En matemáticas , el sistema integrable de Hitchin es un sistema integrable que depende de la elección de un grupo reductor complejo y una superficie compacta de Riemann , introducido por Nigel Hitchin en 1987. Se encuentra en la encrucijada de la geometría algebraica , la teoría de las álgebras de Lie y el sistema integrable. teoría. También juega un papel importante en la correspondencia geométrica de Langlands sobre el campo de números complejos a través de la teoría de campos conforme .
Un análogo de género cero del sistema de Hitchin, el sistema Garnier , fue descubierto algo antes por René Garnier como un cierto límite de las ecuaciones de Schlesinger , y Garnier resolvió su sistema definiendo curvas espectrales. (El sistema de Garnier es el límite clásico del modelo de Gaudin . A su vez, las ecuaciones de Schlesinger son el límite clásico de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov ).
Casi todos los sistemas integrables de la mecánica clásica pueden obtenerse como casos particulares del sistema Hitchin o su generalización común definida por Bottacin y Markman en 1994.
Usando el lenguaje de la geometría algebraica, el espacio de fases del sistema es una compactificación parcial del paquete cotangente al espacio de módulos de paquetes G estables para algún grupo reductivo G , en alguna curva algebraica compacta . Este espacio está dotado de una forma simpléctica canónica . Supongamos por simplicidad que , el grupo lineal general ; entonces los hamiltonianos se pueden describir de la siguiente manera: el espacio tangente al espacio de módulos de G -paquetes en el paquete F es
que por la dualidad de Serre es dual a
¿Dónde está el paquete canónico , entonces un par?
llamado par de Hitchin o paquete de Higgs , define un punto en el paquete cotangente. Tomando
se obtienen elementos en
que es un espacio vectorial que no depende de . Entonces , tomando cualquier base en estos espacios vectoriales obtenemos funciones Hi , que son las hamiltonianas de Hitchin. La construcción del grupo reductivo general es similar y utiliza polinomios invariantes en el álgebra de Lie de G.
Por razones triviales, estas funciones son algebraicamente independientes y algunos cálculos muestran que su número es exactamente la mitad de la dimensión del espacio de fases. La parte no trivial es una prueba de la conmutatividad de Poisson de estas funciones. Por tanto, definen un sistema integrable en el sentido simpléctico o de Arnold-Liouville .
La fibración de Hitchin es el mapa del espacio de módulos de los pares de Hitchin a los polinomios característicos , un análogo de género superior del mapa que Garnier usó para definir las curvas espectrales. Ngô (2006, 2010) utilizó fibraciones de Hitchin sobre campos finitos en su prueba del lema fundamental .
