Integral elíptica

Función especial definida por una integral

En cálculo integral , una integral elíptica es una de varias funciones relacionadas definidas como el valor de ciertas integrales, que fueron estudiadas por primera vez por Giulio Fagnano y Leonhard Euler ( c.  1750 ). Su nombre se origina de su surgimiento original en relación con el problema de encontrar la longitud del arco de una elipse .

Las matemáticas modernas definen una "integral elíptica" como cualquier función f que pueda expresarse en la forma

$${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}$$

donde R es una función racional de sus dos argumentos, P es un polinomio de grado 3 o 4 sin raíces repetidas y c es una constante.

En general, las integrales en esta forma no pueden expresarse en términos de funciones elementales . Las excepciones a esta regla general son cuando P tiene raíces repetidas, o cuando R ( x , y ) no contiene potencias impares de y o si la integral es pseudoelíptica. Sin embargo, con la fórmula de reducción adecuada , cada integral elíptica puede llevarse a una forma que involucra integrales sobre funciones racionales y las tres formas canónicas de Legendre , también conocidas como integrales elípticas de primer, segundo y tercer tipo.

Además de la forma de Legendre que se muestra a continuación, las integrales elípticas también se pueden expresar en forma simétrica de Carlson . Se puede obtener una perspectiva adicional sobre la teoría de la integral elíptica mediante el estudio de la función de Schwarz-Christoffel . Históricamente, las funciones elípticas se descubrieron como funciones inversas de las integrales elípticas.

Notación de argumentos

Las integrales elípticas incompletas son funciones de dos argumentos; las integrales elípticas completas son funciones de un solo argumento. Estos argumentos se expresan de diversas maneras diferentes pero equivalentes, ya que dan como resultado la misma integral elíptica. La mayoría de los textos se adhieren a un esquema de nomenclatura canónico, utilizando las siguientes convenciones de nomenclatura.

Para expresar un argumento:

• α , el ángulo modular
• k = sen α , el módulo elíptico o excentricidad
• m = k ² = sen ² α , el parámetro

Cada una de las tres cantidades anteriores está completamente determinada por cualquiera de las otras (siempre que no sean negativas). Por lo tanto, pueden usarse indistintamente.

El otro argumento también puede expresarse como φ , la amplitud , o como x o u , donde x = sen φ = sn u y sn es una de las funciones elípticas jacobianas .

La especificación del valor de cualquiera de estas cantidades determina las demás. Nótese que u también depende de m . Algunas relaciones adicionales que involucran u incluyen $${\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}$$

A esta última a veces se la denomina amplitud delta y se escribe como Δ( φ ) = dn u . A veces, la literatura también hace referencia al parámetro complementario , al módulo complementario o al ángulo modular complementario . Estos se definen con más detalle en el artículo sobre los cuartos de período .

En esta notación, el uso de una barra vertical como delimitador indica que el argumento que le sigue es el "parámetro" (tal como se definió anteriormente), mientras que la barra invertida indica que es el ángulo modular. El uso de un punto y coma implica que el argumento que lo precede es el seno de la amplitud: Este uso potencialmente confuso de diferentes delimitadores de argumentos es tradicional en las integrales elípticas y gran parte de la notación es compatible con la utilizada en el libro de referencia de Abramowitz y Stegun y la utilizada en las tablas de integrales de Gradshteyn y Ryzhik . $${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).}$$

Existen otras convenciones para la notación de integrales elípticas empleadas en la literatura. La notación con argumentos intercambiados, F ( k , φ ) , se encuentra a menudo; y de manera similar E ( k , φ ) para la integral de segundo tipo. Abramowitz y Stegun sustituyen la integral de primer tipo, F ( φ , k ) , por el argumento φ en su definición de las integrales de segundo y tercer tipo, a menos que este argumento esté seguido por una barra vertical: es decir, E ( F ( φ , k ) | k ² ) por E ( φ | k ² ) . Además, sus integrales completas emplean el parámetro k ² como argumento en lugar del módulo k , es decir, K ( k ² ) en lugar de K ( k ) . Y la integral del tercer tipo definida por Gradshteyn y Ryzhik , Π( φ , n , k ) , pone en primer lugar la amplitud φ y no la "característica" n .

Por lo tanto, hay que tener cuidado con la notación al utilizar estas funciones, ya que varias referencias y paquetes de software de confianza utilizan diferentes convenciones en las definiciones de las funciones elípticas. Por ejemplo, el software Mathematica de Wolfram y Wolfram Alpha definen la integral elíptica completa de primera clase en términos del parámetro m , en lugar del módulo elíptico k .

Integral elíptica incompleta de primer tipo

La integral elíptica incompleta de primer tipo F se define como

$${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$$

Esta es la forma trigonométrica de Legendre de la integral elíptica; sustituyendo t = sen θ y x = sen φ , se obtiene la forma algebraica de Jacobi:

$${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}$$

De manera equivalente, en términos de amplitud y ángulo modular se tiene: $${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}$$

Con x = sn( u , k ) se tiene: demostrando que esta función elíptica jacobiana es una inversa simple de la integral elíptica incompleta de primer tipo. $${\displaystyle F(x;k)=u;}$$

La integral elíptica incompleta de primer tipo tiene el siguiente teorema de adición ^{[ cita requerida ]} : $${\displaystyle F{\bigl [}\arctan(x),k{\bigr ]}+F{\bigl [}\arctan(y),k{\bigr ]}=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}$$

El módulo elíptico se puede transformar de la siguiente manera: $${\displaystyle F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}$$

Integral elíptica incompleta de segundo tipo

La integral elíptica incompleta de segundo tipo E en la forma trigonométrica de Legendre es

$${\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}$$

Sustituyendo t = sen θ y x = sen φ , se obtiene la forma algebraica de Jacobi:

$${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}$$

De manera equivalente, en términos de amplitud y ángulo modular: $${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}$$

Las relaciones con las funciones elípticas de Jacobi incluyen $${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}$$

La longitud del arco meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ se escribe en términos de E : donde a es el semieje mayor y e es la excentricidad . $${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$$

La integral elíptica incompleta de segundo tipo tiene el siguiente teorema de adición ^{[ cita requerida ]} : $${\displaystyle E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}=E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}$$

El módulo elíptico se puede transformar de la siguiente manera: $${\displaystyle E{\left[\arcsin(x),k\right]}=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}-{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}$$

Integral elíptica incompleta de tercer tipo

La integral elíptica incompleta de tercer tipo Π es $${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}$$

o

$${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}$$

El número n se llama característica y puede tomar cualquier valor, independientemente de los demás argumentos. Sin embargo, tenga en cuenta que el valor Π(1; ⁠π/2⁠ | m ) es infinito, para cualquier m .

Una relación con las funciones elípticas jacobianas es $${\displaystyle \Pi {\bigl (}n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k{\bigr )}=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}$$

La longitud del arco meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ también está relacionada con un caso especial de Π :

$${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}$$

Integral elíptica completa de primer tipo

Gráfica de la integral elíptica completa de primer tipo K ( k )

Se dice que las integrales elípticas son 'completas' cuando la amplitud φ = ⁠π/2⁠ y por lo tanto x = 1. La integral elíptica completa de primer tipo K puede definirse así como o de manera más compacta en términos de la integral incompleta de primer tipo como $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}$$ $${\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}$$

Puede expresarse como una serie de potencias. $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}P_{2n}(0){\bigr )}^{2}k^{2n},}$$

donde P _n son los polinomios de Legendre , lo que es equivalente a

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}$$

donde n !! denota el factorial doble . En términos de la función hipergeométrica de Gauss , la integral elíptica completa de primera especie se puede expresar como

$${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

La integral elíptica completa de primera especie se denomina a veces cuarto de período . Se puede calcular de manera muy eficiente en términos de la media aritmético-geométrica : ^[1] $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$$

Por lo tanto el módulo se puede transformar como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$$

Esta expresión es válida para todos y 0 ≤ k ≤ 1 : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}$$

Relación con la función gamma

Si k ² = λ ( i √ r ) y (donde λ es la función lambda modular ), entonces K ( k ) se puede expresar en forma cerrada en términos de la función gamma . ^[2] Por ejemplo, r = 2 , r = 3 y r = 7 dan, respectivamente, ^[3] ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$

$${\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}$$

y

$${\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}}$$

y

$${\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}$$

De manera más general, la condición de que esté en un campo cuadrático imaginario ^{[nota 1]} es suficiente. ^{[4] [5]} Por ejemplo, si k = e ^{5 πi /6} , entonces ⁠ $${\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}}$$yo soy/K⁠ = e ^{2 πi /3} y ^[6]

$${\displaystyle K\left(e^{5\pi i/6}\right)={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right){\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}$$

Expresiones asintóticas

$${\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}$$Esta aproximación tiene una precisión relativa mejor que3 × 10 ⁻⁴ para k < ⁠1/2⁠ . Mantener solo los dos primeros términos es correcto con una precisión de 0,01 para k < ⁠1/2⁠ . ^{[ cita requerida ]}

Ecuación diferencial

La ecuación diferencial para la integral elíptica de primer tipo es $${\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}$$

Una segunda solución a esta ecuación es . Esta solución satisface la relación ${\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}$$

Fracción continua

Una expansión de fracción continua es: ^[7] donde el nombre está en su definición. $${\displaystyle {\frac {K(k)}{2\pi }}=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},}$$ ${\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}$

Invertir la razón del período

Aquí, en su lugar, utilizamos la integral elíptica completa de primera especie con el parámetro , porque la función de elevación al cuadrado introduce problemas al invertir en el plano complejo. Así que sea ${\displaystyle m}$

${\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

y dejar

${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0,}$

${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0}$

sean las funciones theta .

La ecuación

${\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}$

puede entonces resolverse (siempre que exista una solución) mediante ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$

que es de hecho la función lambda modular .

Para efectos de cálculo, el análisis de errores viene dado por ^[8]

${\displaystyle \left|{e}^{-\pi i\tau /4}\theta _{2}\!\left(\tau \right)-2\sum _{n=0}^{N-1}{q}^{n\left(n+1\right)}\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N\left(N+1\right)}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}$

${\displaystyle \left|\theta _{3}\!\left(\tau \right)-\left(1+2\sum _{n=1}^{N-1}{q}^{n^{2}}\right)\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N^{2}}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}$

donde y . ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} _{\geq 1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

También

${\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}$

dónde . ${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

Integral elíptica completa de segundo tipo

Gráfica de la integral elíptica completa de segundo tipo E ( k )

La integral elíptica completa de segundo tipo E se define como

$${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}$$

o de manera más compacta en términos de la integral incompleta de segundo tipo E ( φ , k ) como

$${\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}$$

Para una elipse con semieje mayor a y semieje menor b y excentricidad e = √ 1 − b ² / a ² , la integral elíptica completa de segunda especie E ( e ) es igual a un cuarto de la circunferencia C de la elipse medida en unidades del semieje mayor a . En otras palabras:

$${\displaystyle C=4aE(e).}$$

La integral elíptica completa de segundo tipo se puede expresar como una serie de potencias ^[9]

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}$$

que es equivalente a

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}$$

En términos de la función hipergeométrica de Gauss , la integral elíptica completa de segundo tipo se puede expresar como

$${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

El módulo se puede transformar de esta manera: $${\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}$$

Cálculo

Al igual que la integral del primer tipo, la integral elíptica completa del segundo tipo se puede calcular de manera muy eficiente utilizando la media aritmético-geométrica . ^[1]

Definir las sucesiones a _n y g _n , donde a ₀ = 1 , g ₀ = √ 1 − k ² = k ′ y las relaciones de recurrencia a _{n + 1} = ⁠un + g _n​/2⁠ , g _{n + 1} = √ a _n g _n se cumple. Además, defina $${\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}$$

Por definición,

$${\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}$$

También

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}$$

Entonces

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}$$

En la práctica, la media aritmético-geométrica se calcularía simplemente hasta cierto límite. Esta fórmula converge cuadráticamente para todos los | k | ≤ 1 . Para acelerar aún más el cálculo, la relación c _{n + 1} = ⁠cn ²_​/4 a _{n + 1}⁠ se puede utilizar.

Además, si k ² = λ ( i √ r ) y (donde λ es la función lambda modular ), entonces E ( k ) se puede expresar en forma cerrada en términos de y, por lo tanto, se puede calcular sin la necesidad del término de suma infinita. Por ejemplo, r = 1 , r = 3 y r = 7 dan, respectivamente, ^[10] ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$ $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}}$$

$${\displaystyle E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\pi }{4K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}},}$$

y

$${\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}},}$$

y

$${\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}$$

Ecuación derivada y diferencial

$${\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}$$ $${\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}$$

Una segunda solución para esta ecuación es E ( √ 1 − k ² ) − K ( √ 1 − k ² ) .

Integral elíptica completa de tercer tipo

Gráfico de la integral elíptica completa de tercer tipo Π( n , k ) con varios valores fijos de n

La integral elíptica completa de tercer tipo Π se puede definir como

$${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

Nótese que a veces la integral elíptica de tercer tipo se define con un signo inverso para la característica n , $${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

Al igual que las integrales elípticas completas de primer y segundo tipo, la integral elíptica completa de tercer tipo se puede calcular de manera muy eficiente utilizando la media aritmético-geométrica. ^[1]

Derivadas parciales

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}$$

Función zeta de Jacobi

En 1829, Jacobi definió la función zeta de Jacobi : Es periódica en con un período mínimo . Está relacionada con la función zn de Jacobi por . En la literatura (por ejemplo, Whittaker y Watson (1927)), a veces significa . Algunos autores (por ejemplo, King (1924)) usan tanto para . $${\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {zn} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {zn} }$

Relación de Legendre

La relación de Legendre o identidad de Legendre muestra la relación de las integrales K y E de un módulo elíptico y su contraparte anti-relacionada ^{[11] [12]} en una ecuación integral de segundo grado:

Para dos módulos que son contrapartes pitagóricas entre sí, esta relación es válida:

$${\displaystyle K(\varepsilon )E\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)+E(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)-K(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$$

Por ejemplo:

${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Y para dos módulos que son contrapartes tangenciales entre sí, es válida la siguiente relación:

${\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

La relación de Legendre para contrapartes modulares tangenciales resulta directamente de la identidad de Legendre para contrapartes modulares pitagóricas utilizando la transformación modular de Landen en el contramódulo pitagórico.

Identidad especial para el caso lemniscático

Para el caso lemniscático, el módulo elíptico o excentricidad específica ε es igual a la mitad de la raíz cuadrada de dos. La identidad de Legendre para el caso lemniscático se puede demostrar de la siguiente manera:

Según la regla de la cadena, estas derivadas se cumplen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

Utilizando el Teorema fundamental del cálculo se pueden generar estas fórmulas:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$

La combinación lineal de las dos integrales ahora mencionadas conduce a la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+}$

${\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$

Al formar la antiderivada original relacionada con x a partir de la función que ahora se muestra usando la regla del producto, se obtiene esta fórmula:

${\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}$

Si el valor se inserta en esta identidad integral, entonces surge la siguiente identidad: ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle ={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}}$

Así aparece este extracto lemniscático de la identidad de Legendre:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Generalización para el caso general

Ahora se resuelve el caso general modular ^{[13] [14]} . Para ello, se derivan las derivadas de las integrales elípticas completas después del módulo y luego se combinan. A continuación, se determina el equilibrio de identidad de Legendre. ${\displaystyle \varepsilon }$

Porque la derivada de la función círculo es el producto negativo de la función de aplicación idéntica y el recíproco de la función círculo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}$

Estas son las derivadas de K y E que se muestran en este artículo en las secciones anteriores:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}$

En combinación con la derivada de la función círculo estas derivadas son válidas entonces:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

La identidad de Legendre incluye productos de dos integrales elípticas completas cualesquiera. Para la derivación del lado de la función a partir de la escala de la ecuación de la identidad de Legendre, ahora se aplica la regla del producto en lo siguiente:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

De estas tres ecuaciones, sumando las dos ecuaciones superiores y restando la ecuación inferior se obtiene este resultado:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}$

En relación a la ecuación el equilibrio da constantemente el valor cero. ${\displaystyle \varepsilon }$

El resultado previamente determinado se combinará con la ecuación de Legendre para obtener el módulo que se calcula en la sección anterior: ${\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

La combinación de las dos últimas fórmulas da el siguiente resultado:

${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Porque si la derivada de una función continua toma constantemente el valor cero, entonces la función en cuestión es una función constante. Esto significa que esta función da como resultado el mismo valor de función para cada valor de abscisa y, por lo tanto, el gráfico de la función asociada es una línea recta horizontal. ${\displaystyle \varepsilon }$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Curva elíptica
• Mapeo de Schwarz-Christoffel
• Forma simétrica de Carlson
• Funciones elípticas de Jacobi
• Funciones elípticas de Weierstrass
• Función theta de Jacobi
• Función theta de Ramanujan
• Media aritmético-geométrica
• Periodo del péndulo
• Arco meridiano

Referencias

Notas

1. K puede extenderse analíticamente al plano complejo .

Referencias

1. Carlson 2010, 19.8.
2. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 296
3. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 298
4. Chowla, S.; Selberg, A. (1949). "Sobre la función zeta de Epstein (I)". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 35 (7): 373. Bibcode :1949PNAS...35..371C. doi :10.1073/PNAS.35.7.371. PMC 1063041 . PMID  16588908. S2CID  45071481. 
5. Chowla, S.; Selberg, A. (1967). "Sobre la función Zeta de Epstein". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 227 : 86-110.
6. "Integrales elípticas de Legendre (Entrada 175b7a)".
7. N. Bagis, L. Glasser. (2015) "Evaluaciones de una fracción continua de Ramanujan". Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 133 pp 1-10
8. "Aproximaciones de funciones theta de Jacobi". El grimorio de las funciones matemáticas . Fredrik Johansson . Consultado el 29 de agosto de 2024 .
9. "Integral elíptica completa de segundo tipo: Representaciones en series (Fórmula 08.01.06.0002)".
10. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 26, 161
11. "Legendre-Relation" (en alemán) . Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
12. "Relación legendaria" . Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
13. "integración - Demostración de la relación de Legendres para curvas elípticas" . Consultado el 10 de febrero de 2023 .
14. Internet Archive (1991), Paul Halmos celebrando 50 años de matemáticas, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97509-8, consultado el 10 de febrero de 2023

Fuentes

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Enlaces externos

• "Integral elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein, "Integral elíptica" (Mathworld)
• Código Matlab para la evaluación de integrales elípticas por el proyecto elíptico
• Aproximaciones racionales para integrales elípticas completas (Exstrom Laboratories)
• Breve historia de los teoremas de adición integral elíptica