Modelo hexagonal duro

En mecánica estadística , el modelo de hexágono duro es un modelo de red bidimensional de un gas, donde se permite que las partículas estén en los vértices de una red triangular pero no pueden haber dos partículas adyacentes.

El modelo fue resuelto por Baxter  (1980), quien encontró que estaba relacionado con las identidades Rogers-Ramanujan .

La función de partición del modelo hexagonal duro.

El modelo de hexágono duro ocurre dentro del marco del gran conjunto canónico , donde se permite que el número total de partículas (los "hexágonos") varíe naturalmente y está fijado por un potencial químico . En el modelo de hexágono duro, todos los estados válidos tienen energía cero, por lo que la única variable de control termodinámico importante es la relación entre el potencial químico y la temperatura μ /( kT ). La exponencial de esta relación, z = exp( μ /( kT )) se llama actividad y los valores más grandes corresponden aproximadamente a configuraciones más densas.

Para una red triangular con N sitios, la función de gran partición es

${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {Z}}(z)=\sum _{n}z^{n}g(n,N)=1+Nz+{\tfrac {1}{2}}N(N-7)z^{2}+\cdots }$

donde g ( n , N ) es el número de formas de colocar n partículas en distintos sitios de la red, de modo que no haya 2 adyacentes. La función κ está definida por

${\displaystyle \kappa (z)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {Z}}(z)^{1/N}=1+z-3z^{2}+\cdots }$

de modo que log(κ) es la energía libre por unidad de sitio. Resolver el modelo de hexágono rígido significa (aproximadamente) encontrar una expresión exacta para κ en función de z .

La densidad media ρ está dada para z pequeña por

${\displaystyle \rho =z{\frac {d\log(\kappa )}{dz}}=z-7z^{2}+58z^{3}-519z^{4}+4856z^{5}+\cdots .}$

Los vértices de la red se dividen en 3 clases numeradas 1, 2 y 3, dadas por las 3 formas diferentes de llenar el espacio con hexágonos duros. Hay 3 densidades locales ρ ₁ , ρ ₂ , ρ ₃ , correspondientes a las 3 clases de sitios. Cuando la actividad es grande el sistema se aproxima a uno de estos 3 empaquetamientos, por lo que las densidades locales difieren, pero cuando la actividad está por debajo de un punto crítico las tres densidades locales son las mismas. El punto crítico que separa la fase homogénea de baja actividad de la fase ordenada de alta actividad tiene la proporción áurea φ . Por encima del punto crítico, las densidades locales difieren y en la fase donde se encuentran la mayoría de los hexágonos en sitios de tipo 1 se puede expandir como ${\displaystyle z_{c}=(11+5{\sqrt {5}})/2=\phi ^{5}=11.09017....}$

${\displaystyle \rho _{1}=1-z^{-1}-5z^{-2}-34z^{-3}-267z^{-4}-2037z^{-5}-\cdots }$

${\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}=z^{-2}+9z^{-3}+80z^{-4}+965z^{-5}-\cdots .}$

Solución

La solución está dada para valores pequeños de z  <  z _c por

${\displaystyle \displaystyle z={\frac {-xH(x)^{5}}{G(x)^{5}}}}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {H(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{G(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{6n-4})(1-x^{6n-3})^{2}(1-x^{6n-2})}{(1-x^{6n-5})(1-x^{6n-1})(1-x^{6n})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho =\rho _{1}=\rho _{2}=\rho _{3}={\frac {-xG(x)H(x^{6})P(x^{3})}{P(x)}}}$

dónde

${\displaystyle G(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}}}$

${\displaystyle H(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})}}}$

${\displaystyle P(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{2n-1})=Q(x)/Q(x^{2})}$

${\displaystyle Q(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n}).}$

Para z  >  z _c grande la solución (en la fase donde la mayoría de los sitios ocupados tienen tipo 1) viene dada por

${\displaystyle \displaystyle z={\frac {G(x)^{5}}{xH(x)^{5}}}}$

${\displaystyle \kappa =x^{-{\frac {1}{3}}}{\frac {G(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{H(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})}{(1-x^{3n})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {H(x)Q(x)(G(x)Q(x)+x^{2}H(x^{9})Q(x^{9}))}{Q(x^{3})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}={\frac {x^{2}H(x)Q(x)H(x^{9})Q(x^{9})}{Q(x^{3})^{2}}}}$

${\displaystyle R=\rho _{1}-\rho _{2}={\frac {Q(x)Q(x^{5})}{Q(x^{3})^{2}}}.}$

Las funciones G y H aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan , y la función Q es la función de Euler , que está estrechamente relacionada con la función eta de Dedekind . Si x = e ^2πiτ , entonces x ^−1/60 G ( x ), x ^11/60 H ( x ), x ^−1/24 P ( x ), z , κ, ρ, ρ ₁ , ρ ₂ y ρ ₃ son funciones modulares de τ, mientras que x ^1/24 Q ( x ) es una forma modular de peso 1/2. Dado que dos funciones modulares cualesquiera están relacionadas por una relación algebraica, esto implica que las funciones κ , z , R , ρ son todas funciones algebraicas entre sí (de bastante alto grado) (Joyce 1988). En particular, el valor de κ (1), que Eric Weisstein denominó constante de entropía del hexágono duro (Weisstein), es un número algebraico de grado 24 igual a 1,395485972... ( OEIS : A085851 ).

Modelos relacionados

El modelo de hexágono duro se puede definir de manera similar en las celosías cuadradas y alveolares. No se conoce una solución exacta para ninguno de estos modelos, pero el punto crítico z _c está cerca3,7962 ± 0,0001 para la red cuadrada y7,92 ± 0,08 para la red alveolar; κ (1) es aproximadamente 1.503048082... ( OEIS : A085850 ) para la red cuadrada y 1.546440708... para la red alveolar (Baxter 1999).

Referencias

• Andrews, George E. (1981), "El modelo de hexágono duro y las identidades de tipo Rogers-Ramanujan", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 78 (9): 5290–5292, Bibcode :1981PNAS. ..78.5290A, doi : 10.1073/pnas.78.9.5290 , ISSN  0027-8424, SEÑOR  0629656, PMC  348728 , PMID  16593082
• Baxter, Rodney J. (1980), "Hexágonos duros: solución exacta", Journal of Physics A: Mathematical and General , 13 (3): L61–L70, Bibcode :1980JPhA...13L..61B, doi :10.1088/ 0305-4470/13/3/007, ISSN  0305-4470, SEÑOR  0560533
• Baxter, Rodney J. (1982), Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística (PDF) , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR  0690578, archivado desde el original (PDF) el 14 de abril de 2021 , consultado el 12 de agosto de 2012
• Joyce, GS (1988), "Resultados exactos de la actividad y compresibilidad isotérmica del modelo de hexágono duro", Journal of Physics A: Mathematical and General , 21 (20): L983–L988, Bibcode :1988JPhA...21L. 983J, doi :10.1088/0305-4470/21/20/005, ISSN  0305-4470, SEÑOR  0966792
• Exton , H. (1983), Funciones y aplicaciones q-hipergeométricas , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood
• Weisstein, Eric W., "Constante de entropía del hexágono duro", MathWorld
• Baxter, RJ; Entrando, IG; Tsang, SK (abril de 1980), "Gas de red cuadrada dura", Journal of Statistical Physics , 22 (4): 465–489, Bibcode :1980JSP....22..465B, doi :10.1007/BF01012867, S2CID  121413715
• Runnels, LK; Peines, LL; Salvant, James P. (15 de noviembre de 1967), "Método finito exacto de estadísticas de celosía. II. Gas de celosía en forma de panal de moléculas duras", The Journal of Chemical Physics , 47 (10): 4015–4020, Bibcode :1967JChPh.. 47.4015R, doi : 10.1063/1.1701569
• Baxter, RJ (1 de junio de 1999), "Gases de red planar con exclusión del vecino más cercano", Annals of Combinatorics , 3 (2): 191–203, arXiv : cond-mat/9811264 , doi :10.1007/BF01608783, S2CID  13600601

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante de entropía del hexágono duro". MundoMatemático .