par laxo

En matemáticas , en la teoría de sistemas integrables , un par de Lax es un par de matrices u operadores dependientes del tiempo que satisfacen una ecuación diferencial correspondiente , llamada ecuación de Lax . Peter Lax presentó los pares laxos para discutir los solitones en medios continuos . La transformada de dispersión inversa utiliza las ecuaciones de Lax para resolver dichos sistemas.

Definición

Un par de Lax es un par de matrices u operadores que dependen del tiempo y que actúan sobre un espacio de Hilbert fijo y que satisfacen la ecuación de Lax : ${\displaystyle L(t),P(t)}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L]}$

¿ Dónde está el conmutador ? A menudo, como en el ejemplo siguiente, depende de una forma prescrita, por lo que se trata de una ecuación no lineal para en función de . ${\displaystyle [P,L]=PL-LP}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$

propiedad isoespectral

Entonces se puede demostrar que los valores propios y, más generalmente, el espectro de L son independientes de t . Se dice que las matrices/operadores L son isoespectrales según varía. ${\displaystyle t}$

La observación central es que todas las matrices son similares en virtud de ${\displaystyle L(t)}$

${\displaystyle L(t)=U(t,s)L(s)U(t,s)^{-1}}$

¿Dónde está la solución del problema de Cauchy ? ${\displaystyle U(t,s)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t,s)=P(t)U(t,s),\qquad U(s,s)=I,}$

donde I denota la matriz identidad. Tenga en cuenta que si P(t) es adjunto sesgado , U(t,s) será unitario .

En otras palabras, para resolver el problema de valores propios Lψ = λψ en el momento t , es posible resolver el mismo problema en el momento 0, donde L generalmente se conoce mejor, y propagar la solución con las siguientes fórmulas:

${\displaystyle \lambda (t)=\lambda (0)}$(sin cambios en el espectro)

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=P\psi .}$

A través de invariantes principales

El resultado también se puede mostrar usando las invariantes para any . Estos satisfacen ${\displaystyle \mathrm {tr} (L^{n})}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathrm {tr} (L^{n})=0}$$

polinomio característico^[1]

Enlace con el método de dispersión inversa

La propiedad anterior es la base del método de dispersión inversa. En este método, L y P actúan sobre un espacio funcional (por lo tanto , ψ = ψ(t,x) ) y dependen de una función desconocida u(t,x) que debe determinarse. Generalmente se supone que u(0,x) es conocido y que P no depende de u en la región de dispersión donde . El método entonces toma la siguiente forma: ${\displaystyle \Vert x\Vert \to \infty }$

1. Calcule el espectro de , dando y , ${\displaystyle L(0)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi (0,x)}$
2. En la región de dispersión conocida, propague en el tiempo usando la condición inicial , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)}$ ${\displaystyle \psi (0,x)}$
3. Conociendo en la región de dispersión, calcular y/o . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L(t)}$ ${\displaystyle u(t,x)}$

Curva espectral

Si la matriz Lax depende además de un parámetro complejo (como es el caso, por ejemplo, del seno-Gordon ), la ecuación ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \det(wI-L(z))=0}$$

curva algebraicacurva espectrallos sistemas de Hitchin^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle w,z}$

Representación de curvatura cero

Cualquier PDE que admita una representación de par Lax también admite una representación de curvatura cero. ^[3] De hecho, la representación de curvatura cero es más general y para otras PDE integrables, como la ecuación seno-Gordon , el par Lax se refiere a matrices que satisfacen la ecuación de curvatura cero en lugar de la ecuación de Lax. Además, la representación de curvatura cero manifiesta el vínculo entre los sistemas integrables y la geometría, lo que culmina en el programa de Ward para formular sistemas integrables conocidos como soluciones a las ecuaciones duales anti-self de Yang-Mills (ASDYM).

Ecuación de curvatura cero

Las ecuaciones de curvatura cero se describen mediante un par de funciones matriciales , donde los subíndices denotan índices de coordenadas en lugar de derivadas. A menudo la dependencia se produce a través de una única función escalar y sus derivadas. La ecuación de curvatura cero es entonces ${\displaystyle A_{x}(x,t),A_{t}(x,t)}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$

$${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.}$$

tensor de curvatura ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]=-\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}$

Par laxo a curvatura cero

Para una solución propia del operador Lax , se tiene ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L\psi =\lambda \psi ,\psi _{t}+A\psi =0.}$$

${\displaystyle \lambda }$

El par Lax se puede utilizar para definir los componentes de conexión . Cuando una PDE admite una representación de curvatura cero pero no una representación de ecuación Lax, los componentes de la conexión se denominan par Lax y la conexión, conexión Lax. ${\displaystyle (L,P)}$ ${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$ ${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$

Ejemplos

Ecuación de Korteweg-de Vries

La ecuación de Korteweg-de Vries

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}.\,}$

se puede reformular como la ecuación de Lax

${\displaystyle L_{t}=[P,L]\,}$

con

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u\,}$(un operador de Sturm-Liouville )

${\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}\,}$

donde todas las derivadas actúan sobre todos los objetos de la derecha. Esto explica el número infinito de primeras integrales de la ecuación KdV.

Kovalevskaya superior

El ejemplo anterior utilizó un espacio de Hilbert de dimensión infinita. También son posibles ejemplos con espacios de Hilbert de dimensión finita. Estos incluyen la cima de Kovalevskaya y la generalización para incluir un campo eléctrico . ^[4] ${\displaystyle {\vec {h}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}}\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

imagen de heisenberg

En la visión de Heisenberg de la mecánica cuántica , un observable A sin dependencia explícita del tiempo t satisface

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}$

siendo H el hamiltoniano y ħ la constante de Planck reducida . Aparte de un factor, se puede ver que los observables (sin dependencia temporal explícita) en esta imagen forman pares Lax junto con el hamiltoniano. La imagen de Schrödinger se interpreta entonces como la expresión alternativa en términos de evolución isoespectral de estos observables.

Más ejemplos

Otros ejemplos de sistemas de ecuaciones que se pueden formular como un par Lax incluyen:

• Ecuación de Benjamín-Ono
• Ecuación de Schrödinger cúbica unidimensional no lineal
• Sistema Davey-Stewartson
• Sistemas integrables con contactos Lax pares ^[5]
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• Ecuación de Korteweg-de Vries
• Jerarquía KdV
• ecuación de Marchenko
• Ecuación modificada de Korteweg-de Vries
• Ecuación seno-Gordon
• toda la celosía
• Lagrange, Euler y Kovalevskaya encabezan
• Transformada de Belinski-Zakharov , en relatividad general.

Esto último es notable, ya que implica que tanto la métrica de Schwarzschild como la de Kerr pueden entenderse como solitones.

Referencias

1. Hitchin, Nueva Jersey (1999). Sistemas integrables: twistores, grupos de bucles y superficies de Riemann . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 0198504217.
2. Hitchin, Nueva Jersey (1999). Sistemas integrables: twistores, grupos de bucles y superficies de Riemann . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 9780198504214.
3. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y tornadores . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 54–56. ISBN 978-0-19-857063-9.
4. Bobenko, AI; Reyman, AG; Semenov-Tian-Shansky, MA (1989). "El top de Kowalewski 99 años después: un par Lax, generalizaciones y soluciones explícitas". Comunicaciones en Física Matemática . 122 (2): 321–354. Código bibliográfico : 1989CMaPh.122..321B. doi :10.1007/BF01257419. ISSN  0010-3616. S2CID  121752578.
5. A. Sergyeyev, Nuevos sistemas integrables (3 + 1) dimensionales y geometría de contacto, Lett. Matemáticas. Física. 108 (2018), núm. 2, 359-376, arXiv :1401.2122 doi :10.1007/s11005-017-1013-4

• Lax, P. (1968), "Integrales de ecuaciones no lineales de evolución y ondas solitarias", Communications on Pure and Applied Mathematics , 21 (5): 467–490, doi :10.1002/cpa.3160210503archivo
• P. Lax y RS Phillips, Teoría de la dispersión de funciones automórficas [1], (1976) Princeton University Press.