Kramers-Wannier . Denotando la energía libre por sitio como , se tiene: ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle F(K,L)}$

${\displaystyle \beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log {\big [}\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right){\big ]}}$

dónde

${\displaystyle \sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

${\displaystyle \sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1}$

Suponiendo que solo hay una línea crítica en el plano ( K , L ) , la relación de dualidad implica que está dada por:

${\displaystyle \sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

Para el caso isotrópico se encuentra la famosa relación para la temperatura crítica ${\displaystyle J=J^{*}}$ ${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle {\frac {kT_{\text{c}}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421}$

celosía dual

Considere una configuración de espines en la red cuadrada . Sean r y s el número de vecinos diferentes en las direcciones vertical y horizontal respectivamente. Entonces la suma correspondiente a está dada por ${\displaystyle \{\sigma \}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle \{\sigma \}}$

${\displaystyle e^{K(N-2s)+L(N-2r)}}$

celosía dual

Construya una red dual como se muestra en el diagrama. Para cada configuración , se asocia un polígono a la red dibujando una línea en el borde de la red dual si los espines separados por el borde son diferentes. Dado que al atravesar un vértice los espines deben cambiar un número par de veces para llegar al punto inicial con la misma carga, cada vértice de la red dual está conectado a un número par de líneas en la configuración, definiendo un polígono. . ${\displaystyle \Lambda _{D}}$ ${\displaystyle \{\sigma \}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Configuración de giro en una red dual

Esto reduce la función de partición a

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

sumando todos los polígonos en la red dual, donde r y s son el número de líneas horizontales y verticales en el polígono, con el factor de 2 que surge de la inversión de la configuración de espín.

Expansión a baja temperatura

A bajas temperaturas, K , L tienden a infinito, de modo que as , de modo que ${\displaystyle T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0}$

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

define una expansión a baja temperatura de . ${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

Expansión a alta temperatura

ya que uno tiene ${\displaystyle \sigma \sigma '=\pm 1}$

${\displaystyle e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).}$

Por lo tanto

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

dónde y . Como hay N aristas horizontales y verticales, hay un total de términos en la expansión. Cada término corresponde a una configuración de líneas de la red, asociando una línea que conecta i y j si el término (o se elige en el producto. Sumando las configuraciones, usando ${\displaystyle v=\tanh K}$ ${\displaystyle w=\tanh L}$ ${\displaystyle 2^{2N}}$ ${\displaystyle v\sigma _{i}\sigma _{j}}$ ${\displaystyle w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

${\displaystyle \sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}}$

muestra que sólo las configuraciones con un número par de líneas en cada vértice (polígonos) contribuirán a la función de partición, dando

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}}$

donde la suma es sobre todos los polígonos de la red. Dado que tanh K , tanh L as , esto da la expansión a alta temperatura de . ${\displaystyle \rightarrow 0}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

Las dos expansiones se pueden relacionar utilizando la dualidad Kramers-Wannier .

Solución exacta

La energía libre por sitio en el límite se da de la siguiente manera. Defina el parámetro como ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}}$

La energía libre de Helmholtz por sitio se puede expresar como ${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left[\cosh \left(2K\right)\cosh \left(2L\right)+{\frac {1}{k}}{\sqrt {1+k^{2}-2k\cos(2\theta )}}\right]d\theta }$

Para el caso isotrópico , de la expresión anterior se encuentra la energía interna por sitio: ${\displaystyle J=J^{*}}$

${\displaystyle U=-J\coth(2\beta J)\left[1+{\frac {2}{\pi }}(2\tanh ^{2}(2\beta J)-1)\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-4k(1+k)^{-2}\sin ^{2}(\theta )}}}d\theta \right]}$

y la magnetización espontánea es, por , ${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$

${\displaystyle M=\left[1-\sinh ^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8}}$

y para . ${\displaystyle M=0}$ ${\displaystyle T\geq T_{\text{c}}}$

Notas

1. Onsager, Lars (1 de febrero de 1944). "Estadística cristalina. I. Un modelo bidimensional con una transición orden-desorden". Revisión física . 65 (3–4): 117–149. doi : 10.1103/PhysRev.65.117.

Referencias

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