Pseudosfera

Superficie geométrica

En geometría , una pseudoesfera es una superficie con curvatura gaussiana negativa constante .

Una pseudoesfera de radio R es una superficie que tiene curvatura −1/ R ² en cada punto. Su nombre proviene de la analogía con la esfera de radio R , que es una superficie de curvatura 1/ R ² . El término fue introducido por Eugenio Beltrami en su artículo de 1868 sobre modelos de geometría hiperbólica . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Tractoide

Tractoide

La misma superficie también puede describirse como el resultado de hacer girar una tractriz alrededor de su asíntota . Por este motivo a la pseudoesfera también se le llama tractroide . Como ejemplo, la (media) pseudoesfera (con radio 1) es la superficie de revolución de la tractriz parametrizada por ^[2]

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

Es un espacio singular (el ecuador es una singularidad), pero alejado de las singularidades, tiene curvatura gaussiana negativa constante y por lo tanto es localmente isométrico a un plano hiperbólico .

El nombre "pseudoesfera" surge porque tiene una superficie bidimensional de curvatura gaussiana negativa constante, al igual que una esfera tiene una superficie con curvatura gaussiana positiva constante. Así como la esfera tiene en cada punto una geometría curvada positivamente de una cúpula , toda la pseudoesfera tiene en cada punto la geometría curvada negativamente de una silla de montar .

Ya en 1693, Christiaan Huygens descubrió que el volumen y la superficie de la pseudoesfera son finitos, ^[3] a pesar de la extensión infinita de la forma a lo largo del eje de rotación. Para un radio de borde dado R , el área es 4π R ² tal como lo es para la esfera, mientras que el volumen es ⁠2/3⁠ π R ³ y por tanto la mitad que el de una esfera de ese radio. ^{[4] [5]}

La pseudoesfera es un importante precursor geométrico de las artes y la pedagogía del tejido matemático . ^[6]

Espacio de cobertura universal

La pseudoesfera y su relación con otros tres modelos de geometría hiperbólica

La media pseudoesfera de curvatura −1 está cubierta por el interior de un horociclo . En el modelo de semiplano de Poincaré, una elección conveniente es la porción del semiplano con y ≥ 1 . ^[7] Entonces el mapa de cobertura es periódico en la dirección x del período 2 π , y lleva los horociclos y = c a los meridianos de la pseudoesfera y las geodésicas verticales x = c a las tractos que generan la pseudoesfera. Este mapeo es una isometría local y, por lo tanto, exhibe la porción y ≥ 1 del semiplano superior como el espacio de cobertura universal de la pseudoesfera. El mapeo preciso es

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}}$

dónde

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}$

es la parametrización de la tractriz anterior.

hiperboloide

"Deformando la pseudoesfera a una porción de la superficie de Dini" . En geometría diferencial, esta es una transformación de Lie . En las soluciones correspondientes a la ecuación del seno-Gordon , esta deformación corresponde a un impulso de Lorentz de la solución estática de 1 solitón .

En algunas fuentes que utilizan el modelo hiperboloide del plano hiperbólico, el hiperboloide se denomina pseudoesfera . ^[8] Este uso de la palabra se debe a que el hiperboloide puede considerarse como una esfera de radio imaginario, incrustada en un espacio de Minkowski .

Superficies pseudoesféricas

Una superficie pseudoesférica es una generalización de la pseudoesfera. Una superficie que está sumergida suavemente por partes con una curvatura negativa constante es una superficie pseudoesférica. El tractoride es el ejemplo más simple. Otros ejemplos incluyen las superficies de Dini , las superficies de respiración y la superficie de Kuen. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Relación con las soluciones de la ecuación del seno-Gordon

Las superficies pseudoesféricas se pueden construir a partir de soluciones de la ecuación del seno-Gordon . ^[9] Una prueba esquemática comienza reparametrizando el tractroide con coordenadas en las que las ecuaciones de Gauss-Codazzi pueden reescribirse como la ecuación seno-Gordon.

En particular, para el tractroide, las ecuaciones de Gauss-Codazzi son la ecuación del seno-Gordon aplicada a la solución estática del solitón, por lo que se satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi. En estas coordenadas, la primera y segunda forma fundamental están escritas de una manera que deja en claro que la curvatura gaussiana es −1 para cualquier solución de las ecuaciones del seno-Gordon.

Entonces, cualquier solución de la ecuación del seno-Gordon se puede utilizar para especificar una primera y una segunda forma fundamental que satisfagan las ecuaciones de Gauss-Codazzi. Entonces existe el teorema de que cualquier conjunto de datos iniciales puede usarse para especificar al menos localmente una superficie sumergida en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

A continuación se dan algunos ejemplos de soluciones seno-Gordon y su superficie correspondiente:

• Estático 1-solitón: pseudoesfera
• 1 solitón en movimiento: la superficie de Dini
• Solución de respiración: Superficie de respiración
• 2 solitones: superficie de Kuen

Ver también

• Teorema de Hilbert (geometría diferencial)
• La superficie de Dini
• Cuerno de Gabriel
• hiperboloide
• Estructura hiperboloide
• Cuasi-esfera
• Ecuación seno-Gordon
• Esfera
• Superficie de revolución
• Matemáticas en las artes textiles.

Referencias

1. Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea" [Tratado sobre la interpretación de la geometría no euclidiana]. Gior. Estera. (en italiano). 6 : 248–312.
   (También Beltrami, Eugenio (julio de 2010). Opere Matematiche [ Mathematical Works ] (en italiano). Vol. 1. Scholarly Publishing Office, Biblioteca de la Universidad de Michigan. Pp. 374–405. ISBN 978-1-4181-8434-6.; Beltrami, Eugenio (1869). "Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne" [Tratado sobre la interpretación de la geometría no euclidiana]. Annales de l'École Normale Supérieure (en francés). 6 : 251–288. doi :10.24033/asens.60. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2016 . Consultado el 24 de julio de 2010 .
   )
2. Bonahon, Francis (2009). Geometría de baja dimensión: de superficies euclidianas a nudos hiperbólicos. Librería AMS. pag. 108.ISBN​ 978-0-8218-4816-6., Capítulo 5, página 108
3. Stillwell, John (2010). Las matemáticas y su historia (revisada, 3ª ed.). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 345.ISBN​ 978-1-4419-6052-8., extracto de la página 345
4. Le Lionnais, F. (2004). Grandes corrientes del pensamiento matemático, vol. II: Matemáticas en las Artes y las Ciencias (2 ed.). Publicaciones de Courier Dover. pag. 154.ISBN​ 0-486-49579-5., Capítulo 40, página 154
5. Weisstein, Eric W. "Pseudosfera". MundoMatemático .
6. Roberts, Siobhan (15 de enero de 2024). "El arrecife de coral Crochet sigue desovando, hiperbólicamente". Los New York Times .
7. Thurston, William, Geometría y topología tridimensionales , vol. 1, Prensa de la Universidad de Princeton, pág. 62.
8. Hasanov, Elman (2004), "Una nueva teoría de rayos complejos", IMA J. Appl. Matemáticas. , 69 (6): 521–537, doi :10.1093/imamat/69.6.521, ISSN  1464-3634, archivado desde el original el 15 de abril de 2013
9. Wheeler, Nicolás. "De la pseudoesfera a la ecuación del seno-Gordon" (PDF) . Consultado el 24 de noviembre de 2022 .

• Stillwell, J. (1996). Fuentes de geometría hiperbólica . América. Matemáticas. Soc y matemáticas de Londres. Soc.
• Henderson, DW; Taimina, D. (2006). "Experimentar la geometría: euclidiana y no euclidiana con la historia". Estética y Matemáticas (PDF) . Springer-Verlag.
• Kasner, Eduardo; Newman, James (1940). Matemáticas y la Imaginación . Simón y Schuster . págs.140, 145, 155.

enlaces externos

• No Euclides
• Tejiendo el plano hiperbólico: una entrevista con David Henderson y Daina Taimina
• Norman Wildberger conferencia 16, Historia de las Matemáticas, Universidad de Nueva Gales del Sur. YouTube. 2012 mayo.
• Superficies pseudoesféricas en el museo virtual de matemáticas.