Paquete principal estable

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y geometría algebraica , un fibrado principal estable es una generalización de la noción de fibrado vectorial estable al contexto de fibrados principales . El concepto de estabilidad para fibrados principales fue introducido por Annamalai Ramanathan con el propósito de definir el espacio de módulos de fibrados principales G sobre una superficie de Riemann , una generalización del trabajo anterior de David Mumford y otros sobre los espacios de módulos de fibrados vectoriales. ^{[1] [2] [3]}

Muchas afirmaciones sobre la estabilidad de los fibrados vectoriales pueden traducirse al lenguaje de los fibrados principales estables. Por ejemplo, el análogo de la correspondencia de Kobayashi-Hitchin para fibrados principales, que un fibrado principal holomorfo sobre una variedad de Kähler compacta admite una conexión de Hermite-Einstein si y solo si es poliestable, fue demostrado como cierto en el caso de variedades proyectivas por Subramanian y Ramanathan, y para variedades de Kähler compactas arbitrarias por Anchouche y Biswas . ^{[4] [5]}

Definición

La definición esencial de estabilidad para fibrados principales fue hecha por Ramanathan, pero se aplica sólo al caso de superficies de Riemann. ^[2] En esta sección enunciamos la definición tal como aparece en el trabajo de Anchouche y Biswas, que es válida para cualquier variedad de Kähler y, de hecho, tiene sentido de manera más general para variedades algebraicas . ^[5] Esto se reduce a la definición de Ramanathan en el caso de que la variedad sea una superficie de Riemann.

Sea un grupo algebraico reductivo conexo sobre los números complejos . Sea una variedad de Kähler compacta de dimensión compleja . Supóngase que es un fibrado principal holomorfo sobre . Holomorfo aquí significa que las funciones de transición para varían holomorfamente, lo que tiene sentido ya que el grupo de estructura es un grupo de Lie complejo . El fibrado principal se llama estable (resp. semiestable ) si para cada reducción del grupo de estructura para un subgrupo parabólico maximalista donde es algún subconjunto abierto con la codimensión , tenemos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma :U\to P/Q}$ ${\displaystyle Q\subset G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {codim} (X\backslash U)\geq 2}$

${\displaystyle \deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q>0\quad ({\text{resp. }}\geq 0).}$

Aquí está el fibrado tangente relativo del fibrado de fibras, también conocido como fibrado vertical de . Recuerde que el grado de un fibrado vectorial (o haz coherente ) se define como ${\displaystyle T_{\operatorname {rel} }P/Q}$ ${\displaystyle \left.P/Q\right|_{U}\to U}$ ${\displaystyle T(\left.P/Q\right|_{U})}$ ${\displaystyle F\to X}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (F):=\int _{X}c_{1}(F)\wedge \omega ^{n-1},}$

donde es la primera clase de Chern de . En la configuración anterior, el grado se calcula para un fibrado definido dentro de , pero como la codimensión del complemento de es mayor que dos, el valor de la integral coincidirá con el de todo . ${\displaystyle c_{1}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Nótese que en el caso donde , es decir donde es una superficie de Riemann , por suposición sobre la codimensión de debemos tener que , por lo que es suficiente considerar reducciones del grupo de estructura sobre la totalidad de , . ${\displaystyle \dim X=1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma :X\to P/Q}$

Relación con la estabilidad de los fibrados vectoriales

Dado un fibrado principal para un grupo de Lie complejo, hay varios fibrados vectoriales naturales que se le pueden asociar. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

En primer lugar, si , el grupo lineal general , entonces la representación estándar de en permite construir el fibrado asociado . Este es un fibrado vectorial holomorfo sobre , y la definición anterior de estabilidad del fibrado principal es equivalente a la estabilidad de pendiente de . El punto esencial es que un subgrupo parabólico máximo corresponde a una elección de flag , donde es invariante bajo el subgrupo . Dado que el grupo de estructura de se ha reducido a , y conserva el subespacio vectorial , se puede tomar el fibrado asociado , que es un subfibrado de sobre el subconjunto en el que se define la reducción del grupo de estructura y, por lo tanto, un subhaz de sobre todos los . Entonces se puede calcular que ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle E=P\times _{\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Q\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 0\subset W\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle W\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle F=P\times _{Q}W}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q=\mu (E)-\mu (F)}$

donde denota la pendiente de los fibrados vectoriales. ${\displaystyle \mu }$

Cuando el grupo de estructura no es todavía hay un fibrado vectorial asociado natural a , el fibrado adjunto , con fibra dada por el álgebra de Lie de . El fibrado principal es semiestable si y solo si el fibrado adjunto es semiestable en pendiente, y además si es estable, entonces es poliestable en pendiente. ^[5] Nuevamente, el punto clave aquí es que para un subgrupo parabólico , se obtiene un subálgebra parabólica y se puede tomar el subfibrado asociado. En este caso, se debe tener más cuidado porque la representación adjunta de en no siempre es fiel o irreducible , la última condición insinuando por qué la estabilidad del fibrado principal solo conduce a la poliestabilidad del fibrado adjunto (porque una representación que se divide como una suma directa conduciría a que el fibrado asociado se divida como una suma directa). ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} P}$ ${\displaystyle Q\subset G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Generalizaciones

Así como se puede generalizar un fibrado vectorial a la noción de fibrado de Higgs , es posible formular una definición de fibrado principal de Higgs. La definición anterior de estabilidad para fibrados principales se generaliza a estos objetos al requerir que las reducciones del grupo de estructura sean compatibles con el campo de Higgs del fibrado principal de Higgs. Anchouche y Biswas demostraron que el análogo de la correspondencia de Hodge no abeliana para fibrados vectoriales de Higgs es cierto para fibrados principales de Higgs en el caso en que la variedad base sea una variedad proyectiva compleja . ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$

Referencias

1. Ramanathan, A., 1975. Fibrados principales estables en una superficie compacta de Riemann. Mathematische Annalen, 213(2), pp.129-152.
2. Ramanathan, A., 1996, agosto. Módulos para fibrados principales sobre curvas algebraicas: I. En Actas de la Academia India de Ciencias-Ciencias Matemáticas (Vol. 106, Núm. 3, págs. 301-328). Springer India.
3. Ramanathan, A., 1996, noviembre. Módulos para fibrados principales sobre curvas algebraicas: II. En Proceedings of the Indian Academy of Sciences-Mathematical Sciences (Vol. 106, No. 4, pp. 421-449). Springer India.
4. Subramanian, S. y Ramanathan, A., 1988. Conexiones Einstein-Hermitianas en haces principales y estabilidad.
5. Anchouche, B. y Biswas, I., 2001. Conexiones einstein-hermíticas en fibrados principales poliestables sobre una variedad de Kähler compacta. American Journal of Mathematics, 123(2), pp.207-228.