Identidades de Rogers y Ramanujan

En matemáticas , las identidades de Rogers-Ramanujan son dos identidades relacionadas con las series hipergeométricas básicas y las particiones enteras . Las identidades fueron descubiertas y demostradas por primera vez por Leonard James Rogers  (1894), y posteriormente redescubiertas (sin una prueba) por Srinivasa Ramanujan algún tiempo antes de 1913. Ramanujan no tenía ninguna prueba, pero redescubrió el artículo de Rogers en 1917, y luego publicaron una nueva prueba conjunta (Rogers y Ramanujan 1919). Issai Schur  (1917) redescubrió y demostró las identidades de forma independiente.

Definición

Las identidades Rogers-Ramanujan son

${\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots }$(secuencia A003114 en la OEIS )

y

${\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots }$(secuencia A003106 en la OEIS ).

Aquí, denota el símbolo q-Pochhammer . ${\displaystyle (a;q)_{n}}$

Interpretación combinatoria

Considere lo siguiente:

• ${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}}$es la función generadora para particiones con exactamente partes tales que las partes adyacentes tienen una diferencia de al menos 2. ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}}$es la función generadora de particiones tales que cada parte es congruente con 1 o 4 módulo 5.
• ${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}}$es la función generadora para particiones con exactamente partes tales que las partes adyacentes tengan una diferencia de al menos 2 y tales que la parte más pequeña sea al menos 2. ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}$es la función generadora de particiones tales que cada parte es congruente con 2 o 3 módulo 5.

Las identidades de Rogers-Ramanujan se pueden interpretar ahora de la siguiente manera: Sea un entero no negativo. ${\displaystyle n}$

1. El número de particiones de tal manera que las partes adyacentes difieren en al menos 2 es el mismo que el número de particiones de tal manera que cada parte es congruente con 1 o 4 módulo 5. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
2. El número de particiones de tal manera que las partes adyacentes difieren en al menos 2 y tal que la parte más pequeña es al menos 2 es el mismo que el número de particiones de tal manera que cada parte es congruente con 2 o 3 módulo 5. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Alternativamente,

1. El número de particiones de tal que con partes la parte más pequeña es al menos es el mismo que el número de particiones de tal que cada parte es congruente con 1 o 4 módulo 5. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$
2. El número de particiones de tal que con partes la parte más pequeña es al menos es el mismo que el número de particiones de tal que cada parte es congruente con 2 o 3 módulo 5. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle n}$

Aplicación a particiones

Dado que los términos que aparecen en la identidad son funciones generadoras de ciertas particiones , las identidades hacen afirmaciones sobre particiones (descomposiciones) de números naturales. Las secuencias numéricas resultantes de los coeficientes de la serie de Maclaurin de las funciones de Rogers-Ramanujan G y H son secuencias numéricas de partición especiales de nivel 5:

${\displaystyle G(x)={\frac {1}{(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{G}(n)x^{n}}$

${\displaystyle H(x)={\frac {1}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{H}(n)x^{n}}$

La secuencia numérica (código OEIS: A003114 ^[1] ) representa el número de posibilidades que tiene el número natural afectado n para descomponer este número en sumandos de los patrones 5a + 1 o 5a + 4 con un ∈ . Por lo tanto, da el número de desintegraciones de un entero n en el que las partes adyacentes de la partición difieren en al menos 2, igual al número de desintegraciones en las que cada parte es igual a 1 o 4 módulo 5. ${\displaystyle P_{G}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle P_{G}(n)}$

Y la secuencia numérica (código OEIS: A003106 ^[2] ) representa análogamente el número de posibilidades que tiene el número natural afectado n para descomponer este número en sumandos de los patrones 5a + 2 o 5a + 3 con a ∈ . Así, se obtiene el número de desintegraciones de un entero n en el que las partes adyacentes de la partición difieren en al menos 2 y en el que la parte más pequeña es mayor o igual a 2 es igual al número de desintegraciones cuyas partes son iguales a 2 o 3 módulo 5. Esto se ilustrará como ejemplos en las dos tablas siguientes: ${\displaystyle P_{H}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle P_{H}(n)}$

Fracciones continuas R y S de Rogers-Ramanujan

Definición de las fracciones continuas

Representación de coloración del dominio convergente de la función , donde es la fracción continua de Rogers-Ramanujan. ${\displaystyle A_{400}(q)/B_{400}(q)}$ ${\displaystyle q^{-1/5}R(q)}$ ${\displaystyle R(q)}$

Representación de la aproximación de la fracción continua de Rogers-Ramanujan. ${\displaystyle q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)}$

La siguiente fracción continua se llama fracción continua de Rogers-Ramanujan , ^{[3] [4] ¡} La fracción continua se llama fracción continua de Rogers-Ramanujan alternada! ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle S(q)}$

El factor crea un cociente de funciones módulo y también hace que estas fracciones continuas mostradas sean modulares: ${\displaystyle q^{\frac {1}{5}}}$

Esta definición se aplica ^[5] para la fracción continua mencionada:

${\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}$

${\displaystyle R(q)=q^{1/5}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})}{(1-q^{5k+2})(1-q^{5k+3})}}=q^{1/5}{\frac {H(q)}{G(q)}}}$

Esta es la definición de la función theta de Ramanujan :

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a^{\frac {k(k+1)}{2}}b^{\frac {k(k-1)}{2}}}$

Con esta función la fracción continua R se puede crear de esta manera:

${\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {f(-q,-q^{4})}{f(-q^{2},-q^{3})}}}$.

La conexión entre la fracción continua y las funciones de Rogers-Ramanujan ya fue encontrada por Rogers en 1894 (y posteriormente de forma independiente por Ramanujan).

La fracción continua también se puede expresar mediante la función eta de Dedekind : ^[6]

${\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\eta _{W}(q^{1/5})}{2\eta _{W}(q^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

La fracción continua alternada tiene las siguientes identidades con las funciones restantes de Rogers-Ramanujan y con la función theta de Ramanujan descrita anteriormente: ${\displaystyle S(q)}$

${\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {H(-q)}{G(-q)}}}$

${\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {f(q,-q^{4})}{f(-q^{2},q^{3})}}}$

${\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q)R(q^{2})}}}$

${\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {G(q)G(q^{2})H(q^{4})}{H(q)H(q^{2})G(q^{4})}}}$

Identidades con funciones theta de Jacobi

Las siguientes definiciones son válidas para las funciones "Theta-Nullwert" de Jacobi :

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{\Box (n)}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}}$

Y las siguientes definiciones de producto son idénticas a las definiciones totales mencionadas:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}$

Estas tres funciones denominadas de valor cero theta están vinculadas entre sí mediante la identidad jacobiana :

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}}$

Los matemáticos Edmund Taylor Whittaker y George Neville Watson ^{[7] [8] [9]} descubrieron estas identidades definicionales.

Las funciones de fracción continua de Rogers-Ramanujan tienen estas relaciones con las funciones theta Nullwert: ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle S(x)}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{00}(x^{5})[\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}}-{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

El elemento de la quinta raíz también se puede eliminar del nomo elíptico de las funciones theta y transferirlo a la función tangente externa. De esta manera, se puede crear una fórmula que solo requiera una de las tres funciones theta principales:

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

Funciones modificadas modulares de G y H

Definición de la forma modular de G y H

Una función elíptica es una función modular si esta función, en dependencia del nombre elíptico como función variable interna, da como resultado una función que también resulta como una combinación algebraica del módulo elíptico de Legendre y sus integrales elípticas completas de primer tipo en la forma K y K'. El módulo elíptico de Legendre es la excentricidad numérica de la elipse correspondiente.

Si estableces (donde la parte imaginaria de es positiva), las siguientes dos funciones son funciones modulares . ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}G(q)}$

${\displaystyle H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}H(q)}$

Si q = e ^2πiτ , entonces q ^−1/60 G ( q ) y q ^11/60 H ( q ) son funciones modulares de τ.

Para la fracción continua de Rogers-Ramanujan R(q), esta fórmula es válida en base a las modificaciones modulares descritas de G y H:

${\displaystyle R(q)={\frac {H_{M}(q)}{G_{M}(q)}}}$

Valores especiales

Estas funciones tienen los siguientes valores para el recíproco de la constante de Gelfond y para el cuadrado de este recíproco:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}&=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{-1/2}=\\[4pt]&=2^{1/4}\,5^{-1/8}\,\Phi ^{1/2}\,{\color {blue}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}&=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{1/2}=\\[4pt]&=2^{1/4}\,5^{-1/8}\,\Phi ^{1/2}\,{\color {blue}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}&=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{-1/2}=\\[4pt]&=2^{1/2}\,5^{-1/8}\,{\color {blue}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}&=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{1/2}=\\[4pt]&=2^{1/2}\,5^{-1/8}\,{\color {blue}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

La fracción continua de Rogers-Ramanujan toma los siguientes valores de ordenada para estos valores de abscisas:

Identidades de funciones de Dedekind eta

Derivación por la media geométrica

Se dan las definiciones mencionadas de y de la forma ya mencionada: ${\displaystyle G_{M}}$ ${\displaystyle H_{M}}$

${\displaystyle G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}{\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}}$

${\displaystyle H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}{\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}$

Las identidades de la función eta de Dedekind para las funciones G y H resultan de la combinación únicamente de las siguientes dos cadenas de ecuaciones:

El cociente es la fracción continua de Rogers Ramanujan con precisión:

${\displaystyle H_{M}(q)\div G_{M}(q)=R(q)}$

Pero el producto conduce a una combinación simplificada de operadores Pochhammer:

${\displaystyle H_{M}(q)\,G_{M}(q)=q^{1/6}{\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=}$

${\displaystyle =q^{1/6}{\frac {(q^{5};q^{5})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}={\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}}$

La media geométrica de estas dos cadenas de ecuaciones conduce directamente a las siguientes expresiones en dependencia de la función eta de Dedekind en su forma Weber:

${\displaystyle G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}}$

${\displaystyle H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}}$

De esta manera las funciones moduladas y se representan directamente utilizando únicamente la fracción continua R y el cociente de la función eta de Dedekind! ${\displaystyle G_{M}}$ ${\displaystyle H_{M}}$

Con solo los productos Pochhammer, la siguiente identidad se aplica a las funciones no moduladas G y H:

${\displaystyle G(q)=(q;q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{4};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{-1/2}}$

${\displaystyle H(q)=(q^{2};q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{3};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{1/2}}$

Teorema del número pentagonal

Para la función eta de Dedekind según la definición de Weber ^[10] se aplican estas fórmulas:

${\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/3}\vartheta _{10}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{01}(x^{1/2})^{1/3}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=x^{1/24}(x;x)_{\infty }}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {P} (n)\,x^{n}{\biggr \}}^{-1}}$

La cuarta fórmula describe el teorema del número pentagonal ^[11] ¡debido a los exponentes!

Estas definiciones básicas se aplican a los números pentagonales y a los números de las casas de cartas :

${\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}$

${\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}$

La quinta fórmula contiene los números de partición regulares como coeficientes.

La secuencia de números de partición regular indica la cantidad de formas en que un número entero positivo se puede dividir en sumandos enteros positivos. Para los números hasta , los números de partición asociados con todas las particiones de números asociadas se enumeran en la siguiente tabla: ${\displaystyle \mathrm {P} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle P}$

Otras identidades de Dedekind eta

Se puede realizar la siguiente simplificación adicional para las funciones moduladas y . Esta conexión se aplica especialmente a la función eta de Dedekind a partir de la quinta potencia del nomo elíptico: ${\displaystyle G_{M}}$ ${\displaystyle H_{M}}$

${\displaystyle {\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{4}}{\eta _{W}(q)^{4}}}\,{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1}}$

Estas dos identidades con respecto a la fracción continua de Rogers-Ramanujan se dieron para las funciones moduladas y : ${\displaystyle G_{M}}$ ${\displaystyle H_{M}}$

${\displaystyle G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}}$

${\displaystyle H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}}$

La combinación de las tres últimas fórmulas mencionadas da como resultado el siguiente par de fórmulas:

Función modular Weber reducida

Las funciones modulares de Weber en su forma reducida son una forma eficiente de calcular los valores de las funciones de Rogers-Ramanujan:

En primer lugar, introducimos las funciones modulares reducidas de Weber en ese patrón:

${\displaystyle w_{Rn}(\varepsilon )={\frac {2^{(n-1)/4}[q(\varepsilon )^{n};q(\varepsilon )^{2n}]_{\infty }}{[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{n}}}}$

${\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )={\frac {2[q(\varepsilon )^{5};q(\varepsilon )^{10}]_{\infty }}{[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{5}}}}$

Esta función cumple la siguiente ecuación de sexto grado:

Por lo tanto, esta función es en realidad una función algebraica. ${\displaystyle w_{R5}}$

Pero junto con el teorema de Abel-Ruffini, esta función en relación con la excentricidad no puede representarse mediante expresiones elementales.

Sin embargo, hay muchos valores que en realidad pueden expresarse de manera elemental.

Se darán cuatro ejemplos para este fin:

Primer ejemplo:

Segundo ejemplo:

Tercer ejemplo:

Cuarto ejemplo:

Para esa función es válida otra expresión:

${\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}}$

Identidad de excentricidad exacta para las funciones G y H

De esta manera se pueden generar las fórmulas precisas dependientes de la excentricidad para las funciones G y H:

El siguiente cociente de la función eta de Dedekind tiene esta dependencia de excentricidad:

${\displaystyle {\frac {\eta _{W}[q(\varepsilon )^{2}]}{\eta _{W}[q(\varepsilon )]}}=2^{-1/4}\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{1/12}}$

Esta es la fórmula dependiente de la excentricidad para la fracción continua R:

${\displaystyle R[q(\varepsilon )]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

Las tres últimas fórmulas mencionadas ahora se insertarán en las fórmulas finales mencionadas en la sección anterior:

En el lado izquierdo de las balanzas se escriben directamente las funciones y en relación con la función noma elíptica . ${\displaystyle G_{M}(q)}$ ${\displaystyle H_{M}(q)}$ ${\displaystyle q(\varepsilon )}$

Y en el lado derecho se formula una combinación algebraica de la excentricidad. ${\displaystyle \varepsilon }$

¡Por lo tanto, estas funciones son realmente funciones modulares! ${\displaystyle G_{M}(q)=q^{-1/60}G(q)}$ ${\displaystyle H_{M}(q)=q^{11/60}H(q)}$

Aplicación a ecuaciones quinticas

Descubrimiento del módulo correspondiente por Charles Hermite

El caso general de ecuaciones quínticas en la forma Bring-Jerrard tiene una solución no elemental basada en el teorema de Abel-Ruffini y ahora se explicará utilizando el nombre elíptico del módulo correspondiente, descrito por las funciones elípticas lemniscatas de manera simplificada.

${\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}$

La solución real para todos los valores reales se puede determinar de la siguiente manera: ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}$

Alternativamente, la misma solución se puede presentar de esta manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{3}-\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}\times {\frac {S(Q)^{2}+R(Q^{2})}{S(Q)}}\times {\bigl [}R(Q^{2})S(Q)+R(Q^{2})+S(Q)-1{\bigr ]}\\[4pt]&\mathrm {with} \,\,Q=q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\end{aligned}}}$

El matemático Charles Hermite determinó el valor del módulo elíptico k en relación con el coeficiente del término absoluto de la forma Bring-Jerrard. En su ensayo "Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus" describió el método de cálculo para el módulo elíptico en términos del término absoluto. La versión italiana de su ensayo "Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado" contiene exactamente en la página 258 la fórmula de la ecuación superior de Bring-Jerrard, que se puede resolver directamente con las funciones basadas en el módulo elíptico correspondiente. Este módulo elíptico correspondiente se puede calcular utilizando el cuadrado de la cotangente de la lemniscata hiperbólica. Para obtener información sobre esto, consulte el artículo de Wikipedia Funciones elípticas de la lemniscata .

El nombre elíptico de este módulo correspondiente se representa aquí con la letra Q:

${\displaystyle Q=q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=}$

${\displaystyle =q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}\,{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}}$

La abreviatura ctlh expresa la cotangente de la lemniscata hiperbólica y la abreviatura aclh representa el areacoseno de la lemniscata hiperbólica .

Ejemplos de cálculo

A continuación se mencionan dos ejemplos de este algoritmo de solución:

Primer ejemplo de cálculo:

Segundo ejemplo de cálculo:

Aplicaciones en Física

Las identidades de Rogers-Ramanujan aparecieron en la solución de Baxter del modelo de hexágono duro en mecánica estadística.

La forma estándar desmodularizada de la fracción continua de Ramanujan no anclada de la forma modular es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {H(q)}{G(q)}}=\left[1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]}$

Relaciones con álgebras de Lie afines y álgebras de operadores de vértices

James Lepowsky y Robert Lee Wilson fueron los primeros en demostrar las identidades de Rogers-Ramanujan utilizando técnicas completamente teóricas de la representación . Demostraron estas identidades utilizando módulos de nivel 3 para el álgebra de Lie afín . En el curso de esta demostración inventaron y utilizaron lo que llamaron álgebras. El enfoque de Lepowsky y Wilson es universal, en el sentido de que puede tratar todas las álgebras de Lie afines en todos los niveles. Puede utilizarse para encontrar (y demostrar) nuevas identidades de partición. El primer ejemplo de este tipo es el de las identidades de Capparelli descubiertas por Stefano Capparelli utilizando módulos de nivel 3 para el álgebra de Lie afín . ${\displaystyle {\widehat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{2}^{(2)}}$

Véase también

• Polinomios de Rogers
• Polinomios q-Hermite continuos

Referencias

1. "A003114 - OEIS" . Consultado el 6 de agosto de 2022 .
2. "A003106 - OEIS" . Consultado el 6 de agosto de 2022 .
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4. Bruce Berndt et al., La fracción continua de Rogers-Ramanujan, pdf
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Identidades de Rogers-Ramanujan". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Fracción continua de Rogers-Ramanujan". MathWorld .