Modelo Quiral Potts

Modelo de giro en una red plana.

El modelo quiral de Potts es un modelo de espín sobre una red plana en mecánica estadística estudiado por Helen Au-Yang Perk y Jacques Perk, entre otros. Puede verse como una generalización del modelo de Potts y, al igual que con el modelo de Potts , el modelo se define mediante configuraciones que son asignaciones de giros a cada vértice de un gráfico , donde cada giro puede tomar uno de los valores. A cada arista que une vértices con espines asignados y , se le asigna un peso de Boltzmann . Para este modelo, quiral significa que . Cuando los pesos satisfacen la ecuación de Yang-Baxter , es integrable, en el sentido de que ciertas cantidades pueden evaluarse exactamente. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle W(n,n')}$ ${\displaystyle W(n,n')\neq W(n',n)}$

Para el modelo quiral integrable de Potts , los pesos se definen mediante una curva de género alto , la curva quiral de Potts . ^{[1] [2]} A diferencia de los otros modelos solucionables, ^{[3] [4]} cuyos pesos están parametrizados por curvas de género menor o igual a uno, de modo que pueden expresarse en términos de funciones trigonométricas, funciones racionales para el género cero caso, o por funciones theta para el caso del género 1, este modelo involucra funciones theta de alto género, para las cuales la teoría está menos desarrollada.

El modelo de reloj quiral relacionado , que fue introducido en la década de 1980 por David Huse y Stellan Ostlund de forma independiente, no tiene solución exacta, a diferencia del modelo quiral de Potts.

El modelo

Este modelo está fuera de la clase de todos los modelos conocidos anteriormente y plantea una serie de preguntas sin resolver que están relacionadas con algunos de los problemas más difíciles de la geometría algebraica que han estado con nosotros durante 150 años. Los modelos quirales de Potts se utilizan para comprender las transiciones de fase proporcional-inconmensurable. ^[5] Para N = 3 y 4, el caso integrable fue descubierto en 1986 en Stony Brook y publicado al año siguiente. ^{[ dieciséis]}

Caso dual

El modelo se denomina autodual si la transformada de Fourier de la función de peso devuelve la misma función. Fateev y Zamolodchikov resolvieron un caso especial (género 1) en 1982 . ^[7] Al eliminar ciertas restricciones del trabajo de Alcaraz y Santos, ^[8] se descubrió un caso autodual más general del modelo quiral integrable de Potts. ^[1] El peso se da en forma de producto ^{[9] [10]} y los parámetros en el peso se muestran en la curva de Fermat , con género mayor que 1.

Caso general

Se encontró la solución general para todo k (la variable de temperatura). ^[2] Los pesos también se dieron en forma de producto y se probó computacionalmente (en Fortran ) que satisfacen la relación estrella-triángulo. La prueba se publicó más tarde. ^[11]

Resultados

Parámetro de orden

De la serie ^{[5] [12]} se conjeturó que el parámetro de orden ^[13] tenía la forma simple

$${\displaystyle \langle \sigma ^{n}\rangle =(1-k'^{2})^{\beta },\quad \beta =n(N-n)/2N^{2}.}$$

de matriz de transferencia de esquinas^{[14] [15]}Jimbo et al. ^[16]de analiticidad^{[17] [18] [19] [20] [21] [22] [23]}tipo Ising

Conexión al modelo de seis vértices.

En 1990, Bazhanov y Stroganov ^[24] demostraron que existen operadores L ( operador Lax ) que satisfacen la ecuación de Yang-Baxter.

${\displaystyle L_{i_{1}\alpha }^{j_{1}\beta }(x)L_{i_{2}\beta }^{j_{2}\gamma }(y)R_{j_{1}j_{2}}^{k_{1}k_{2}}(y/x)=R_{i_{1}i_{2}}^{j_{1}j_{2}}(y/x)L_{j_{2}\alpha }^{k_{2}\beta }(y)L_{j_{1}\beta }^{k_{1}\gamma }(x),\quad 0<i,j,k\leq 1,\quad 0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq N-1.}$

donde el operador R 2 × 2 ( matriz R ) es la matriz R del modelo de seis vértices (ver modelo de vértices ). Se demostró que el producto de cuatro pesos quirales de Potts S entrelaza dos operadores L como

${\displaystyle L_{i_{1}\alpha _{1}}^{i_{2}\alpha _{2}}{\hat {L}}_{i_{2}\beta _{1}}^{i_{3}\beta _{2}}S_{\alpha _{2}\beta _{2}}^{\alpha _{3}\beta _{3}}=S_{\alpha _{1}\beta _{1}}^{\alpha _{2}\beta _{2}}{\hat {L}}_{i_{1}\beta _{2}}^{i_{2}\beta _{3}}L_{i_{2}\alpha _{2}}^{i_{3}\alpha _{3}},\quad 0<i_{i}\leq 1,\quad 0\leq \alpha _{i},\beta _{i}\leq N-1.}$

Esto inspiró un gran avance: se descubrieron las relaciones funcionales para las matrices de transferencia de los modelos quirales de Potts. ^[25]

Energía libre y tensión interfacial.

Utilizando estas relaciones funcionales, Baxter pudo calcular los valores propios de la matriz de transferencia del modelo quiral de Potts, ^[26] y obtuvo el exponente crítico para el calor específico α=1-2/N, que también se conjeturó en la referencia 12. La tensión interfacial también fue calculada por él con el exponente μ=1/2+1/N. ^{[27] [28]}

Relación con la teoría de nudos

Los pesos quirales integrables de Potts se dan en forma de producto ^[2] como

${\displaystyle W_{pq}(n)\!=\!{\Big (}{\mu _{p} \over \mu _{q}}{\Big )}^{\!\!n}\prod _{j=1}^{n}{y_{q}-x_{p}\omega ^{j} \over y_{p}-x_{q}\omega ^{j}},\quad {\overline {W}}_{pq}(n)\!=\!{\big (}{\mu _{p}\mu _{q}}{\big )}^{\!n}\!\prod _{j=1}^{n}{\omega x_{p}\!-\!x_{q}\omega ^{j} \over y_{q}\!-\!y_{p}\omega ^{j}},}$

donde es una raíz primitiva de la unidad y asociamos con cada variable de rapidez p tres variables que satisfacen ${\displaystyle \omega ^{N}=1}$ ${\displaystyle (x_{p},y_{p},\mu _{p})}$

${\displaystyle x_{p}^{N}+y_{p}^{N}=k(1+x_{p}^{N}y_{p}^{N}),\quad k'^{2}+k^{2}=1,\quad k'\mu _{p}^{N}=1-ky_{p}^{N},\quad k'\mu _{p}^{-N}=1-kx_{p}^{N}.}$

Es fácil ver eso

${\displaystyle W_{pp}(a-b)=1,\quad {\overline {W}}_{pp}(a-b)=\delta _{a,b}}$

que es similar al movimiento I de Reidemeister. También se sabía que los pesos satisfacen la relación de inversión,

${\displaystyle W_{pq}(a-b)W_{qp}(a-b)=1,\quad \sum _{d=0}^{N-1}{\overline {W}}_{pq}(a-d){\overline {W}}_{qp}(d-a')=r_{pq}\delta _{a,a'}.}$

Esto es equivalente al movimiento II de Reidemeister. La relación estrella-triángulo

${\displaystyle \sum _{d=1}^{N}\,{\overline {W}}_{pr}(a-d)\,W_{pq}(d-c)\,{\overline {W}}_{rq}(d-b)=R_{pqr}\,{\overline {W}}_{pq}(a-b)\,{W}_{pr}(b-c)\,W_{rq}(a-c)}$

es equivalente al movimiento III de Reidemeister. Estos se muestran en las figuras siguientes. ^[29]

Pesos de los modelos quirales integrables de Potts

Ver también

• modelo ZN

Referencias

1. Au-Yang, Helen; McCoy, Barry M.; Beneficio, Jacques HH; Tang, Shuang; Yan, Mu-Lin (10 de agosto de 1987). "Matrices de transferencia conmutantes en los modelos quirales de Potts: soluciones de ecuaciones estrella-triángulo con género> 1". Letras de Física A. 123 (5): 219–223. doi :10.1016/0375-9601(87)90065-X. ISSN  0375-9601.
2. Baxter, RJ; Beneficio, JHH; Au-Yang, H. (28 de marzo de 1988). "Nuevas soluciones de las relaciones estrella-triángulo para el modelo de Potts quiral". Letras de Física A. 128 (3): 138-142. doi :10.1016/0375-9601(88)90896-1. ISSN  0375-9601 . Consultado el 10 de julio de 2023 .
3. Baxter, Rodney J. (2007). Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0486462714.
4. McCoy, Barry M. (2010). Mecánica estadística avanzada . Oxford: prensa de la universidad de Oxford. ISBN 978-0199556632.
5. S. Howes, LP Kadanoff y M. den Nijs (1983), Física nuclear B 215 , 169.
6. McCoy BM, Perk JHH, Tang S. y Sah CH (1987), "Matrices de transferencia de conmutación para el modelo de Potts quiral autodual de 4 estados con una curva de Fermat uniformizadora de género 3", Physics Letters A 125 , 9-14.
7. Fateev, VA; Zamolodchikov, AB (18 de octubre de 1982). "Soluciones autoduales de las relaciones estrella-triángulo en modelos ZN". Letras de Física A. 92 (1): 37–39. doi :10.1016/0375-9601(82)90736-8. ISSN  0375-9601 . Consultado el 11 de julio de 2023 .
8. Alcaraz, Francisco C.; Lima Santos, A. (24 de noviembre de 1986). "Leyes de conservación para modelos de espín cuántico simétrico Z (N) y sus energías exactas del estado fundamental". Física Nuclear B. 275 (3): 436–458. doi :10.1016/0550-3213(86)90608-5. ISSN  0550-3213.
9. H. Au-Yang, BM McCoy, JHH Perk y S. Tang (1988), "Modelos solubles en mecánica estadística y superficies de Riemann de género mayor que uno", en Análisis algebraico , vol. 1, M. Kashiwara y T. Kawai, eds., Academic Press, págs. 29–40.
10. JHH Perk (1987), "Ecuaciones estrella-triángulo, pares cuánticos Lax y curvas de género superiores", en Proc. 1987 Instituto de Investigación de Verano sobre Funciones Theta , Proc. Síntoma. Matemáticas puras, vol. 49, parte 1 (Am. Math. Soc., Providence, RI, 1989), págs.
11. Au-Yang H y Perk JHH (1989). "Ecuación estrella-triángulo de Onsager: clave maestra para la integrabilidad", Proc. Simposio Taniguchi, Kioto, octubre de 1988 , Estudios Avanzados en Matemáticas Puras vol 19 (Tokio: Kinokuniya–Academic) págs. 57–94
12. M. Henkel y J. Lacki, preimpresión Bonn-HE-85–22 y "Cadenas cuánticas quirales integrables $ Z_n $ y una nueva clase de sumas trigonométricas", Phys. Letón. 138A 105 (1989)
13. Albertini G., McCoy BM, Perk JHH y Tang S. (1989), "Espectro de excitación y parámetro de orden para el modelo quiral de Potts integrable en estado N ", Física nuclear B 314 , 741–763
14. Baxter RJ (2005), "Derivación del parámetro de orden del modelo quiral de Potts", Physical Review Letters , 94 130602 (3 págs.) arXiv:cond-mat/0501227.
15. Baxter RJ (2005), "El parámetro de orden del modelo quiral de Potts", Journal of Statistical Physics 120 , 1–36: arXiv:cond-mat/0501226.
16. Jimbo M., Miwa T. y Nakayashiki A. (1993), "Ecuaciones en diferencias para las funciones de correlación del modelo de ocho vértices", Journal of Physics A : Math. Gen. 26 , 2199–210: arXiv:hep-th/9211066.
17. Baxter RJ (2008) "Reducción algebraica del modelo de Ising", Journal of Statistical Physics 132 , 959–82, arXiv:0803.4036;
18. Baxter RJ (2008), "Una conjetura para el modelo quiral superintegrable de Potts", Journal of Statistical Physics 132 , 983–1000, arXiv:0803.4037;
19. Baxter RJ (2009), "Algunas observaciones sobre una generalización del modelo quiral superintegrable de Potts", Journal of Statistical Physics 137 , 798–813, arXiv:0906.3551;
20. Baxter RJ (2010), "Magnetización espontánea del modelo quiral superintegrable de Potts: cálculo del determinante D _PQ ", Journal of Physics A 43 , 145002 (16pp) arXiv:0912.4549.
21. Baxter RJ (2010), "Prueba de la forma determinante de la magnetización espontánea del modelo quiral superintegrable de Potts", Revista de Matemáticas Industriales y Aplicadas de Australia y Nueva Zelanda , 51 arXiv:1001.0281.
22. Iorgov N., Pakuliak S., Shadura V., Tykhyy Yu y von Gehlen G. (2009), "Elementos de la matriz del operador de giro en la cadena cuántica quiral superintegrable de Potts", Journal of Statistical Physics 139 , 743–68 arXiv:0912.5027 .
23. Au-Yang H y Perk JHH (2011), "Magnetización espontánea del modelo quiral integrable de Potts", Journal of Physics A 44 , 445005 (20pp), arXiv:1003.4805.
24. VV Bazhanov y Yu. G. Stroganov (1990), "El modelo de Chiral Potts como descendiente del modelo de seis vértices", Journal of Statistical Physics 59 , págs. 799–817.
25. Baxter RJ, Bazhanov VV y Perk JHH (1990), "Relaciones funcionales para matrices de transferencia del modelo quiral de Potts", Revista Internacional de Física Moderna B 4 , 803–70.
26. Baxter RJ (1991), "Cálculo de los valores propios de la matriz de transferencia del modelo quiral de Potts", Actas de la Cuarta Conferencia de Física de Asia Pacífico (Singapur: World Scientific) págs.
27. Baxter RJ (1993), "Modelo quiral de Potts con condiciones de contorno sesgadas", Journal of Statistical Physics 73 , 461–95.
28. Baxter RJ (1994), "Tensión interfacial del modelo quiral de Potts", Journal of Physics A 27 , págs. 1837–49.
29. Au-Yang Helen, Beneficio HH Jacques (2016), arXiv:1601.01014