Modelo ZN

El modelo (también conocido como modelo de reloj ) es un modelo estadístico simplificado de espín mecánico . Es una generalización del modelo de Ising . Aunque se puede definir en un gráfico arbitrario , es integrable solo en redes unidimensionales y bidimensionales , en varios casos especiales. ${\displaystyle Z_{N}}$

Definición

El modelo se define asignando un valor de espín a cada nodo de un gráfico, donde los espines toman valores , donde . Por lo tanto, los espines toman valores en forma de raíces complejas de la unidad . En términos generales, podemos pensar en los espines asignados a cada nodo del modelo como si apuntaran en cualquiera de las direcciones equidistantes. Los pesos de Boltzmann para una arista general son: ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}}$ ${\displaystyle q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle rr'}$

${\displaystyle w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}}$

donde denota conjugación compleja y están relacionados con la fuerza de interacción a lo largo del borde . Nótese que y a menudo se establecen en 1. Los pesos de Boltzmann (con valor real) son invariantes bajo las transformaciones y , análogos a la rotación universal y la reflexión respectivamente. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}}$ ${\displaystyle rr'}$ ${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{N-k}^{\left(rr'\right)}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}}$ ${\displaystyle s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}}$

Solución crítica autodual

Existe una clase de soluciones para el modelo definido en una red cuadrada anisotrópica en general. Si el modelo es autodual en el sentido de Kramers-Wannier y, por lo tanto, crítico , y la red es tal que hay dos "pesos" posibles y para las dos orientaciones de aristas posibles, podemos introducir la siguiente parametrización en : ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle x_{k}^{1}}$ ${\displaystyle x_{k}^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle x_{n}^{1}=x_{n}\left(\alpha \right)}$

${\displaystyle x_{n}^{2}=x_{n}\left(\pi -\alpha \right)}$–

Requiriendo que se cumplan la relación de dualidad y la relación estrella-triángulo , que asegura la integrabilidad , es posible encontrar la solución:

${\displaystyle x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}}$

con . Este caso particular del modelo se denomina a menudo modelo FZ por derecho propio, en honor a VA Fateev y AB Zamolodchikov, quienes calcularon por primera vez esta solución. El modelo FZ se aproxima al modelo XY en el límite como . También es un caso especial del modelo quiral de Potts y del modelo de Kashiwara-Miwa. ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Casos especiales solucionables

Como es el caso de la mayoría de los modelos reticulares en mecánica estadística , no se conocen soluciones exactas para el modelo en tres dimensiones. Sin embargo, en dos dimensiones, es exactamente solucionable en una red cuadrada para ciertos valores de y/o los 'pesos' . Quizás el ejemplo más conocido es el modelo de Ising , que admite espines en dos direcciones opuestas (es decir, ). Este es precisamente el modelo para , y por lo tanto el modelo puede considerarse como una generalización del modelo de Ising . Otros modelos exactamente solucionables correspondientes a casos particulares del modelo incluyen el modelo de Potts de tres estados , con y , donde es un cierto valor crítico (FZ), y el modelo crítico de Askin-Teller donde . ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle s_{r}=\pm 1}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{c}}$ ${\displaystyle x_{c}}$ ${\displaystyle N=4}$

Versión cuántica

Se puede construir una versión cuántica del modelo de reloj de manera análoga al modelo de Ising de campo transversal . El hamiltoniano de este modelo es el siguiente: ${\displaystyle Z_{N}}$

${\displaystyle H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))}$

Aquí, los subíndices se refieren a los sitios de la red y la suma se realiza sobre pares de sitios vecinos más cercanos y . Las matrices de reloj y son generalizaciones de las matrices de Pauli que satisfacen ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle Z_{j}}$

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$

y

${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

donde es 1 si y son el mismo sitio y cero en caso contrario. es un prefactor con dimensiones de energía, y es otro coeficiente de acoplamiento que determina la fuerza relativa del campo externo en comparación con la interacción del vecino más cercano. ${\displaystyle \delta _{j,k}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$

Referencias

• VA Fateev y AB Zamolodchikov (1982); "Soluciones autoduales de las relaciones estrella-triángulo en modelos", Physics Letters A , 92, págs. 37-39 ${\displaystyle Z_{N}}$
• MA Rajabpour y J. Cardy (2007); "Parafermiones discretamente holomorfos en modelos de red Z N {\displaystyle Z_{N}}" J. Phys. A 22 40, 14703–14714