Determinante de matrices de Toeplitz grandes
En análisis matemático , los teoremas del límite de Szegő describen el comportamiento asintótico de los determinantes de grandes matrices de Toeplitz . [1] [2] [3] Fueron probados por primera vez por Gábor Szegő .
Notación
Sea una serie de Fourier con coeficientes de Fourier , relacionados entre sí como
tal que las matrices de Toeplitz sean hermitianas , es decir, si entonces . Entonces ambos valores propios y son de valor real y el determinante de está dado por
- .
Teorema de Szegő
Bajo supuestos adecuados, el teorema de Szegő establece que
para cualquier función que sea continua en el rango de . En particular
tal que la media aritmética de converge a la integral de . [4]
Primer teorema de Szegő
El primer teorema de Szegő [1] [3] [5] establece que, si el lado derecho de ( 1 ) se cumple y , entonces
se mantiene para y . El RHS de ( 2 ) es la media geométrica de (bien definida por la desigualdad de media aritmético-geométrica ).
Segundo teorema de Szegő
Sea el coeficiente de Fourier de , escrito como
El segundo (o fuerte) teorema de Szegő [1] [6] establece que, si , entonces
Ver también
Referencias
- ^ abc Böttcher, Albrecht; Silbermann, Bernd (1990). "Determinantes de Toeplitz". Análisis de los operadores de Toeplitz . Berlín: Springer-Verlag. pag. 525.ISBN 3-540-52147-X. SEÑOR 1071374.
- ^ Ehrhardt, T.; Silbermann, B. (2001) [1994], "Szegö_limit_theorems", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ ab Simon, Barry (2011). "Teorema de Szegő y sus descendientes: teoría espectral para L 2 perturbaciones de polinomios ortogonales" . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-14704-8.
- ^ Gris, Robert M. (2006). "Toeplitz y matrices circulantes: una revisión" (PDF) . Fundamentos y Tendencias en Procesamiento de Señales .
- ^ Szegő, G. (1915). "Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten una función positiva reellen". Matemáticas. Ana . 76 (4): 490–503. doi :10.1007/BF01458220. S2CID 123034653.
- ^ Szegő, G. (1952). "Sobre determinadas formas hermitianas asociadas a la serie de Fourier de una función positiva". Com. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] : 228–238. SEÑOR 0051961.