Modelo de celosía (física)

Una red tridimensional llena de dos moléculas A y B, que aquí se muestran como esferas en blanco y negro. Retículos como este se utilizan, por ejemplo, en la teoría de soluciones de Flory-Huggins.

En física matemática , un modelo reticular es un modelo matemático de un sistema físico que se define en una red , a diferencia de un continuo , como el continuo del espacio o el espacio-tiempo . Los modelos reticulares surgieron originalmente en el contexto de la física de la materia condensada , donde los átomos de un cristal forman automáticamente una red. Actualmente, los modelos reticulares son bastante populares en la física teórica , por muchas razones. Algunos modelos tienen solución exacta y, por tanto, ofrecen una visión de la física más allá de lo que se puede aprender de la teoría de la perturbación . Los modelos reticulares también son ideales para estudiar mediante métodos de física computacional , ya que la discretización de cualquier modelo continuo lo convierte automáticamente en un modelo reticular. La solución exacta a muchos de estos modelos (cuando tienen solución) incluye la presencia de solitones . Las técnicas para resolverlos incluyen la transformada de dispersión inversa y el método de pares Lax , la ecuación de Yang-Baxter y los grupos cuánticos . La solución de estos modelos ha proporcionado información sobre la naturaleza de las transiciones de fase , la magnetización y el comportamiento de escala , así como información sobre la naturaleza de la teoría cuántica de campos . Los modelos de red física ocurren con frecuencia como una aproximación a una teoría del continuo, ya sea para dar un corte ultravioleta a la teoría para evitar divergencias o para realizar cálculos numéricos . Un ejemplo de teoría del continuo ampliamente estudiada mediante modelos reticulares es el modelo reticular QCD , una discretización de la cromodinámica cuántica . Sin embargo, la física digital considera la naturaleza fundamentalmente discreta en la escala de Planck, que impone un límite superior a la densidad de la información , también conocido como principio holográfico . De manera más general, la teoría del calibre de red y la teoría de campo de red son áreas de estudio. Los modelos reticulares también se utilizan para simular la estructura y dinámica de los polímeros.

Descripción matemática

Se pueden describir varios modelos de celosía con los siguientes datos:

• Una red , a menudo considerada una red en un espacio euclidiano de dimensiones o el toroide de dimensiones si la red es periódica. En concreto, suele ser la red cúbica . Si dos puntos de la red se consideran "vecinos más cercanos", entonces pueden conectarse mediante un borde, convirtiendo la red en un gráfico de red . Los vértices de a veces se denominan sitios. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• Un espacio de variable de espín . El espacio de configuración de posibles estados del sistema es entonces el espacio de funciones . Para algunos modelos, podríamos considerar el espacio de funciones donde está el conjunto de aristas del gráfico definido anteriormente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \sigma :\Lambda \rightarrow S}$ ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow S}$ ${\displaystyle E}$
• Un funcional de energía , que podría depender de un conjunto de parámetros adicionales o "constantes de acoplamiento" . ${\displaystyle E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{g_{i}\}}$

Ejemplos

El modelo de Ising viene dado por el gráfico de red cúbica habitual, donde es una red cúbica infinita en o una red cúbica de período en , y es el conjunto de aristas de los vecinos más cercanos (se usa la misma letra para la función de energía, pero los diferentes usos se distinguen según según el contexto). El espacio de la variable de giro es . La energía funcional es ${\displaystyle G=(\Lambda ,E)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{d}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).}$

El espacio de variable de espín a menudo puede describirse como una clase lateral . Por ejemplo, para el modelo de Potts tenemos . En el límite obtenemos el modelo XY que tiene . Al generalizar el modelo XY a dimensiones superiores se obtiene el modelo vectorial que tiene . ${\displaystyle S=\mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle S=SO(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)}$

Modelos solucionables

Nos especializamos en una red con un número finito de puntos y un espacio finito de variable de giro. Esto se puede lograr haciendo que la red sea periódica, con un período en dimensiones. Entonces el espacio de configuración también es finito. Podemos definir la función de partición. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))}$

y no hay problemas de convergencia (como los que surgen en la teoría de campos) ya que la suma es finita. En teoría, esta suma se puede calcular para obtener una expresión que depende únicamente de los parámetros y . En la práctica, esto suele resultar difícil debido a las interacciones no lineales entre sitios. Los modelos con una expresión de forma cerrada para la función de partición se conocen como exactamente resolubles . ${\displaystyle \{g_{i}\}}$ ${\displaystyle \beta }$

Ejemplos de modelos con solución exacta son el modelo periódico de Ising 1D y el modelo periódico de Ising 2D con campo magnético externo evanescente, pero para la dimensión , el modelo de Ising permanece sin resolver. ${\displaystyle H=0,}$ ${\displaystyle d>2}$

Teoría del campo medio

Debido a la dificultad de derivar soluciones exactas, para obtener resultados analíticos a menudo debemos recurrir a la teoría del campo medio . Este campo medio puede variar espacialmente o ser global.

Campo medio global

El espacio de configuración de funciones es reemplazado por la cáscara convexa del espacio de espín , cuando tiene una realización en términos de un subconjunto de . Denotaremos esto por . Esto surge porque al ir al valor medio del campo, tenemos . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {C}}\rangle }$ ${\displaystyle \sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)}$

Como el número de sitios de la red , los posibles valores de llenan el casco convexo de . Al hacer una aproximación adecuada, la función de energía se convierte en una función del campo medio, es decir, la función de partición se convierte entonces en ${\displaystyle N=|\Lambda |\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).}$

${\displaystyle Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.}$

Como , es decir, en el límite termodinámico , la aproximación del punto de silla nos dice que la integral está asintóticamente dominada por el valor en el que se minimiza: ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f(\langle \sigma \rangle )}$

${\displaystyle Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}}$

¿ Dónde está minimizando el argumento ? ${\displaystyle \langle \sigma \rangle _{0}}$ ${\displaystyle f}$

Un enfoque más simple, pero menos riguroso desde el punto de vista matemático, que sin embargo a veces da resultados correctos, proviene de la linealización de la teoría sobre el campo medio . Escribir configuraciones como , truncar los términos y luego sumar las configuraciones permite calcular la función de partición. ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle \sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})}$

Este enfoque del modelo periódico de Ising en dimensiones proporciona información sobre las transiciones de fase . ${\displaystyle d}$

Campo medio que varía espacialmente

Supongamos que el límite continuo de la red es . En lugar de promediar todo , promediamos los vecindarios de . Esto da un campo medio que varía espacialmente . Reetiquetamos con para acercar la notación a la teoría de campos. Esto permite que la función de partición se escriba como una integral de ruta. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\beta F[\phi ]}}$

donde la energía libre es una versión rotada de Wick de la acción en la teoría cuántica de campos . ${\displaystyle F[\phi ]}$

Ejemplos

Física de la Materia Condensada

• modelo ising
• modelo ANNI
• modelo potts
• Modelo Quiral Potts
• modelo XY
• Modelo clásico de Heisenberg
• modelo de n vectores
• modelo de vértice
• toda la celosía
• autómata celular

Física de polímeros

• Modelo de fluctuación de bonos
• 2do modelo

Física de alta energía

• modelo de red QCD

Ver también

• Estructura cristalina
• Límite de escala
• materia QCD
• gas reticular

Referencias

• Baxter, Rodney J. (1982), Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística (PDF) , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, señor  0690578