Teoremas del límite de Szegő

Determinante de matrices de Toeplitz grandes

En análisis matemático , los teoremas del límite de Szegő describen el comportamiento asintótico de los determinantes de grandes matrices de Toeplitz . ^{[1] [2] [3]} Fueron probados por primera vez por Gábor Szegő .

Notación

Sea una serie de Fourier con coeficientes de Fourier , relacionados entre sí como ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle w(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ik\theta },\qquad \theta \in [0,2\pi ],}$

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }w(\theta )e^{-ik\theta }\,d\theta ,}$

tal que las matrices de Toeplitz sean hermitianas , es decir, si entonces . Entonces ambos valores propios y son de valor real y el determinante de está dado por ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle T_{n}(w)=\left(c_{k-l}\right)_{0\leq k,l\leq n-1}}$ ${\displaystyle T_{n}(w)=T_{n}(w)^{\ast }}$ ${\displaystyle c_{-k}={\overline {c_{k}}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (\lambda _{m}^{(n)})_{0\leq m\leq n-1}}$ ${\displaystyle T_{n}(w)}$

${\displaystyle \det T_{n}(w)=\prod _{m=1}^{n-1}\lambda _{m}^{(n)}}$.

Teorema de Szegő

Bajo supuestos adecuados, el teorema de Szegő establece que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{m=0}^{n-1}F(\lambda _{m}^{(n)})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F(w(\theta ))\,d\theta }$

para cualquier función que sea continua en el rango de . En particular ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle w}$

tal que la media aritmética de converge a la integral de . ^[4] ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ ${\displaystyle w}$

Primer teorema de Szegő

El primer teorema de Szegő ^{[1] [3] [5]} establece que, si el lado derecho de ( 1 ) se cumple y , entonces ${\displaystyle w\geq 0}$

se mantiene para y . El RHS de ( 2 ) es la media geométrica de (bien definida por la desigualdad de media aritmético-geométrica ). ${\displaystyle w>0}$ ${\displaystyle w\in L_{1}}$ ${\displaystyle w}$

Segundo teorema de Szegő

Sea el coeficiente de Fourier de , escrito como ${\displaystyle {\widehat {c}}_{k}}$ ${\displaystyle \log w\in L^{1}}$

${\displaystyle {\widehat {c}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(w(\theta ))e^{-ik\theta }\,d\theta }$

El segundo (o fuerte) teorema de Szegő ^{[1] [6]} establece que, si , entonces ${\displaystyle w\geq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(w)}{e^{(n+1){\widehat {c}}_{0}}}}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {c}}_{k}\right|^{2}\right).}$

Ver también

• Problema de momento trigonométrico
• teorema de verblunsky

Referencias

1. Böttcher, Albrecht; Silbermann, Bernd (1990). "Determinantes de Toeplitz". Análisis de los operadores de Toeplitz . Berlín: Springer-Verlag. pag. 525.ISBN​ 3-540-52147-X. SEÑOR  1071374.
2. Ehrhardt, T.; Silbermann, B. (2001) [1994], "Szegö_limit_theorems", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
3. Simon, Barry (2011). "Teorema de Szegő y sus descendientes: teoría espectral para L ² perturbaciones de polinomios ortogonales" . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-14704-8.
4. Gris, Robert M. (2006). "Toeplitz y matrices circulantes: una revisión" (PDF) . Fundamentos y Tendencias en Procesamiento de Señales .
5. Szegő, G. (1915). "Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten una función positiva reellen". Matemáticas. Ana . 76 (4): 490–503. doi :10.1007/BF01458220. S2CID  123034653.
6. Szegő, G. (1952). "Sobre determinadas formas hermitianas asociadas a la serie de Fourier de una función positiva". Com. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] : 228–238. SEÑOR  0051961.