Ecuación de seno-Gordon

Ecuación diferencial parcial no lineal

La ecuación seno-Gordon es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden para una función dependiente de dos variables normalmente denotadas y , que involucra al operador de onda y al seno de . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi }$

Fue introducida originalmente por Edmond Bour  (1862) en el curso del estudio de superficies de curvatura negativa constante como la ecuación de Gauss-Codazzi para superficies de curvatura gaussiana constante −1 en el espacio tridimensional . ^[1] La ecuación fue redescubierta por Frenkel y Kontorova (1939) en su estudio de dislocaciones cristalinas conocido como el modelo de Frenkel-Kontorova . ^[2]

Esta ecuación atrajo mucha atención en la década de 1970 debido a la presencia de soluciones solitones , ^[3] y es un ejemplo de una EDP integrable . Entre las EDP integrables conocidas, la ecuación de seno-Gordon es el único sistema relativista debido a su invariancia de Lorentz .

Realizaciones de la ecuación de seno-Gordon

Geometría diferencial

Esta es la primera derivación de la ecuación, de Bour (1862).

Existen dos formas equivalentes de la ecuación de seno-Gordon. En las coordenadas espacio-temporales ( reales ) , denotadas como , la ecuación se lee: ^[4] ${\displaystyle (x,t)}$

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,}$

donde las derivadas parciales se denotan mediante subíndices. Pasando a las coordenadas del cono de luz ( u ,  v ), similar a las coordenadas asintóticas donde

${\displaystyle u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {x-t}{2}},}$

La ecuación toma la forma ^[5]

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$

Esta es la forma original de la ecuación de seno-Gordon, tal como se consideró en el siglo XIX en el curso de la investigación de superficies de curvatura gaussiana constante K  = −1, también llamadas superficies pseudoesféricas .

Consideremos una superficie pseudoesférica arbitraria. En cada punto de la superficie hay dos curvas asintóticas . Esto nos permite construir un sistema de coordenadas distinguido para dicha superficie, en el que u  = constante, v  = constante son las líneas asintóticas y las coordenadas se incrementan por la longitud del arco en la superficie. En cada punto de la superficie, sea el ángulo entre las líneas asintóticas. ${\displaystyle \varphi }$

La primera forma fundamental de la superficie es

${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},}$

y la segunda forma fundamental es y la ecuación de Gauss-Codazzi es Por lo tanto, cualquier superficie pseudoesférica da lugar a una solución de la ecuación de seno-Gordon, aunque con algunas salvedades: si la superficie es completa, es necesariamente singular debido al teorema de incrustación de Hilbert . En el caso más simple, la pseudoesfera , también conocida como tractroide, corresponde a un unisolitón estático, pero el tractroide tiene una cúspide singular en su ecuador. $${\displaystyle L=N=0,M=\sin \varphi }$$ $${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$$

Por el contrario, se puede empezar con una solución a la ecuación de seno-Gordon para obtener una pseudoesfera únicamente hasta transformaciones rígidas . Existe un teorema, a veces llamado teorema fundamental de superficies , que establece que si un par de formas bilineales con valores matriciales satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi, entonces son la primera y la segunda forma fundamental de una superficie incrustada en el espacio tridimensional. Las soluciones a la ecuación de seno-Gordon se pueden utilizar para construir dichas matrices utilizando las formas obtenidas anteriormente.

Transformada de Lie aplicada a pseudoesferas para obtener una superficie de Dini

Nuevas soluciones a partir de lo antiguo

El estudio de esta ecuación y de las transformaciones asociadas de superficies pseudoesféricas en el siglo XIX por Bianchi y Bäcklund condujo al descubrimiento de las transformaciones de Bäcklund . Otra transformación de superficies pseudoesféricas es la transformada de Lie introducida por Sophus Lie en 1879, que corresponde a las transformadas de Lorentz para soluciones de la ecuación de seno-Gordon. ^[6]

También hay algunas formas más sencillas de construir nuevas soluciones, pero que no dan nuevas superficies. Como la ecuación de seno-Gordon es impar, el negativo de cualquier solución es otra solución. Sin embargo, esto no da una nueva superficie, ya que el cambio de signo se reduce a una elección de dirección para la normal a la superficie. Se pueden encontrar nuevas soluciones trasladando la solución: si es una solución, entonces también lo es para un entero. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi +2n\pi }$ ${\displaystyle n}$

Modelo de Frenkel-Kontorova

Un modelo mecánico

Una línea de péndulos, con un "patrón de respiración" oscilando en el medio. Desafortunadamente, la imagen está dibujada con la gravedad apuntando hacia arriba .

Consideremos una línea de péndulos que cuelgan de una línea recta, en gravedad constante. Conectemos los puntos del péndulo entre sí mediante una cuerda en tensión constante. Sea el ángulo del péndulo en la posición , entonces, esquemáticamente, la dinámica de la línea del péndulo sigue la segunda ley de Newton: y esta es la ecuación del seno de Gordon, después de escalar el tiempo y la distancia apropiadamente. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \underbrace {m\varphi _{tt}} _{\text{mass times acceleration}}=\underbrace {T\varphi _{xx}} _{\text{tension}}-\underbrace {mg\sin \varphi } _{\text{gravity}}}$$

Obsérvese que esto no es exactamente correcto, ya que la fuerza neta sobre un péndulo debido a la tensión no es precisamente , sino más exactamente . Sin embargo, esto da una imagen intuitiva de la ecuación de seno-gordon. Se pueden producir realizaciones mecánicas exactas de la ecuación de seno-gordon mediante métodos más complejos. ^[7] ${\displaystyle T\varphi _{xx}}$ ${\displaystyle T\varphi _{xx}(1+\varphi _{x}^{2})^{-3/2}}$

Nombramiento

El nombre "ecuación de seno-Gordon" es un juego de palabras con la conocida ecuación de Klein-Gordon en física: ^[4]

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$

La ecuación de seno-Gordon es la ecuación de Euler-Lagrange del campo cuya densidad lagrangiana está dada por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .}$

Utilizando la expansión en serie de Taylor del coseno en el lagrangiano,

${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$

Puede reescribirse como el lagrangiano de Klein-Gordon más términos de orden superior:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Soluciones de solitones

Una característica interesante de la ecuación de seno-Gordon es la existencia de soluciones solitón y multisolitón.

Soluciones de 1 solitón

La ecuación de seno-Gordon tiene las siguientes soluciones de 1 solitón :

${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$

dónde

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$

y se supone la forma ligeramente más general de la ecuación:

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$

La solución de 1-solitón para la que hemos elegido la raíz positiva de se llama kink y representa un giro en la variable que lleva al sistema de una solución constante a una solución constante adyacente . Los estados se conocen como estados de vacío, ya que son soluciones constantes de energía cero. La solución de 1-solitón en la que tomamos la raíz negativa de se llama antikink . La forma de las soluciones de 1-solitón se puede obtener mediante la aplicación de una transformada de Bäcklund a la solución trivial (vacío) y la integración de los diferenciales de primer orden resultantes: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ ${\displaystyle \varphi \cong 2\pi n}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$

${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$

para todos los tiempos.

Las soluciones de 1-solitón se pueden visualizar con el uso del modelo de seno-Gordon de cinta elástica introducido por Julio Rubinstein en 1970. ^[8] Aquí tomamos un giro en el sentido de las agujas del reloj ( hacia la izquierda ) de la cinta elástica como un kink con carga topológica . El giro alternativo en el sentido contrario a las agujas del reloj ( hacia la derecha ) con carga topológica será un antikink. ${\displaystyle \theta _{\text{K}}=-1}$ ${\displaystyle \theta _{\text{AK}}=+1}$

Solución estática de 1 solitón ${\displaystyle 4\arctan e^{x}}$

Soluciones de 2 solitones

Las soluciones multisolitón se pueden obtener mediante la aplicación continua de la transformada de Bäcklund a la solución de 1 solitón, como lo prescribe una red de Bianchi que relaciona los resultados transformados. ^[10] Las soluciones de 2 solitones de la ecuación de seno-Gordon muestran algunas de las características características de los solitones. Los pliegues y/o antipliegues de seno-Gordon que viajan pasan uno a través del otro como si fueran perfectamente permeables, y el único efecto observado es un cambio de fase . Dado que los solitones en colisión recuperan su velocidad y forma , dicha interacción se denomina colisión elástica .

La solución kink-kink viene dada por $${\displaystyle \varphi _{K/K}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\cosh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

mientras que la solución de torcedura-anti-torcedura viene dada por $${\displaystyle \varphi _{K/AK}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\cosh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\sinh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

Otra solución interesante de 2 solitones surge de la posibilidad de un comportamiento acoplado de torcedura-antitorcedura conocido como respiradero . Se conocen tres tipos de respiraderos: respiradero fijo , respiradero móvil de gran amplitud y respiradero móvil de pequeña amplitud . ^[11]

La solución del respiradero permanente viene dada por $${\displaystyle \varphi (x,t)=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right).}$$

Soluciones de 3 solitones

Las colisiones de 3 solitones entre un kink móvil y un respiradero fijo o un antikink móvil y un respiradero fijo dan como resultado un cambio de fase del respiradero fijo. En el proceso de colisión entre un kink móvil y un respiradero fijo, el cambio del respiradero viene dado por ${\displaystyle \Delta _{\text{B}}}$

${\displaystyle \Delta _{\text{B}}={\frac {2\operatorname {artanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},}$

donde es la velocidad de la torcedura, y es la frecuencia del respirador. ^[11] Si la posición anterior del respirador de pie es , después de la colisión la nueva posición será . ${\displaystyle v_{\text{K}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}+\Delta _{\text{B}}}$

Transformación de Bäcklund

Supongamos que es una solución de la ecuación de seno-Gordon ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$

Entonces el sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

donde a es un parámetro arbitrario, es resoluble para una función que también satisfaga la ecuación de seno-Gordon. Este es un ejemplo de una transformada de Bäcklund automática, ya que tanto y son soluciones de la misma ecuación, es decir, la ecuación de seno-Gordon. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

Utilizando un sistema matricial, también es posible encontrar una transformada de Bäcklund lineal para soluciones de la ecuación de seno-Gordon.

Por ejemplo, si es la solución trivial , entonces es la solución de un solitón con relacionada con el refuerzo aplicado al solitón. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \equiv 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle a}$

Carga y energía topológicas

La carga topológica o número de bobinado de una solución es La energía de una solución es donde se ha añadido una densidad de energía constante para que el potencial no sea negativo. Con ella, los dos primeros términos en la expansión de Taylor del potencial coinciden con el potencial de un campo escalar masivo, como se mencionó en la sección de nombres; los términos de orden superior pueden considerarse interacciones. ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)}$$

La carga topológica se conserva si la energía es finita. La carga topológica no determina la solución, incluso hasta los impulsos de Lorentz. Tanto la solución trivial como la solución del par solitón-antisolitón tienen . ${\displaystyle N=0}$

Formulación de curvatura cero

La ecuación del seno de Gordon es equivalente a que la curvatura de una conexión particular sea igual a cero. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Explícitamente, con coordenadas en , los componentes de conexión están dados por donde son las matrices de Pauli . Entonces la ecuación de curvatura cero ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ $${\displaystyle A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},}$$ $${\displaystyle A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},}$$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ $${\displaystyle \partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0}$$

es equivalente a la ecuación de seno-Gordon . La ecuación de curvatura cero se llama así porque corresponde a que la curvatura sea igual a cero si está definida . ${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi }$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$

El par de matrices y también se conocen como un par de Lax para la ecuación de seno-Gordon, en el sentido de que la ecuación de curvatura cero recupera la EDP en lugar de satisfacer la ecuación de Lax. ${\displaystyle A_{u}}$ ${\displaystyle A_{v}}$

Ecuaciones relacionadas

ElLa ecuación de Sinh-Gordon está dada por^[13]

${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .}$

Esta es la ecuación de Euler-Lagrange del lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .}$

Otra ecuación estrechamente relacionada es la ecuación elíptica del seno de Gordon o ecuación euclidiana del seno de Gordon , dada por

${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,}$

donde ahora es una función de las variables x e y . Esta ya no es una ecuación de solitón, pero tiene muchas propiedades similares, ya que está relacionada con la ecuación de seno-Gordon por la continuación analítica (o rotación de Wick ) y  = i t . ${\displaystyle \varphi }$

La ecuación elíptica sinh-Gordon puede definirse de manera similar.

Otra ecuación similar proviene de la ecuación de Euler-Lagrange para la teoría de campos de Liouville.

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.}$$

La teoría de campos de Toda da una generalización . ^[14] Más precisamente, la teoría de campos de Liouville es la teoría de campos de Toda para el álgebra de Kac-Moody finita , mientras que sin(h)-Gordon es la teoría de campos de Toda para el álgebra de Kac-Moody afín . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$

Volumen infinito y en media linea

También se puede considerar el modelo de seno-Gordon en un círculo, ^[15] en un segmento de línea o en una semirrecta. ^[16] Es posible encontrar condiciones de contorno que preserven la integrabilidad del modelo. ^[16] En una semirrecta el espectro contiene estados límite además de los solitones y respiraderos. ^[16]

Modelo cuántico de seno-Gordon

En la teoría cuántica de campos, el modelo seno-Gordon contiene un parámetro que se puede identificar con la constante de Planck . El espectro de partículas consta de un solitón, un antisolitón y un número finito (posiblemente cero) de respiradores . ^{[17] [18] [19]} El número de respiradores depende del valor del parámetro. La producción de múltiples partículas se cancela en la capa de masa.

La cuantificación semiclásica del modelo seno-Gordon fue realizada por Ludwig Faddeev y Vladimir Korepin . ^[20] La matriz de dispersión cuántica exacta fue descubierta por Alexander Zamolodchikov . ^[21] Este modelo es S-dual al modelo de Thirring , descubierto por Coleman . ^[22] Esto a veces se conoce como la correspondencia de Coleman y sirve como un ejemplo de correspondencia bosón-fermión en el caso de interacción. Este artículo también mostró que las constantes que aparecen en el modelo se comportan bien bajo renormalización : hay tres parámetros y . Coleman mostró que recibe solo una corrección multiplicativa, recibe solo una corrección aditiva y no se renormaliza. Además, para un valor crítico distinto de cero , la teoría es de hecho dual a una teoría de campo de Dirac masiva libre . ${\displaystyle \alpha _{0},\beta }$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ={\sqrt {4\pi }}}$

La ecuación cuántica del seno de Gordon debería modificarse para que los exponenciales se conviertan en operadores de vértice.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })}$

con , donde los puntos y comas indican ordenamiento normal . Se incluye un posible término de masa. ${\displaystyle V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:}$

Regímenes de renormalizabilidad

Para diferentes valores del parámetro , las propiedades de renormalizabilidad de la teoría de seno-Gordon cambian. ^[23] La identificación de estos regímenes se atribuye a Jürg Fröhlich . ${\displaystyle \beta ^{2}}$

El régimen finito es , donde no se necesitan contratérminos para que la teoría esté bien planteada. El régimen superrenormalizable es , donde se necesita un número finito de contratérminos para que la teoría esté bien planteada. Se necesitan más contratérminos por cada umbral superado. ^[24] Para , la teoría se vuelve mal definida (Coleman 1975). Los valores límite son y , que son respectivamente el punto de fermión libre, ya que la teoría es dual a un fermión libre a través de la correspondencia de Coleman, y el punto autodual, donde los operadores de vértice forman una subálgebra sl 2 afín , y la teoría se vuelve estrictamente renormalizable (renormalizable, pero no superrenormalizable). ${\displaystyle \beta ^{2}<4\pi }$ ${\displaystyle 4\pi <\beta ^{2}<8\pi }$ ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}8\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}>8\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}=8\pi }$

Modelo estocástico de seno-Gordon

El modelo estocástico o dinámico seno-Gordon ha sido estudiado por Martin Hairer y Hao Shen ^[25] permitiendo probar resultados heurísticos de la teoría cuántica seno-Gordon en un entorno estadístico.

La ecuación es donde son constantes de valor real y es ruido blanco espacio-temporal . La dimensión espacial está fijada en 2. En la prueba de existencia de soluciones, los umbrales vuelven a desempeñar un papel en la determinación de la convergencia de ciertos términos. $${\displaystyle \partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,}$$ ${\displaystyle c,\beta ,\theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi }$

Modelo seno-Gordon supersimétrico

También existe una extensión supersimétrica del modelo seno-Gordon. ^[26] También se pueden encontrar condiciones de contorno que preserven la integrabilidad para esta extensión. ^[26]

Aplicaciones físicas

El modelo seno-Gordon surge como el límite continuo del modelo de Frenkel-Kontorova que modela las dislocaciones cristalinas.

La dinámica en las uniones Josephson largas está bien descrita por las ecuaciones de seno-Gordon y, a la inversa, proporciona un sistema experimental útil para estudiar el modelo de seno-Gordon. ^[27]

El modelo seno-Gordon está en la misma clase de universalidad que la acción efectiva para un gas de Coulomb de vórtices y antivórtices en el modelo XY clásico continuo , que es un modelo de magnetismo. ^{[28] [29]} Por lo tanto, la transición de Kosterlitz-Thouless para vórtices se puede derivar de un análisis de grupo de renormalización de la teoría de campo seno-Gordon. ^{[30] [31]}

La ecuación de seno-Gordon también surge como el límite continuo formal de un modelo diferente de magnetismo, el modelo cuántico de Heisenberg , en particular el modelo XXZ. ^[32]

Véase también

• Efecto Josephson
• Fluxón
• Ondas de forma

Referencias

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Enlaces externos

• ecuación de seno-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Sinh-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• ecuación de seno-Gordon Archivado el 16 de marzo de 2012 en Wayback Machine en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.