matriz de transferencia

En matemáticas aplicadas , la matriz de transferencia es una formulación en términos de una matriz de Toeplitz de bloques de la ecuación de dos escalas, que caracteriza funciones refinables . Las funciones refinables juegan un papel importante en la teoría de wavelets y la teoría de elementos finitos .

Para la máscara , que es un vector con índices componentes desde hasta , la matriz de transferencia de , como la llamamos aquí, se define como ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle T_{h}}$

${\displaystyle (T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot j-k}.}$

Más detalladamente

${\displaystyle T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.}$

El efecto de se puede expresar en términos del operador de reducción de resolución " ": ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.}$

Propiedades

• ${\displaystyle T_{h}\cdot x=T_{x}\cdot h}$.
• Si elimina la primera y la última columna y mueve las columnas con índice impar a la izquierda y las columnas con índice par a la derecha, obtendrá una matriz de Sylvester transpuesta .
• El determinante de una matriz de transferencia es esencialmente una resultante.

  Más precisamente:

  Sean los coeficientes pares de ( ) y los impares de ( ). ${\displaystyle h_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h_{\mathrm {e} })_{k}=h_{2k}}$ ${\displaystyle h_{\mathrm {o} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h_{\mathrm {o} })_{k}=h_{2k+1}}$

  Entonces , ¿dónde está la resultante ? ${\displaystyle \det T_{h}=(-1)^{\lfloor {\frac {b-a+1}{4}}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e} },h_{\mathrm {o} })}$ ${\displaystyle \mathrm {res} }$

  Esta conexión permite un cálculo rápido utilizando el algoritmo euclidiano .
• Para la traza de la matriz de transferencia de máscaras convolucionadas se cumple
  ${\displaystyle \mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_{g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h}}$
• Para el determinante de la matriz de transferencia de máscara convolucionada se cumple

  ${\displaystyle \det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res} (g_{-},h)}$

  donde denota la máscara con signos alternos, es decir . ${\displaystyle g_{-}}$ ${\displaystyle (g_{-})_{k}=(-1)^{k}\cdot g_{k}}$
• Si entonces . ${\displaystyle T_{h}\cdot x=0}$ ${\displaystyle T_{g*h}\cdot (g_{-}*x)=0}$
  Esta es una concreción de la propiedad determinante anterior. De la propiedad determinante se sabe que es singular siempre que sea singular. Esta propiedad también indica cómo los vectores del espacio nulo de se pueden convertir en vectores del espacio nulo de . ${\displaystyle T_{g*h}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{g*h}}$
• Si es un vector propio de con respecto al valor propio , es decir ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda }$

  ${\displaystyle T_{h}\cdot x=\lambda \cdot x}$,

  entonces es un vector propio de con respecto al mismo valor propio, es decir ${\displaystyle x*(1,-1)}$ ${\displaystyle T_{h*(1,1)}}$

  ${\displaystyle T_{h*(1,1)}\cdot (x*(1,-1))=\lambda \cdot (x*(1,-1))}$.
• Sean los valores propios de , lo que implica y más generalmente . Esta suma es útil para estimar el radio espectral de . Existe una posibilidad alternativa para calcular la suma de potencias de valores propios, que es más rápida para los pequeños . ${\displaystyle \lambda _{a},\dots ,\lambda _{b}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}+\dots +\lambda _{b}=\mathrm {tr} ~T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}^{n}+\dots +\lambda _{b}^{n}=\mathrm {tr} (T_{h}^{n})}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle n}$

  Sea la periodización de con respecto al período . Es un filtro circular, lo que significa que los índices de los componentes son clases de residuos con respecto al módulo . Luego con el operador de muestreo superior se mantiene ${\displaystyle C_{k}h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle C_{k}h}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle \uparrow }$

  ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{h}^{n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n}-1}}}$

  En realidad, no son necesarias convoluciones, sino sólo unas, cuando se aplica la estrategia de cálculo eficiente de potencias. Aún más, el proceso se puede acelerar aún más utilizando la transformada rápida de Fourier . ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle 2\cdot \log _{2}n}$
• De la afirmación anterior podemos derivar una estimación del radio espectral de . Se mantiene ${\displaystyle \varrho (T_{h})}$

  ${\displaystyle \varrho (T_{h})\geq {\frac {a}{\sqrt {\#h}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {3\cdot \#h}}}}$

  donde está el tamaño del filtro y si todos los valores propios son reales, también es cierto que ${\displaystyle \#h}$

  ${\displaystyle \varrho (T_{h})\leq a}$,

  dónde . ${\displaystyle a=\Vert C_{2}h\Vert _{2}}$

Ver también

• determinante de Hurwitz

Referencias

• Strang, Gilbert (1996). "Valores propios y convergencia del algoritmo en cascada". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 44 : 233–238. doi : 10.1109/78.485920. ${\displaystyle (\downarrow 2){H}}$
• Thielemann, Henning (2006). Wavelets óptimamente emparejados (tesis doctoral).(contiene pruebas de las propiedades anteriores)