Matriz de transferencia de esquina

Descripción del efecto de agregar un cuadrante a una red.

En mecánica estadística , la matriz de transferencia de esquinas describe el efecto de agregar un cuadrante a una red. Introducido por Rodney Baxter en 1968 como una extensión de la matriz de transferencia fila a fila de Kramers-Wannier, proporciona un método poderoso para estudiar modelos reticulares . Los cálculos con matrices de transferencia de esquinas llevaron a Baxter a la solución exacta del modelo del hexágono duro en 1980.

Definición

Considere un modelo IRF (interacción alrededor de una cara), es decir, un modelo de celosía cuadrada con un espín σ _i asignado a cada sitio i e interacciones limitadas a giros alrededor de una cara común. Sea la energía total dada por

${\displaystyle E=\sum _{all \atop faces}\epsilon \left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right),}$

donde para cada cara los sitios circundantes i , j , k y l se organizan de la siguiente manera:

Para una red con N sitios, la función de partición es

${\displaystyle Z_{N}=\sum _{all \atop spins}\prod _{all \atop faces}w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right),}$

donde la suma es de todas las configuraciones de giro posibles y w es el peso de Boltzmann

${\displaystyle w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right)=\exp \left(-\epsilon \left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right)/k_{B}T\right).}$

Para simplificar la notación, usamos una red ferromagnética de tipo Ising donde cada espín tiene el valor +1 o −1, y el estado fundamental está dado por todos los espines hacia arriba (es decir, la energía total se minimiza cuando todos los espines en la red tienen el mismo valor). valor +1). También asumimos que la red tiene simetría rotacional cuádruple (hasta las condiciones de contorno) y es invariante a la reflexión. Estos supuestos simplificadores no son cruciales y extender la definición al caso general es relativamente sencillo.

Ahora considere el cuadrante de la red que se muestra a continuación:

A los sitios de límites exteriores, marcados por triángulos, se les asignan sus espines de estado fundamental (+1 en este caso). Los sitios marcados por círculos abiertos forman los límites internos del cuadrante; sus conjuntos de espines asociados están etiquetados como {σ ₁ ,...,σ _m } y {σ' ₁ ,...,σ' _m }, donde σ ₁ = σ' ₁ . Hay 2 ^m de configuraciones posibles para cada límite interior, por lo que definimos una matriz de 2 ^m × 2 ^m por entrada mediante

${\displaystyle A_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)\sum _{interior \atop spins}\prod _{all \atop faces}w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right).}$

La matriz A , entonces, es la matriz de transferencia de esquinas para el cuadrante de la red dado. Dado que los espines del límite exterior son fijos y la suma abarca todos los espines interiores, cada entrada de A es una función de los espines del límite interior. El delta de Kronecker en la expresión asegura que σ ₁ = σ' ₁ , por lo que ordenando las configuraciones apropiadamente podemos convertir A como una matriz diagonal de bloques:

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}&&{\begin{array}{ccccc}\sigma _{1}'=+1&&&&\sigma _{1}'=-1\end{array}}\\A&=&\left[{\begin{array}{ccccccc}&&&|\\&A_{+}&&|&&0\\&&&|\\-&-&-&|&-&-&-\\&&&|\\&0&&|&&A_{-}\\&&&|\end{array}}\right]&{\begin{array}{c}\sigma _{1}=+1\\\\\\\\\sigma _{1}=-1\end{array}}\end{array}}}$

Las matrices de transferencia de esquinas están relacionadas con la función de partición de forma sencilla. En nuestro ejemplo simplificado, construimos la red completa a partir de cuatro copias rotadas del cuadrante de la red, donde se permite que los conjuntos de giro del límite interno σ, σ', σ" y σ'" difieran:

Luego, la función de partición se escribe en términos de la matriz de transferencia de esquina A como

${\displaystyle Z_{N}=\sum _{\sigma ,\sigma ',\sigma '',\sigma '''}A_{\sigma |\sigma '}A_{\sigma '|\sigma ''}A_{\sigma ''|\sigma '''}A_{\sigma '''|\sigma }={\textrm {tr}}A^{4}.}$

Discusión

Relación recursiva

Una matriz de transferencia de esquinas A _{2 ^m} (definida para un cuadrante m × m ) se puede expresar en términos de matrices de transferencia de esquinas más pequeñas A _{2 ^{m -1}} y A _{2 ^{m -2}} (definidas para ( m -1)×( m - reducidas ). 1) y ( m -2) × ( m -2) cuadrantes respectivamente). Esta relación de recursividad permite, en principio, el cálculo iterativo de la matriz de transferencia de esquinas para cualquier cuadrante de red de tamaño finito.

Al igual que sus contrapartes de fila a fila, las matrices de transferencia de esquinas se pueden factorizar en matrices de transferencia de caras, que corresponden a agregar una sola cara a la red. Para el cuadrante de red dado anteriormente, las matrices de transferencia de caras son de tamaño 2 ^m × 2 ^m y se definen por entrada por

${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)\cdots \delta \left(\sigma _{i-1},\sigma _{i-1}'\right)w\left(\sigma _{i},\sigma _{i+1},\sigma _{i}',\sigma _{i-1}\right)\delta \left(\sigma _{i+1},\sigma _{i+1}'\right)\cdots \delta \left(\sigma _{m},\sigma _{m}'\right),}$

donde 2 ≤ yo ≤ m +1. Cerca del límite exterior, específicamente, tenemos

${\displaystyle \left(U_{m}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)\cdots \delta \left(\sigma _{m-1},\sigma _{m-1}'\right)w\left(\sigma _{m},+1,\sigma _{m}',\sigma _{m-1}\right),}$

${\displaystyle \left(U_{m+1}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)\cdots \delta \left(\sigma _{m},\sigma _{m}'\right)w\left(+1,+1,+1,\sigma _{m}\right).}$

Entonces la matriz de transferencia de esquina A se factoriza como

${\displaystyle A=F_{2}\cdots F_{m+1},}$

dónde

${\displaystyle F_{j}=U_{m+1}\cdots U_{j}.}$

Gráficamente esto corresponde a:

También requerimos las matrices de 2 ^m × 2 ^m A * y A **, definidas por entrada por

${\displaystyle \left(A^{*}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)A_{\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m}|\sigma _{2}',\ldots ,\sigma _{m}'},}$

${\displaystyle \left(A^{**}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)\delta \left(\sigma _{2},\sigma _{2}'\right)A_{\sigma _{3},\ldots ,\sigma _{m}|\sigma _{3}',\ldots ,\sigma _{m}'},}$

donde las matrices A cuyas entradas aparecen en el lado derecho son de tamaño 2 ^{m -1} ×2 ^{m -1} y 2 ^{m -2} ×2 ^{m -2} respectivamente. Esto está escrito más claramente como

${\displaystyle A^{*}=I_{2}\otimes A_{2^{m-1}}=\left[{\begin{array}{cc}A&0\\0&A\end{array}}\right],}$

${\displaystyle A^{**}=I_{2}\otimes I_{2}\otimes A_{2^{m-2}}=\left[{\begin{array}{cccc}A&0&0&0\\0&A&0&0\\0&0&A&0\\0&0&0&A\end{array}}\right].}$

Ahora de las definiciones de A , A *, A **, U _i y F _j , tenemos

${\displaystyle A^{*}=F_{3}\cdots F_{m+1},A^{**}=F_{4}\cdots F_{m+1}}$

${\displaystyle \Rightarrow A=F_{2}A^{*},A^{*}=F_{3}A^{**}}$

${\displaystyle \Rightarrow A=A^{*}\left(A^{**}\right)^{-1}U_{2}A^{*},}$

lo que da la relación de recursividad para A _{2 ^m} en términos de A _{2 ^{m -1}} y A _{2 ^{m -2}} .

forma diagonal

Cuando se utilizan matrices de transferencia de esquinas para realizar cálculos, es conveniente tanto analítica como numéricamente trabajar con sus formas diagonales. Para facilitar esto, la relación de recursividad se puede reescribir directamente en términos de las formas diagonales y matrices de vectores propios de A , A * y A **.

Recordando que la red en nuestro ejemplo es invariante a la reflexión, en el sentido de que

${\displaystyle w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right)=w\left(\sigma _{k},\sigma _{j},\sigma _{i},\sigma _{l}\right)=w\left(\sigma _{i},\sigma _{l},\sigma _{k},\sigma _{j}\right),}$

vemos que A es una matriz simétrica (es decir, es diagonalizable mediante una matriz ortogonal ). entonces escribimos

${\displaystyle A=\alpha _{m}PA_{d}P^{T},}$

donde A _d es una matriz diagonal (normalizada de modo que su entrada numéricamente más grande es 1), α m _es el valor propio más grande de A y P ^T P = I. Asimismo para A * y A **, tenemos

${\displaystyle A^{*}=\alpha _{m-1}P^{*}A_{d}^{*}\left(P^{*}\right)^{T},}$

${\displaystyle A^{**}=\alpha _{m-2}P^{**}A_{d}^{**}\left(P^{**}\right)^{T},}$

donde A _d *, A _d **, P * y P ** se definen de manera análoga a A * y A **, es decir, en términos de las formas diagonales (normalizadas) más pequeñas y las matrices de vectores propios (ortogonales) de A _{2 ^{m -1}} y A _{2 ^{m -2}} .

Sustituyendo estas diagonalizaciones en la relación de recursividad, obtenemos

${\displaystyle A_{t}=\kappa RA_{d}R^{T},}$

dónde

${\displaystyle \kappa ={\frac {\alpha _{m}\alpha _{m-2}}{\alpha _{m-1}^{2}}},}$

${\displaystyle R=\left(P^{*}\right)^{T}P,}$

${\displaystyle A_{t}=A_{d}^{*}\left(R^{*}\right)^{T}\left(A_{d}^{**}\right)^{-1}U_{2}R^{*}A_{d}^{*}.}$

Ahora bien _, At también es simétrico y puede calcularse si se conocen Ad *, _Ad ** y R * _; diagonalizar A _t entonces produce su forma diagonal normalizada A _d , su valor propio más grande κ y su matriz de vector propio ortogonal R .

Aplicaciones

Valor esperado de giro

Se pueden utilizar matrices de transferencia de esquinas (o sus formas diagonales) para calcular cantidades como el valor esperado de giro en un sitio particular en lo profundo de la red. Para la red completa dada anteriormente, el valor esperado de giro en el sitio central viene dado por

${\displaystyle \left\langle \sigma _{1}\right\rangle ={\frac {1}{Z_{N}}}\sum _{all \atop spins}\sigma _{1}\prod _{all \atop faces}w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right).}$

Con las configuraciones ordenadas de manera que A sea una diagonal de bloque como antes, podemos definir una matriz diagonal de 2 ^m × 2 ^m

${\displaystyle S=\left[{\begin{array}{cc}I&0\\0&-I\end{array}}\right],}$

tal que

${\displaystyle \left\langle \sigma _{1}\right\rangle ={\frac {{\textrm {tr}}SA^{4}}{{\textrm {tr}}A^{4}}}={\frac {{\textrm {tr}}\alpha _{m}^{4}PSA^{4}P^{T}}{{\textrm {tr}}\alpha _{m}^{4}PA^{4}P^{T}}}={\frac {{\textrm {tr}}SA_{d}^{4}}{{\textrm {tr}}A_{d}^{4}}}.}$

Función de partición por sitio

Otra cantidad importante para los modelos reticulares es la función de partición por sitio, evaluada en el límite termodinámico y escrita como

${\displaystyle \kappa =\lim _{N\rightarrow \infty }\left(Z_{N}\right)^{1/N}.}$

En nuestro ejemplo, esto se reduce a

${\displaystyle \kappa =\lim _{N\rightarrow \infty }\left(\alpha _{m}^{4}{\textrm {tr}}A_{d}^{4}\right)^{1/N}\sim \alpha _{m}^{4/N},}$

ya que tr A _d ⁴ es una suma convergente cuando m → ∞ y A _d se vuelve de dimensión infinita. Además, el número de caras 2 m ( m +1) se aproxima al número de sitios N en el límite termodinámico, por lo que tenemos

${\displaystyle \alpha _{m}\sim \kappa ^{m\left(m+1\right)/2},}$

lo cual es consistente con la ecuación anterior que da a κ como el valor propio más grande para A _t . En otras palabras, la función de partición por sitio viene dada exactamente por la relación de recursividad diagonalizada para matrices de transferencia de esquinas en el límite termodinámico; esto permite aproximar κ mediante el proceso iterativo de _calcular Ad para una red grande.

Sin embargo, las matrices involucradas crecen exponencialmente en tamaño y en los cálculos numéricos reales deben truncarse en cada paso. Una forma de hacer esto es mantener los n valores propios más grandes en cada paso, para algunos n fijos . En la mayoría de los casos, la secuencia de aproximaciones obtenidas tomando n = 1,2,3,... converge rápidamente y al valor exacto (para un modelo exactamente resoluble).

Ver también

• Método de matriz de transferencia

Referencias

• Baxter, RJ (1981), "Matrices de transferencia de esquina", Physica A , 106 (1–2): 18–27, Bibcode :1981PhyA..106...18B, doi :10.1016/0378-4371(81)90203- X
• Baxter, RJ (1982), Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística, Londres, Reino Unido: Academic Press, ISBN 0-12-083180-5, archivado desde el original el 20 de marzo de 2012 , consultado el 7 de noviembre de 2008