Modelo de reloj cuántico

El modelo de reloj cuántico es un modelo de red cuántica. ^[1] Es una generalización del modelo de Ising de campo transversal . Se define en una red con estados en cada sitio. El hamiltoniano de este modelo es ${\displaystyle N}$

${\displaystyle H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right)}$

Aquí, los subíndices se refieren a sitios de red y la suma se realiza sobre pares de sitios vecinos más cercanos y . Las matrices de reloj y son generalizaciones de las matrices de Pauli que satisfacen ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle Z_{j}}$ ${\displaystyle N\times N}$

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$y ${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

donde es 1 si y son el mismo sitio y cero en caso contrario. es un prefactor con dimensiones de energía, y es otro coeficiente de acoplamiento que determina la fuerza relativa del campo externo en comparación con la interacción del vecino más cercano. ${\displaystyle \delta _{j,k}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$

El modelo obedece a una simetría global , que se genera mediante el operador unitario, donde el producto se encuentra en cada punto de la red, es decir, conmuta con el hamiltoniano. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$ ${\displaystyle U_{X}=\prod _{j}X_{j}}$ ${\displaystyle U_{X}}$

Cuando el modelo de reloj cuántico es idéntico al modelo de Ising de campo transversal. Cuando el modelo de reloj cuántico es equivalente al modelo de Potts cuántico de tres estados . Cuando , el modelo es nuevamente equivalente al modelo de Ising. Cuando , se han encontrado evidencias sólidas de que las transiciones de fase exhibidas en estos modelos deberían ser ciertas generalizaciones ^[2] de la transición de Kosterlitz–Thouless , cuya naturaleza física aún se desconoce en gran medida. ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle N=4}$ ${\displaystyle N>4}$

Modelo unidimensional

Existen varios métodos analíticos que pueden utilizarse para estudiar el modelo de reloj cuántico específicamente en una dimensión.

La dualidad Kramers-Wannier

Una aplicación no local de matrices de reloj conocida como transformación de dualidad de Kramers-Wannier se puede realizar de la siguiente manera: ^[3] Entonces, en términos de las matrices de reloj recientemente definidas con tildes, que obedecen las mismas relaciones algebraicas que las matrices de reloj originales, el hamiltoniano es simplemente . Esto indica que el modelo con parámetro de acoplamiento es dual al modelo con parámetro de acoplamiento , y establece una dualidad entre la fase ordenada y la fase desordenada. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}^{\dagger }Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j}^{\dagger }+{\textrm {h.c.}})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{-1}}$

Obsérvese que existen algunas consideraciones sutiles en los límites de la cadena unidimensional; como resultado de ellas, las propiedades de degeneración y simetría de las fases se modifican bajo la dualidad de Kramers-Wannier. Un análisis más cuidadoso implica acoplar la teoría a un campo de calibración; la fijación de la calibración reproduce los resultados de la transformación de Kramers-Wannier. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$

Transición de fase

Para , hay una transición de fase única de la fase ordenada a la fase desordenada en . Se dice que el modelo es "autodual" porque la transformación de Kramers-Wannier transforma el hamiltoniano en sí mismo. Para , hay dos puntos de transición de fase en y . Se han encontrado evidencias sólidas de que estas transiciones de fase deberían ser una clase de generalizaciones ^[2] de la transición de Kosterlitz-Thouless . La transición KT predice que la energía libre tiene una singularidad esencial que va como , mientras que el estudio perturbativo encontró que la singularidad esencial se comporta como donde va de a a medida que aumenta de a . Las imágenes físicas ^[4] de estas transiciones de fase aún no están claras. ${\displaystyle N=2,3,4}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle N>4}$ ${\displaystyle g_{1}<1}$ ${\displaystyle g_{2}=1/g_{1}>1}$ ${\displaystyle e^{-{\tfrac {c}{\sqrt {|g-g_{c}|}}}}}$ ${\displaystyle e^{-{\tfrac {c}{|g-g_{c}|^{\sigma }}}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 0.2}$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 9}$

Transformación de Jordan-Wigner

Otra aplicación no local, conocida como transformación de Jordan Wigner, se puede utilizar para expresar la teoría en términos de parafermiones.

Referencias

1. Radicevic, Djordje (2018). "Estructuras de espín y dualidades exactas en dimensiones bajas". arXiv : 1809.07757 [hep-th].
2. Bingnan Zhang (2020). "Estudio perturbativo del modelo de reloj cuántico unidimensional". Phys. Rev. E . 102 (4): 042110. arXiv : 2006.11361 . Código Bibliográfico :2020PhRvE.102d2110Z. doi :10.1103/PhysRevE.102.042110. PMID  33212691. S2CID  219966942.
3. Radicevic, Djordje (2018). "Estructuras de espín y dualidades exactas en dimensiones bajas". arXiv : 1809.07757 [hep-th].
4. Martin B. Einhorn, Robert Savit, Eliezer Rabinovici (1980). "Una imagen física de las transiciones de fase en modelos simétricos de Zn". Física nuclear B . 170 (1): 16-31. Bibcode :1980NuPhB.170...16E. doi :10.1016/0550-3213(80)90473-3. hdl : 2027.42/23169 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)