En física matemática , más específicamente en el problema de dispersión inversa unidimensional , la ecuación de Marchenko (o ecuación de Gelfand-Levitan-Marchenko o ecuación GLM ), llamada así en honor a Israel Gelfand , Boris Levitan y Vladimir Marchenko , se deriva calculando la transformada de Fourier de la relación de dispersión:
![{\displaystyle K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime } )g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde hay un núcleo simétrico , tal que se calcula a partir de los datos de dispersión? Resolviendo la ecuación de Marchenko se obtiene el núcleo del operador de transformación a partir del cual se puede leer el potencial. Esta ecuación se deriva de la ecuación integral de Gelfand-Levitan, utilizando la representación de Povzner-Levitan. ![{\displaystyle g(r,r^{\prime })\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K(r,r^{\prime })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicación a la teoría de la dispersión.
Supongamos que para un potencial para el operador de Schrödinger , se tienen los datos de dispersión , donde están los coeficientes de reflexión de la dispersión continua, dados como una función , y los parámetros reales son del espectro limitado discreto.
![{\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (r(k),\{\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}\})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r(k)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego, al definir
dónde están las constantes distintas de cero, resolver la ecuación GLM
permite recuperar el potencial usando la fórmula![{\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{N}\beta _{n}e^{-\chi _{n}x}+{\frac {1}{2\pi } }\int _{\mathbb {R} }r(k)e^{ikx}dk,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }K(x,z)F(z+y)dz=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
Referencias
- Dunajski, Maciej (2009). Solitones, Instantones y Twistores . Oxford; Nueva York: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-857063-9. OCLC 320199531.
- Marchenko, VA (2011). Operadores y aplicaciones de Sturm-Liouville (2ª ed.). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-5316-0. SEÑOR 2798059.
- Kay, Irvin W. (1955). El problema de la dispersión inversa. Nueva York: Instituto Courant de Ciencias Matemáticas, Universidad de Nueva York. OCLC 1046812324.
- Levinson, normando (1953). "Ciertas relaciones explícitas entre el cambio de fase y el potencial de dispersión". Revisión física . 89 (4): 755–757. doi : 10.1103/PhysRev.89.755. ISSN 0031-899X.