modelo de vértice

Un modelo de vértice es un tipo de modelo de mecánica estadística en el que los pesos de Boltzmann están asociados con un vértice del modelo (que representa un átomo o partícula). ^{[1] [2]} Esto contrasta con un modelo de vecino más cercano, como el modelo de Ising , en el que la energía y, por tanto, el peso de Boltzmann de un microestado estadístico se atribuye a los enlaces que conectan dos partículas vecinas. La energía asociada con un vértice en la red de partículas depende, por tanto, del estado de los enlaces que lo conectan con los vértices adyacentes. Resulta que cada solución de la ecuación de Yang-Baxter con parámetros espectrales en un producto tensorial de espacios vectoriales produce un modelo de vértice con solución exacta. ${\displaystyle V\otimes V}$

Un modelo de vértice bidimensional

Aunque el modelo se puede aplicar a varias geometrías en cualquier número de dimensiones, con cualquier número de estados posibles para un enlace determinado, los ejemplos más fundamentales ocurren para redes bidimensionales, siendo el más simple una red cuadrada donde cada enlace tiene dos estados posibles. En este modelo, cada partícula está conectada a otras cuatro partículas, y cada uno de los cuatro enlaces adyacentes a la partícula tiene dos estados posibles, indicados por la dirección de una flecha en el enlace. En este modelo, cada vértice puede adoptar posibles configuraciones. La energía para un vértice dado puede estar dada por , ${\displaystyle 2^{4}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}^{k\ell }}$

Un vértice en el modelo de vértice de celosía cuadrada.

con un estado de la red es una asignación de un estado de cada enlace, siendo la energía total del estado la suma de las energías de los vértices. Como la energía es a menudo divergente para una red infinita, el modelo se estudia para una red finita cuando la red se acerca a un tamaño infinito. Se pueden imponer al modelo condiciones de contorno periódicas o de muro de dominio ^{[3] .}

Discusión

Para un estado dado de la red, el peso de Boltzmann se puede escribir como el producto sobre los vértices de los pesos de Boltzmann de los estados de vértice correspondientes.

${\displaystyle \exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))=\prod _{\mbox{vertices}}\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })}$

donde se escriben los pesos de Boltzmann para los vértices

${\displaystyle R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })}$,

y el rango i , j , k , l abarca los posibles estados de cada uno de los cuatro bordes adjuntos al vértice. Los estados de los vértices de los vértices adyacentes deben satisfacer condiciones de compatibilidad a lo largo de los bordes de conexión (enlaces) para que el estado sea admisible.

La probabilidad de que el sistema esté en cualquier estado dado en un momento particular y, por tanto, las propiedades del sistema están determinadas por la función de partición , para la cual se desea una forma analítica.

${\displaystyle \mathbb {Z} =\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))}$

donde β = 1/ kT , T es la temperatura y k es la constante de Boltzmann . La probabilidad de que el sistema se encuentre en cualquier estado dado ( microestado ) está dada por

${\displaystyle {\frac {\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))}{\mathbb {Z} }}}$

de modo que el valor medio de la energía del sistema viene dado por

${\displaystyle \langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{\mbox{states}}\varepsilon \exp(-\beta \varepsilon )}{\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon )}}=kT^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln \mathbb {Z} }$

Para evaluar la función de partición, primero examine los estados de una fila de vértices.

Una fila de vértices en el modelo de vértices de celosía cuadrada.

Las aristas externas son variables libres, con suma sobre los enlaces internos. Por lo tanto, forme la función de partición de filas

${\displaystyle T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots l_{N}}=\sum _{r_{1},\dots ,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{1}}^{r_{1}\ell _{1}}R_{r_{1}k_{2}}^{r_{2}\ell _{2}}\cdots R_{r_{N-1}k_{N}}^{i'_{1}\ell _{N}}}$

Esto se puede reformular en términos de un espacio vectorial auxiliar n -dimensional V , con una base , y como ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ ${\displaystyle R\in End(V\otimes V)}$

${\displaystyle R(v_{i}\otimes v_{j})=\sum _{k,\ell }R_{ij}^{k\ell }v_{k}\otimes v_{\ell }}$

y como ${\displaystyle T\in End(V\otimes V^{\otimes N})}$

${\displaystyle T(v_{i_{1}}\otimes v_{k_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{k_{N}})=\sum _{i'_{1},\ell _{1},\dots \ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots \ell _{N}}v_{i'_{1}}\otimes v_{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\ell _{N}}}$

lo que implica que T puede escribirse como

${\displaystyle T=R_{0N}\cdots R_{02}R_{01},}$

donde los índices indican los factores del producto tensorial sobre el que opera R. Sumando los estados de los enlaces en la primera fila con las condiciones de contorno periódicas , se obtiene ${\displaystyle V\otimes V^{\otimes N}}$ ${\displaystyle i_{1}=i'_{1}}$

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}},}$

¿Dónde está la matriz de transferencia de filas? ${\displaystyle \tau =\operatorname {trace} _{V}(T)}$

Dos filas de vértices en el modelo de vértices de celosía cuadrada

Sumando las contribuciones en dos filas, el resultado es

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}(\operatorname {trace} _{V}(T))_{j_{1}\dots j_{N}}^{k_{1}\dots k_{N}}.}$

que al sumar los enlaces verticales que conectan las dos primeras filas da: para M filas, esto da ${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{M})_{\ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

y luego aplicando las condiciones de contorno periódicas a las columnas verticales, la función de partición se puede expresar en términos de la matriz de transferencia como ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \mathbb {Z} =\operatorname {trace} _{V^{\otimes N}}(\tau ^{M})\sim \lambda _{max}^{M}}$

¿Dónde está el mayor valor propio de ? La aproximación se deriva del hecho de que los valores propios de son los valores propios de elevado a la potencia de M y, como , la potencia del valor propio más grande se vuelve mucho mayor que la de los demás. Como la traza es la suma de los valores propios, el problema de calcular se reduce al problema de encontrar el valor propio máximo de . Esto en sí mismo es otro campo de estudio. Sin embargo, un enfoque estándar para el problema de encontrar el valor propio más grande de es encontrar una gran familia de operadores que conmuten con . Esto implica que los espacios propios son comunes y restringe el espacio posible de soluciones. Una familia de este tipo de operadores de conmutación suele encontrarse mediante la ecuación de Yang-Baxter , que relaciona así la mecánica estadística con el estudio de grupos cuánticos . ${\displaystyle \lambda _{max}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau ^{M}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle M\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Integrabilidad

Definición : Un modelo de vértice es integrable si, de modo que ${\displaystyle \forall \mu ,\nu ,\exists \lambda }$

${\displaystyle R_{12}(\lambda )R_{13}(\mu )R_{23}(\nu )=R_{23}(\nu )R_{13}(\mu )R_{12}(\lambda )}$

Esta es una versión parametrizada de la ecuación de Yang-Baxter, correspondiente a la posible dependencia de las energías del vértice y, por lo tanto, las ponderaciones de Boltzmann R en parámetros externos, como la temperatura, los campos externos, etc.

La condición de integrabilidad implica la siguiente relación.

Proposición : Para un modelo de vértice integrable, con y definido como arriba, entonces ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle R(\lambda )(1\otimes T(\mu ))(T(\nu )\otimes 1)=(T(\nu )\otimes 1)(1\otimes T(\mu ))R(\lambda )}$

como endomorfismos de , donde actúa sobre los dos primeros vectores del producto tensorial. ${\displaystyle V\otimes V\otimes V^{\otimes N}}$ ${\displaystyle R(\lambda )}$

Se sigue multiplicando ambos lados de la ecuación anterior a la derecha por y usando la propiedad cíclica del operador de traza que se cumple el siguiente corolario. ${\displaystyle R(\lambda )^{-1}}$

Corolario : Para un modelo de vértice integrable que es invertible , la matriz de transferencia conmuta con . ${\displaystyle R(\lambda )}$ ${\displaystyle \forall \lambda }$ ${\displaystyle \tau (\mu )}$ ${\displaystyle \tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu }$

Esto ilustra el papel de la ecuación de Yang-Baxter en la solución de modelos reticulares solubles. Dado que las matrices de transferencia conmutan para todos , los vectores propios de son comunes y, por tanto, independientes de la parametrización. Es un tema recurrente que aparece en muchos otros tipos de modelos mecánicos estadísticos para buscar estas matrices de transferencia de desplazamiento. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \lambda ,\nu }$ ${\displaystyle \tau }$

De la definición de R anterior, se deduce que para cada solución de la ecuación de Yang-Baxter en el producto tensorial de dos espacios vectoriales de n dimensiones, existe un modelo de vértice bidimensional correspondiente con solución donde cada uno de los enlaces puede estar en el estados posibles , donde R es un endomorfismo en el espacio abarcado por . Esto motiva la clasificación de todas las representaciones irreducibles de dimensión finita de un álgebra cuántica determinada para encontrar modelos solubles que le correspondan. ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n}$

Modelos de vértices notables

• Modelo de seis vértices

  

  Configuraciones del modelo de seis vértices con pesas de Boltzmann

• Modelo de ocho vértices

  

  Configuraciones del modelo de ocho vértices con pesas de Boltzmann

• Modelo de diecinueve vértices (modelo Izergin-Korepin) ^[4]

Referencias

1. RJ Baxter, Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística , Londres, Academic Press, 1982
2. V. Chari y AN Pressley, Una guía para grupos cuánticos Cambridge University Press, 1994
3. VE Korepin et al., Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación , Nueva York, Press Syndicate de la Universidad de Cambridge, 1993
4. AG Izergin y VE Korepin, El método de dispersión inversa del modelo cuántico de Shabat-Mikhailov. Comunicaciones en Física Matemática, 79, 303 (1981)