Modelo de Frenkel-Kontorova

Modelo fundamental de física no lineal de baja dimensión.

El modelo de Frenkel-Kontorova , también conocido como modelo FK , es un modelo fundamental de física no lineal de baja dimensión . ^[1]

El modelo FK generalizado describe una cadena de partículas clásicas con interacciones con vecinos más cercanos y sometidas a un potencial de sustrato periódico en el sitio. ^[2] En su forma original y más simple, las interacciones se consideran armónicas y el potencial sinusoidal con una periodicidad proporcional a la distancia de equilibrio de las partículas. Diferentes opciones para la interacción y los potenciales de sustrato y la inclusión de una fuerza impulsora pueden describir una amplia gama de situaciones físicas diferentes.

Introducido originalmente por Yakov Frenkel y Tatiana Kontorova en 1938 para describir la estructura y la dinámica de una red cristalina cerca de un núcleo de dislocación , el modelo FK se ha convertido en uno de los modelos estándar en física de la materia condensada debido a su aplicabilidad para describir muchos fenómenos físicos. Los fenómenos físicos que pueden modelarse mediante el modelo FK incluyen dislocaciones, la dinámica de las capas de adsorbato en las superficies, aglomeraciones, paredes de dominio en estructuras magnéticamente ordenadas, uniones largas de Josephson , cadenas unidas por enlaces de hidrógeno y cadenas de tipo ADN. ^{[3] [4]} Una modificación del modelo FK, el modelo de Tomlinson , juega un papel importante en el campo de la tribología .

Las ecuaciones para configuraciones estacionarias del modelo FK se reducen a las del mapa estándar o mapa de Chirikov-Taylor de la teoría estocástica. ^[1]

En la aproximación de límite continuo, el modelo FK se reduce a la ecuación seno-Gordon (SG) exactamente integrable, que permite soluciones de solitones . Por esta razón, el modelo FK también se conoce como "seno-Gordon discreto" o " ecuación periódica de Klein-Gordon ".

Historia

Ulrich Dehlinger propuso un modelo simple de una cadena armónica en un potencial de sustrato periódico en 1928. Dehlinger derivó una expresión analítica aproximada para las soluciones estables de este modelo, que denominó Verhakungen , que corresponden a lo que hoy se llaman pares de torsión . Ludwig Prandtl desarrolló un modelo esencialmente similar en 1912/13, pero no se publicó hasta 1928. ^[5]

El modelo fue propuesto de forma independiente por Yakov Frenkel y Tatiana Kontorova en su artículo de 1938 Sobre la teoría de la deformación plástica y la macla para describir la dinámica de una red cristalina cerca de una dislocación y para describir la macla cristalina . ^[4] En la cadena armónica lineal estándar, cualquier desplazamiento de los átomos dará como resultado ondas, y la única configuración estable será la trivial. Para la cadena no lineal de Frenkel y Kontorova, existen configuraciones estables además de la trivial. Para pequeños desplazamientos atómicos la situación se asemeja a la cadena lineal; sin embargo, para desplazamientos suficientemente grandes, es posible crear una única dislocación en movimiento, para lo cual Frenkel y Kontorova obtuvieron una solución analítica. ^[6] La forma de estas dislocaciones está definida únicamente por los parámetros del sistema, como la masa y la constante elástica de los resortes.

Las dislocaciones, también llamadas solitones , son defectos distribuidos no locales y matemáticamente son un tipo de defecto topológico . La característica definitoria de los solitones/dislocaciones es que se comportan como partículas estables: pueden moverse manteniendo su forma general. Dos solitones de orientación igual y opuesta pueden cancelarse al chocar, pero un solo solitón no puede aniquilarse espontáneamente.

Modelo generalizado

El modelo FK generalizado trata una cadena unidimensional de átomos con interacción con el vecino más cercano en potencial periódico en el sitio; el hamiltoniano para este sistema es

donde el primer término es la energía cinética de los átomos de masa , y la energía potencial es una suma de la energía potencial debida a la interacción del vecino más cercano y la del potencial del sustrato: . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=U_{\text{sub}}+U_{\text{int}}}$

El potencial del sustrato es periódico, es decir, para algunos . ${\displaystyle U_{\text{sub}}(x+a_{s})=U_{\text{sub}}(x)}$ ${\displaystyle a_{s}}$

Para interacciones no armónicas y/o potencial no sinusoidal, el modelo FK dará lugar a una transición de fase proporcional-inconmensurable.

El modelo FK se puede aplicar a cualquier sistema que pueda tratarse como dos subsistemas acoplados, donde un subsistema puede aproximarse como una cadena lineal y el segundo subsistema como un potencial de sustrato inmóvil. ^[1]

Un ejemplo sería la adsorción de una capa sobre una superficie de cristal; aquí la capa de adsorción puede aproximarse como la cadena y la superficie del cristal como un potencial in situ.

modelo clasico

En esta sección examinamos en detalle la forma más simple del modelo FK. Una versión detallada de esta derivación se puede encontrar en la literatura. ^[2] El modelo describe una cadena unidimensional de átomos con una interacción armónica con el vecino más cercano y sujeta a un potencial sinusoidal. Se ignora el movimiento transversal de los átomos, es decir, los átomos sólo pueden moverse a lo largo de la cadena. El hamiltoniano para esta situación viene dado por 1 , donde especificamos que el potencial de interacción es

${\displaystyle U_{\text{int}}={\frac {g}{2}}\sum _{n}(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2},}$

donde es la constante elástica y es la distancia de equilibrio interatómico. El potencial del sustrato es ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle U_{\text{sub}}={\frac {\epsilon _{s}}{2}}\sum _{n}\left[1-\cos {\frac {2\pi x_{n}}{a_{s}}}\right],}$

siendo la amplitud y el período. ${\displaystyle \epsilon _{s}}$ ${\displaystyle a_{s}}$

Se introducen las siguientes variables adimensionales para reescribir el hamiltoniano:

${\displaystyle x_{n}\to \left({\frac {2\pi }{a_{s}}}\right)x_{n},\quad t\to \left({\frac {2\pi }{a_{s}}}\right){\sqrt {\frac {\epsilon _{s}}{2m_{a}}}}t,\quad a_{0}\to {\frac {2\pi }{a_{s}}},\quad g\to g{\frac {a_{s}/2\pi ^{2}}{\epsilon _{s}/2}}.}$

En forma adimensional, el hamiltoniano es

${\displaystyle H={\frac {\mathcal {H}}{\epsilon _{s}/2}}=\sum _{n}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {dx_{n}}{dt}}^{2}+\left(1-\cos x_{n}+{\frac {1}{2}}g(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2}\right)\right],}$

que describe una cadena armónica de átomos de masa unitaria en un potencial sinusoidal de período con amplitud . La ecuación de movimiento para este hamiltoniano es ${\displaystyle a_{s}=2\pi }$ ${\displaystyle \epsilon _{s}=2}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x_{n}}{dt^{2}}}+\sin x_{n}-g(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_{n})=0.}$

Consideramos sólo el caso en el que y son conmensurables, por simplicidad tomamos . Así, en el estado fundamental de la cadena, cada mínimo del potencial del sustrato está ocupado por un átomo. Introducimos la variable para los desplazamientos atómicos que está definida por ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle a_{0}=a_{s}}$ ${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle x_{n}=na_{s}+u_{n}.}$

Para desplazamientos pequeños, la ecuación de movimiento se puede linealizar y toma la siguiente forma: ${\displaystyle u_{n}\ll a_{s}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}+u_{n}-g(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n})=0.}$

Esta ecuación de movimiento describe fonones con la relación de dispersión de fonones con el número de onda adimensional . Esto muestra que el espectro de frecuencias de la cadena tiene una banda prohibida con frecuencia de corte . ${\displaystyle u_{n}\propto \exp[i(\omega _{\text{ph}}(\kappa )t-\kappa n)]}$ ${\displaystyle \omega _{\text{ph}}^{2}(\kappa )=\omega _{\text{min}}^{2}+2g(1-\cos \kappa )}$ ${\displaystyle |\kappa |\leq \pi }$ ${\displaystyle \omega _{\text{min}}\equiv \omega _{\text{ph}}(0)=1}$ ${\displaystyle \omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}}$

Las ecuaciones de movimiento linealizadas no son válidas cuando los desplazamientos atómicos no son pequeños, y se debe utilizar la ecuación de movimiento no lineal. Las ecuaciones no lineales pueden admitir nuevos tipos de excitaciones localizadas, que se aclaran mejor considerando el límite continuo del modelo FK. La aplicación del procedimiento estándar de Rosenau ^[7] para derivar ecuaciones de límite continuo a partir de una red discreta da como resultado la ecuación de Gordon sinusoidal perturbada.

${\displaystyle u_{tt}+\sin u-(a_{s}^{2}g)u_{xx}=\epsilon f(u),}$

donde la función

${\displaystyle \epsilon f(u)={\frac {1}{12}}a_{s}^{2}(u_{xxtt}+u_{x}^{2}\sin u-u_{xx}\cos u)}$

describe en primer orden los efectos debidos a la discreción de la cadena.

Despreciar los efectos de discreción e introducir reduce la ecuación de movimiento a la ecuación seno-Gordon (SG) en su forma estándar ${\displaystyle x\to {\frac {x}{a_{s}{\sqrt {g}}}}}$

${\displaystyle u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0.}$

La ecuación SG da lugar a tres excitaciones/soluciones elementales: torceduras , respiraderos y fonones .

Los kinks, o solitones topológicos, pueden entenderse como la solución que conecta dos mínimos idénticos más cercanos del potencial periódico del sustrato, por lo que son el resultado de la degeneración del estado fundamental. Estas soluciones son

${\displaystyle u_{\text{k}}(x,t)=4\tan ^{-1}(\exp[-\sigma \gamma (v)(x-vt)]),}$

¿Dónde está la carga topológica? Porque la solución se llama torcedura , y por ella es antitorcedura . El ancho del pliegue está determinado por la velocidad del pliegue , que se mide en unidades de la velocidad del sonido y es . Para el movimiento de torsión con , el ancho se aproxima a 1. La energía de la torsión en unidades adimensionales es ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ ${\displaystyle \sigma =1}$ ${\displaystyle \sigma =-1}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma (v)=1/{\sqrt {1-v^{2}}}}$ ${\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\gamma (v)\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2},}$

de donde se sigue la masa en reposo de la torcedura como , y la energía en reposo de las torceduras como . ${\displaystyle m={\frac {2}{\pi ^{2}{\sqrt {g}}}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}}$

Dos torceduras estáticas vecinas a distancia tienen energía de repulsión ${\displaystyle R}$

${\displaystyle v_{\text{int}}\approx \epsilon _{\text{k}}\sinh ^{-2}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt {g}}}},}$

Mientras que Kink y Antikink se atraen con la interacción.

${\displaystyle v_{\text{int}}(R)\approx -\epsilon _{\text{k}}\cosh ^{-2}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt {g}}}}.}$

un respiro es

${\displaystyle u_{\text{br}}(x,t)=4\tan ^{-1}\left[{\frac {\sqrt {1-\Omega ^{2}}}{\Omega }}{\frac {\sin(\Omega t)}{\cosh(x{\sqrt {1-\Omega ^{2}}})}}\right],}$

que describe la oscilación no lineal con frecuencia , con . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 0<\Omega <\omega _{\text{min}}}$

La energía del descanso del respiro.

${\displaystyle \epsilon _{\text{br}}=2\epsilon _{\text{k}}{\sqrt {1-\Omega ^{2}}}.}$

Para bajas frecuencias, el respiradero puede verse como un par acoplado entre torceduras y antitorceduras. Los torceduras y respiraderos pueden moverse a lo largo de la cadena sin ninguna pérdida de energía disipativa. Además, cualquier colisión entre todas las excitaciones de la ecuación SG da como resultado sólo un cambio de fase. Por lo tanto, las torceduras y los respiraderos pueden considerarse cuasipartículas no lineales del modelo SG. Para modificaciones casi integrables de la ecuación SG, como la aproximación continua del modelo FK, las torceduras pueden considerarse cuasipartículas deformables , siempre que los efectos de discreción sean pequeños. ^[2] ${\displaystyle \Omega \ll 1}$

El potencial Peierls-Nabarro

Configuración estacionaria para el modelo FK para un solo pliegue. La imagen superior corresponde a una configuración estable. La imagen inferior corresponde a una configuración inestable.

En la sección anterior, las excitaciones del modelo FK se derivaron considerando el modelo en una aproximación de límite continuo. Dado que las propiedades de los puntos de torsión sólo se modifican ligeramente por la discreción del modelo primario, la ecuación SG puede describir adecuadamente la mayoría de las características y dinámicas del sistema.

Sin embargo, la red discreta influye en el movimiento de torsión de una manera única con la existencia del potencial de Peierls-Nabarro (PN) , donde es la posición del centro de la torsión. La existencia del potencial PN se debe a la falta de invariancia traslacional en una cadena discreta. En el límite del continuo, el sistema es invariante para cualquier traslación del nudo a lo largo de la cadena. Para una cadena discreta, sólo aquellas traslaciones que son un múltiplo entero del espaciado de la red dejan el sistema invariante. La barrera PN, es la barrera de energía más pequeña que debe superar una torcedura para poder moverse a través de la red. El valor de la barrera PN es la diferencia entre la energía potencial de la torsión para una configuración estacionaria estable e inestable. ^[2] Las configuraciones estacionarias se muestran esquemáticamente en la figura. ${\displaystyle V_{\text{PN}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle E_{\text{PN}}}$

Referencias

1. Kivshar YS; Benner H.; Braun OM (2008). "Modelos no lineales para la dinámica de defectos topológicos en sólidos". En PL Christiansen; el diputado Sorensen; AC Scott (eds.). Ciencia no lineal en los albores del siglo XXI . pag. 265. Código Bib : 2000LNP...542..265K. ISBN 978-3-540-46629-1.
2. Braun, Oleg M.; Kivshar, Yuri S. (1998). "Dinámica no lineal del modelo Frenkel-Kontorova". Informes de Física . 306 (1–2): 1–108. Código Bib : 1998PhR...306....1B. doi :10.1016/S0370-1573(98)00029-5.
3. Kivshar YS; Braun OM (2013). El modelo Frenkel-Kontorova: conceptos, métodos y aplicaciones . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 9.ISBN​ 978-3-662-10331-9.
4. "Modelo Frenkel-Kontorova". Enciclopedia de ciencia no lineal . Rutledge. 2015.ISBN​ 978-1-138-01214-1.
5. Yuri S. Kivshar, Oleg M. Braun (2013). El modelo Frenkel-Kontorova: conceptos, métodos y aplicaciones . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 435.ISBN​ 978-3-662-10331-9.
6. Filippov, AT (2010). El versátil Solitón . Clásicos modernos de Birkhäuser. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 138.ISBN​ 978-0-8176-4974-6.
7. Rosenau, P. (1986). "Dinámica de cadenas masa-resorte no lineales cerca del límite del continuo". Letras de Física A. 118 (5): 222–227. Código bibliográfico : 1986PhLA..118..222R. doi :10.1016/0375-9601(86)90170-2.