Polinomios ortogonales en el círculo unitario

En matemáticas, los polinomios ortogonales en el círculo unitario son familias de polinomios que son ortogonales con respecto a la integración en el círculo unitario en el plano complejo , para alguna medida de probabilidad en el círculo unitario. Fueron introducidos por Szegő (1920, 1921, 1939).

Definición

Sea una medida de probabilidad en el círculo unitario y supongamos que no es trivial, es decir, su soporte es un conjunto infinito. Mediante una combinación de los teoremas de descomposición de Radon-Nikodym y Lebesgue , cualquier medida de este tipo se puede descomponer de forma única en ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle d\mu =w(\theta ){\frac {d\theta }{2\pi }}+d\mu _{s}}$,

donde es singular con respecto a y con la parte absolutamente continua de . ^[1] ${\displaystyle d\mu _{s}}$ ${\displaystyle d\theta /2\pi }$ ${\displaystyle w\in L^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle wd\theta /2\pi }$ ${\displaystyle d\mu }$

Los polinomios ortogonales asociados a se definen como ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=z^{n}+{\text{lower order}}}$,

de tal manera que

${\displaystyle \int {\bar {z}}^{j}\Phi _{n}(z)\,d\mu (z)=0,\quad j=0,1,\dots ,n-1}$.

La recurrencia de Szegő

Los polinomios de Szegő ortogonales mónicos satisfacen una relación de recurrencia de la forma

${\displaystyle \Phi _{n+1}(z)=z\Phi _{n}(z)-{\overline {\alpha }}_{n}\Phi _{n}^{*}(z)}$

${\displaystyle \Phi _{n+1}^{\ast }(z)=\Phi _{n}^{\ast }(z)-\alpha _{n}z\Phi _{n}(z)}$

para y condición inicial , con ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \Phi _{0}=1}$

${\displaystyle \Phi _{n}^{*}(z)=z^{n}{\overline {\Phi _{n}(1/{\overline {z}})}}}$

y constantes en el disco unitario abierto dadas por ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$

${\displaystyle \alpha _{n}=-{\overline {\Phi _{n+1}(0)}}}$

llamados coeficientes de Verblunsky . ^[2] Además,

${\displaystyle \|\Phi _{n+1}\|^{2}=\prod _{j=0}^{n}(1-|\alpha _{j}|^{2})=(1-|\alpha _{n}|^{2})\|\Phi _{n}\|^{2}}$.

El teorema de Geronimus establece que los coeficientes de Verblunsky asociados son los parámetros de Schur : ^[3] ${\displaystyle d\mu }$

${\displaystyle \alpha _{n}(d\mu )=\gamma _{n}}$

Teorema de Verblunsky

El teorema de Verblunsky establece que para cualquier secuencia de números en existe una medida de probabilidad no trivial única en con . ^[4] ${\displaystyle \{\alpha _{j}^{(0)}\}_{j=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \alpha _{j}(d\mu )=\alpha _{j}^{(0)}}$

Teorema de Baxter

El teorema de Baxter establece que los coeficientes de Verblunsky forman una serie absolutamente convergente si y sólo si los momentos de forman una serie absolutamente convergente y la función de peso es estrictamente positiva en todas partes. ^[5] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle w}$

Teorema de Szegő

Para cualquier medida de probabilidad no trivial en , la forma de Verblunsky del teorema de Szegő establece que ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }(1-|\alpha _{n}|^{2})=\exp {\big (}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta {\big )}.}$

El lado izquierdo es independiente de la versión original de Szegő, pero a diferencia de ella , la forma de Verblunsky sí permite . ^[6] Posteriormente, ${\displaystyle d\mu _{s}}$ ${\displaystyle d\mu =d\mu _{ac}}$ ${\displaystyle d\mu _{s}\neq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}<\infty \;\iff \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta >-\infty }$.

Una de las consecuencias es la existencia de un espectro mixto para los operadores de Schrödinger discretizados. ^[7]

Teorema de Rakhmanov

El teorema de Rakhmanov establece que si la parte absolutamente continua de la medida es positiva en casi todas partes, entonces los coeficientes de Verblunsky tienden a 0. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$

Ejemplos

Los polinomios de Rogers-Szegő son un ejemplo de polinomios ortogonales en el círculo unitario.

Véase también

• Problema de momento trigonométrico
• Clase Schur

Notas

1. Simon 2005a, pág. 43.
2. Simon 2010, pág. 44.
3. Simon 2010, pág. 74.
4. Schmüdgen 2017, pág. 265.
5. Simon 2005a, pág. 313.
6. Simon 2010, pág. 29.
7. Totik 2016, pág. 269.

Referencias

• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales en el círculo unitario", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Schmüdgen, Konrad (2017). El problema del momento . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 277. Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-64546-9. ISBN 978-3-319-64545-2. ISSN  0072-5285.
• Simon, Barry (2005). Polinomios ortogonales en el círculo unitario. Parte 1. Teoría clásica . Publicaciones del Colloquium de la American Mathematical Society. Vol. 54. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-3446-6.Señor 2105088  .{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
• Simon, Barry (2005). Polinomios ortogonales en el círculo unitario. Parte 2. Teoría espectral . Publicaciones del Colloquium de la American Mathematical Society. Vol. 54. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-3675-0.Sr. 2105089  .{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
• Simon, Barry (2010). Teorema de Szegő y sus descendientes: teoría espectral para perturbaciones L² de polinomios ortogonales . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14704-8.
• Szegő, Gábor (1920), "Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen", Mathematische Zeitschrift , 6 (3–4): 167–202, doi :10.1007/BF01199955, ISSN  0025-5874, S2CID  118147030
• Szegő, Gábor (1921), "Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen", Mathematische Zeitschrift , 9 (3–4): 167–190, doi :10.1007/BF01279027, ISSN  0025-5874, S2CID  125157848
• Szegő, Gábor (1939), Polinomios ortogonales, Colloquium Publications, vol. XXIII, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1023-1, Sr.  0372517
• Totik, V. (2016). "Barry Simon y el Premio Internacional de Matemáticas János Bolyai" (PDF) . Acta Mathematica Hungarica . 149 (2). Springer Science and Business Media LLC: 263–273. doi :10.1007/s10474-016-0618-x. ISSN  0236-5294. S2CID  254236846.