Modelo quiral de Potts

El modelo quiral de Potts es un modelo de espín en una red plana en mecánica estadística estudiado por Helen Au-Yang Perk y Jacques Perk, entre otros. Puede verse como una generalización del modelo de Potts y, al igual que con el modelo de Potts , el modelo se define por configuraciones que son asignaciones de espines a cada vértice de un grafo , donde cada espín puede tomar uno de los valores. A cada arista que une vértices con espines asignados y , se le asigna un peso de Boltzmann . Para este modelo, quiral significa que . Cuando los pesos satisfacen la ecuación de Yang-Baxter , es integrable, en el sentido de que ciertas cantidades se pueden evaluar con exactitud. ${\estilo de visualización N}$ ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización n'}$ $W(n,n')$ $W(n,n')\neq W(n',n)$

Para el modelo de Potts quiral integrable , los pesos se definen por una curva de género alta , la curva de Potts quiral . ^[1]^[2] A diferencia de los otros modelos resolubles, ^[3]^[4] cuyos pesos están parametrizados por curvas de género menor o igual a uno, de modo que pueden expresarse en términos de funciones trigonométricas, funciones racionales para el caso de género cero, o por funciones theta para el caso de género 1, este modelo involucra funciones theta de género alto, para las cuales la teoría está menos desarrollada.

El modelo de reloj quiral relacionado , que fue introducido en la década de 1980 por David Huse y Stellan Ostlund de forma independiente, no es exactamente solucionable, a diferencia del modelo quiral de Potts.

El modelo

Este modelo se encuentra fuera de la clase de todos los modelos conocidos previamente y plantea una serie de preguntas sin resolver relacionadas con algunos de los problemas más insolubles de la geometría algebraica que han estado con nosotros durante 150 años. Los modelos quirales de Potts se utilizan para comprender las transiciones de fase conmensurables-inconmensurables. ^[5] Para N = 3 y 4, el caso integrable fue descubierto en 1986 en Stony Brook y publicado al año siguiente. ^[1]^[6]

Caso auto-dual

El modelo se denomina autodual si la transformada de Fourier de la función de peso devuelve la misma función . Fateev y Zamolodchikov habían resuelto un caso especial (género 1) en 1982. ^[7] Al eliminar ciertas restricciones del trabajo de Alcaraz y Santos, ^[8] se descubrió un caso autodual más general del modelo quiral integrable de Potts. ^[1] Los pesos se dan en forma de producto ^[9]^[10] y se muestra que los parámetros en el peso están en la curva de Fermat , con género mayor que 1.

Caso general

Se encontró la solución general para todos los k (la variable de temperatura). ^[2] Los pesos también se dieron en forma de producto y se probó computacionalmente (en Fortran ) que satisfacen la relación estrella-triángulo. La prueba se publicó más tarde. ^[11]

Resultados

Parámetro de orden

A partir de la serie ^[5]^[12] se conjeturó ^[13] que el parámetro de orden tenía la forma simple . Tomó muchos años probar esta conjetura, ya que la técnica habitual de la matriz de transferencia de esquina no se pudo usar, debido a la curva de género más alta. Esta conjetura fue probada por Baxter en 2005 ^[14]^[15] usando ecuaciones funcionales y la técnica de "línea de rapidez rota" de Jimbo et al. ^[16] asumiendo dos condiciones de analiticidad leves del tipo comúnmente usado en el campo de los modelos integrables de Yang-Baxter. Más recientemente, en una serie de artículos ^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23] se ha dado una forma algebraica ( similar a Ising ) de obtener el parámetro de orden, brindando más información sobre la estructura algebraica. $\langle \sigma ^{n}\rangle =(1-k'^{2})^{\beta },\quad \beta =n(N-n)/2N^{2}.$

Conexión con el modelo de seis vértices

En 1990, Bazhanov y Stroganov ^[24] demostraron que existen operadores L ( operador Lax ) que satisfacen la ecuación de Yang-Baxter.

L_{i_{1}\alpha }^{j_{1}\beta }(x)L_{i_{2}\beta }^{j_{2}\gamma }(y)R_{j_{1}j_{2}}^{k_{1}k_{2}}(y/x)=R_{i_{1}i_{2}}^{j_{1}j_{2}}(y/x)L_{j_{2}\alpha }^{k_{2}\beta }(y)L_{j_{1}\beta }^{k_{1}\gamma }(x),\quad 0<i,j,k\leq 1,\quad 0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq N-1.

donde el operador R 2 × 2 ( matriz R ) es la matriz R del modelo de seis vértices (véase Modelo de vértices ). Se demostró que el producto de cuatro pesos de Potts quirales S entrelaza dos operadores L como

L_{i_{1}\alpha _{1}}^{i_{2}\alpha _{2}}{\hat {L}}_{i_{2}\beta _{1}}^{i_{3}\beta _{2}}S_{\alpha _{2}\beta _{2}}^{\alpha _{3}\beta _{3}}=S_{\alpha _{1}\beta _{1}}^{\alpha _{2}\beta _{2}}{\hat {L}}_{i_{1}\beta _{2}}^{i_{2}\beta _{3}}L_{i_{2}\alpha _{2}}^{i_{3}\alpha _{3}},\quad 0<i_{i}\leq 1,\quad 0\leq \alpha _{i},\beta _{i}\leq N-1.

Esto inspiró un gran avance: se descubrieron las relaciones funcionales para las matrices de transferencia de los modelos quirales de Potts. ^[25]

Energía libre y tensión interfacial

Usando estas relaciones funcionales, Baxter fue capaz de calcular los valores propios de la matriz de transferencia del modelo quiral de Potts, ^[26] y obtuvo el exponente crítico para el calor específico α=1-2/N, que también fue conjeturado en la referencia 12. La tensión interfacial también fue calculada por él con el exponente μ=1/2+1/N. ^[27]^[28]

Relación con la teoría de nudos

Los pesos de Potts quirales integrables se dan en forma de producto ^[2] como

W_{pq}(n)\!=\!{\Big (}{\mu _{p} \over \mu _{q}}{\Big )}^{\!\!n}\prod _{j=1}^{n}{y_{q}-x_{p}\omega ^{j} \over y_{p}-x_{q}\omega ^{j}},\quad {\overline {W}}_{pq}(n)\!=\!{\big (}{\mu _{p}\mu _{q}}{\big )}^{\!n}\!\prod _{j=1}^{n}{\omega x_{p}\!-\!x_{q}\omega ^{j} \over y_{q}\!-\!y_{p}\omega ^{j}},

donde es una raíz primitiva de la unidad y asociamos a cada variable de rapidez p tres variables que satisfacen $\omega ^{N}=1$ $(x_{p},y_{p},\mu _{p})$

x_{p}^{N}+y_{p}^{N}=k(1+x_{p}^{N}y_{p}^{N}),\quad k'^{2}+k^{2}=1,\quad k'\mu _{p}^{N}=1-ky_{p}^{N},\quad k'\mu _{p}^{-N}=1-kx_{p}^{N}.

Es fácil ver que

W_{pp}(a-b)=1,\quad {\overline {W}}_{pp}(a-b)=\delta _{a,b}

que es similar al movimiento I de Reidemeister. También se sabía que los pesos satisfacen la relación de inversión,

W_{pq}(a-b)W_{qp}(a-b)=1,\quad \sum _{d=0}^{N-1}{\overline {W}}_{pq}(a-d){\overline {W}}_{qp}(d-a')=r_{pq}\delta _{a,a'}.

Esto es equivalente al movimiento II de Reidemeister. La relación estrella-triángulo

\sum _{d=1}^{N}\,{\overline {W}}_{pr}(a-d)\,W_{pq}(d-c)\,{\overline {W}}_{rq}(d-b)=R_{pqr}\,{\overline {W}}_{pq}(a-b)\,{W}_{pr}(b-c)\,W_{rq}(a-c)

es equivalente al movimiento III de Reidemeister. Estos se muestran en las figuras siguientes. ^[29]

Véase también

Modelo ZN

Referencias

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